2026年新课程同步学案九年级数学上册北师大版第101页答案
已知二次函数$y=-x^2$,则当$x=-2$时,$y$的值是
-4
。

答案

5. -4

解析

【分析】
本题考查已知二次函数自变量的取值求对应函数值的问题,解题思路清晰,只需将题目给出的x=-2代入二次函数解析式,按照有理数运算规则计算即可,注意运算顺序为先算乘方,再处理解析式中x²前的负号,不要将负号与x一起进行平方运算,避免出现符号错误。
【解析】
将x=-2代入二次函数$y=-x^2$中,可得:
$\begin{aligned}y&=-(-2)^2\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
-4
【知识点】
1. 二次函数求值
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题,核心考查代入法求函数值,解题的易错点为运算顺序错误导致符号计算失误,计算时注意先算乘方再处理负号即可。
【难度系数】
0.9
6. 二次函数$y=-x^2$的图象不经过第
一、二
象限。

答案

6. 一、二

解析

【分析】
解题时首先回忆顶点在原点的二次函数的性质,第一步先根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向,第二步推导函数值的取值范围,第三步结合平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征,即可判断出图像不经过的象限。
【解析】
1. 分析二次函数基本性质:二次函数$y=-x^2$的二次项系数$a=-1<0$,因此抛物线开口向下,顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴。
2. 推导函数值取值范围:对任意实数$x$,都有$x^2≥0$,因此$y=-x^2≤0$,即函数图像上所有点的纵坐标都是非正数。
3. 结合象限特征判断:第一象限内的点坐标符号为$(+,+)$,第二象限内的点坐标符号为$(-,+)$,两个象限内的点纵坐标均为正数,和函数值$y≤0$的特征矛盾,因此该二次函数的图像不经过第一、二象限。
【答案】
一、二
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质;平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题属于基础题,核心考查特殊形式二次函数的图像性质,解题的关键是准确判断开口方向和函数值的符号,这类题是二次函数图像类题目的基础,需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
7. 已知二次函数$y=-x^2$,当$1≤ x≤ 3$时,$y$的取值范围是
$-9≤y≤-1$
。

答案

7. $-9≤y≤-1$

解析

【分析】
首先回忆二次函数$y=-x^2$的基本性质:该函数二次项系数为负,因此抛物线开口向下,对称轴为y轴(直线$x=0$),在对称轴右侧($x>0$时),$y$随$x$的增大而减小。题目给定的$x$取值范围是$1≤x≤3$,全部在对称轴右侧的递减区间内,因此$y$的最大值对应$x$的最小值,$y$的最小值对应$x$的最大值,代入端点计算即可得到$y$的取值范围。
【解析】
解:对于二次函数$y=-x^2$,
∵ $a=-1<0$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴为直线$x=0$,当$x>0$时,$y$随$x$的增大而减小。
已知$1≤x≤3$,属于$x>0$的区间,因此:
当$x=1$时,$y$取最大值,$y_{\mathrm{max}}=-1^2=-1$;
当$x=3$时,$y$取最小值,$y_{\mathrm{min}}=-3^2=-9$。
∴ $y$的取值范围是$-9≤y≤-1$。
【答案】
$-9≤y≤-1$
【知识点】
1. 二次函数的性质
2. 区间取值范围求解
【点评】
本题是二次函数取值范围的基础题型,解题核心是先结合开口方向、对称轴判断函数在给定区间内的单调性,再代入区间端点计算最值,需注意开口方向对函数增减性的影响,避免混淆最大值和最小值的对应点。
【难度系数】
0.8
1. 如果点$(m,n)$在抛物线$y=x^2$上,那么下列各点中一定在该抛物线上的是(
B
)。

A.$(m,-n)$
B.$(-m,n)$
C.$(-m,-n)$
D.$(n,m)$

答案

1. B

解析

【分析】
要判断各选项的点是否在抛物线$y=x^2$上,首先明确核心规律:若点在函数图象上,则点的坐标一定满足函数解析式。我们可以先将已知点$(m,n)$代入抛物线解析式,得到$m$和$n$的关系,再逐一验证各选项的坐标是否满足$y=x^2$;也可以利用抛物线$y=x^2$关于$y$轴对称的性质,直接找横坐标互为相反数、纵坐标不变的点,快速得出结论。
【解析】
∵点$(m,n)$在抛物线$y=x^2$上
∴将$x=m$,$y=n$代入解析式,可得:$n = m^2$
逐一验证各选项:
A选项:当$x=m$时,$y=m^2=n ≠ -n$,因此$(m,-n)$不在抛物线上,A错误;
B选项:当$x=-m$时,$y=(-m)^2=m^2=n$,满足抛物线解析式,因此$(-m,n)$一定在抛物线上,B正确;
C选项:当$x=-m$时,$y=(-m)^2=m^2=n ≠ -n$,因此$(-m,-n)$不在抛物线上,C错误;
D选项:当$x=n$时,$y=n^2$,已知仅得$n=m^2$,无法推出$n^2=m$,例如$m=2$时$n=4$,点$(4,2)$代入$y=x^2$,左边$=2$,右边$=16$,等式不成立,因此$(n,m)$不一定在抛物线上,D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征;抛物线的对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题,既可以通过代入解析式验证坐标的方法求解,也可以利用抛物线的对称性快速判断,核心考查对函数图象与坐标关系的理解。
【难度系数】
0.8
若二次函数$y=mx^{m^2 +1}$的图象有最低点,则$m=$
1
。

答案

2. 1

解析

【分析】
要解决这道题,需分两步推导:第一步先根据二次函数的定义确定m的可能取值,二次函数要求自变量的最高次数为2,且二次项系数不能为0;第二步结合“图象有最低点”的条件判断二次项系数的符号,抛物线有最低点说明开口向上,即二次项系数大于0,最终筛选出符合所有条件的m值即可。
【解析】
解:
∵ $y=mx^{m^2 +1}$是二次函数
∴ 自变量x的最高次数为2,且二次项系数不为0,可列条件:
$\begin{cases}m^2 + 1 = 2 \\m ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 +1=2$得$m^2=1$,即$m=1$或$m=-1$。
又
∵ 二次函数图象有最低点,说明抛物线开口向上
∴ 二次项系数$m>0$
因此$m=-1$不符合要求,舍去,得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义;二次函数的图象性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型,解题核心是不要遗漏两个关键限制条件:一是二次函数对次数和系数的要求,二是图象有最低点对应二次项系数为正,避免漏看条件出现错解。
【难度系数】
0.7
抛物线$y=x^2$和$y=-x^2$的位置关系是
关于x轴对称
。

答案

3. 关于x轴对称

解析

【分析】
要判断两条抛物线的位置关系,可通过轴对称的性质验证:若两条函数图象关于某条轴对称,则其中一条图象上任意一点的对称点一定在另一条图象上。我们可以先回忆坐标轴对称的点的坐标特征,再任取抛物线$y=x^2$上的一点,求出其对称点后验证是否在$y=-x^2$上,就能得出最终结论。
【解析】
1. 明确坐标对称规律:平面直角坐标系中,点$(x,y)$关于$x$轴对称的点坐标为$(x,-y)$,关于$y$轴对称的点坐标为$(-x,y)$。
2. 任取抛物线$y=x^2$上一点$P(x,y)$,满足$y=x^2$。
3. 求点$P$关于$x$轴的对称点$P'$,其坐标为$(x,-y)$,将$y=x^2$代入可得$P'$的纵坐标为$-x^2$,刚好符合抛物线$y=-x^2$的解析式,说明$P'$在$y=-x^2$上。
4. 同理可证,$y=-x^2$上任意一点关于$x$轴的对称点都在$y=x^2$上。
因此两条抛物线关于$x$轴对称。
【答案】
关于x轴对称
【知识点】
二次函数图象特征;关于x轴对称的点的坐标规律
【点评】
本题考查二次函数图象对称关系的判断,解题核心是掌握轴对称的验证逻辑,通过"取任意点→求对称点→验证是否落在另一图象上"的步骤即可快速求解,是二次函数图象性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.9
4. 如图,P是抛物线$y=x^2$上第一象限内的一点,点A的坐标为(3,0)。
(1)设点P的坐标为(x,y),求△OPA的面积S与y之间的关系式。
(2)S是y的什么函数?S是x的什么函数?

答案

(1) $S = \frac{3}{2}y$ (2) S是y的一次函数,S是x的二次函数

解析

【分析】
先解决第(1)问:先确定△OPA的底和高,点A坐标为(3,0),可得底边OA长为3,点P在第一象限,其纵坐标y就是OA边上的高,代入三角形面积公式即可得到S和y的关系式;再解决第(2)问:先根据一次函数的定义判断S与y的函数类型,再将抛物线解析式$y=x^2$代入S和y的关系式,得到S与x的关系式后,结合二次函数定义判断类型即可。
【解析】
(1)
∵点A的坐标为(3,0),
∴底边OA的长度为3,
∵点P(x,y)在第一象限,
∴△OPA中OA边上的高等于点P的纵坐标y,
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$,代入得:
$S=\frac{1}{2}×3×y=\frac{3}{2}y\ (y>0)$。
(2) 对于$S=\frac{3}{2}y$,符合一次函数$y=kx+b\ (k≠0)$的形式($k=\frac{3}{2},b=0$),因此S是y的一次函数;
∵点P在抛物线$y=x^2$上,将$y=x^2$代入$S=\frac{3}{2}y$,得$S=\frac{3}{2}x^2\ (x>0)$,符合二次函数的形式,因此S是x的二次函数。
【答案】
(1) $S = \frac{3}{2}y$;(2) S是y的一次函数,S是x的二次函数
【知识点】
三角形面积公式;一次函数的定义;二次函数的定义
【点评】
本题结合二次函数图象性质考查函数类型的判断,核心是找准三角形的高,再结合对应函数的定义判断即可,属于基础题,注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
5. 已知点$A(1,a)$在抛物线$y=x^2$上。
(1)求点A的坐标。
(2)在x轴上是否存在点P,使得$△ OAP$是等腰三角形(O为坐标原点)?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由。

答案

(1) A(1,1) (2) 存在。这样的点P有四个,即$P_1(\sqrt{2},0),P_2(-\sqrt{2},0),P_3(2,0),P_4(1,0)$

解析

【分析】
(1) 点在抛物线上时,点的坐标满足抛物线的解析式,将点A的横坐标代入$y=x^2$即可求出a的值,得到点A的坐标。
(2) 等腰三角形存在性问题需分类讨论:①以O为顶点,OA为腰,即$OA=OP$;②以A为顶点,OA为腰,即$AO=AP$;③以OA为底边,即$OP=AP$。设P点坐标为$(x,0)$,结合勾股定理列方程求解,最后验证解是否能构成三角形即可。
【解析】
(1)
∵点$A(1,a)$在抛物线$y=x^2$上
∴将$x=1$代入解析式得:$a=1^2=1$
∴点A的坐标为$(1,1)$
(2) 存在,理由如下:
由$O(0,0)$、$A(1,1)$,根据勾股定理得$OA=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$
设点P的坐标为$(x,0)$,分三种情况讨论:
① 当$OA=OP$时:
$OP=|x|=\sqrt{2}$,解得$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$
即$P_1(\sqrt{2},0)$,$P_2(-\sqrt{2},0)$
② 当$AO=AP$时:
$AP=\sqrt{(x-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$
两边平方得:$(x-1)^2+1=2$,解得$x=2$或$x=0$
当$x=0$时,点P与原点重合,O、A、P三点共线,不能构成三角形,舍去
即$P_3(2,0)$
③ 当$OP=AP$时:
$|x|=\sqrt{(x-1)^2+(0-1)^2}$
两边平方得:$x^2=(x-1)^2+1$,化简得$2x=2$,解得$x=1$
即$P_4(1,0)$
【答案】
(1) $A(1,1)$
(2) 存在,点P的坐标为$P_1(\sqrt{2},0),P_2(-\sqrt{2},0),P_3(2,0),P_4(1,0)$
【知识点】
二次函数点坐标特征;等腰三角形性质;分类讨论思想
【点评】
本题重点考查点与抛物线的位置关系,以及等腰三角形存在性问题的处理逻辑,解题核心是按顶点不同分类讨论,避免漏解,同时要注意舍去三点共线的无效解。
【难度系数】
0.6