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二次函数$y=ax^2$的图象与性质
答案
1. 向上
2. 最小
3. 减小
4. 增大
5.
6. 最大
7. 增大
8. 减小
解析
【分析】
解决本题可以结合二次函数$y=ax^2$的性质，按a的正负分类推导：
1. 先确定开口方向：a的符号直接决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 再判断最值：开口向上时抛物线顶点是最低点，有最小值；开口向下时顶点是最高点，有最大值，该类函数顶点均为$(0,0)$，因此$x=0$时取得对应最值；
3. 最后分析增减性：以对称轴y轴为界，结合图象走向判断x＜0和x＞0两个区间内y随x的变化趋势；$a＜0$的图象为开口向下、顶点在原点的抛物线。
【解析】
我们逐个推导填空内容：
①当$a＞0$时，二次函数$y=ax^2$开口向上，因此①填向上；
②开口向上的抛物线顶点为最低点，因此$x=0$时y取得最小值0，因此②填最小；
③观察$a＞0$的图象，在对称轴左侧（$x＜0$），x增大时y的值逐渐减小，因此③填减小；
④观察$a＞0$的图象，在对称轴右侧（$x＞0$），x增大时y的值逐渐增大，因此④填增大；
⑤$a＜0$时，$y=ax^2$的图象为开口向下、顶点在原点的抛物线，对应的图象；
⑥开口向下的抛物线顶点为最高点，因此$x=0$时y取得最大值0，因此⑥填最大；
⑦观察$a＜0$的图象，在对称轴左侧（$x＜0$），x增大时y的值逐渐增大，因此⑦填增大；
⑧观察$a＜0$的图象，在对称轴右侧（$x＞0$），x增大时y的值逐渐减小，因此⑧填减小。
【答案】
①向上；②最小；③减小；④增大；⑤；⑥最大；⑦增大；⑧减小
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的图象；二次函数的增减性
【点评】
本题考查特殊二次函数$y=ax^2$的基础图象与性质，是二次函数模块的入门核心内容，掌握a的取值对函数开口、最值、增减性的影响，是后续学习更复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
解决本题可以结合二次函数$y=ax^2$的性质，按a的正负分类推导：
1. 先确定开口方向：a的符号直接决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 再判断最值：开口向上时抛物线顶点是最低点，有最小值；开口向下时顶点是最高点，有最大值，该类函数顶点均为$(0,0)$，因此$x=0$时取得对应最值；
3. 最后分析增减性：以对称轴y轴为界，结合图象走向判断x＜0和x＞0两个区间内y随x的变化趋势；$a＜0$的图象为开口向下、顶点在原点的抛物线。
【解析】
我们逐个推导填空内容：
①当$a＞0$时，二次函数$y=ax^2$开口向上，因此①填向上；
②开口向上的抛物线顶点为最低点，因此$x=0$时y取得最小值0，因此②填最小；
③观察$a＞0$的图象，在对称轴左侧（$x＜0$），x增大时y的值逐渐减小，因此③填减小；
④观察$a＞0$的图象，在对称轴右侧（$x＞0$），x增大时y的值逐渐增大，因此④填增大；
⑤$a＜0$时，$y=ax^2$的图象为开口向下、顶点在原点的抛物线，对应
的图象；⑥开口向下的抛物线顶点为最高点，因此$x=0$时y取得最大值0，因此⑥填最大；
⑦观察$a＜0$的图象，在对称轴左侧（$x＜0$），x增大时y的值逐渐增大，因此⑦填增大；
⑧观察$a＜0$的图象，在对称轴右侧（$x＞0$），x增大时y的值逐渐减小，因此⑧填减小。
【答案】
①向上；②最小；③减小；④增大；⑤
；⑥最大；⑦增大；⑧减小【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的图象；二次函数的增减性
【点评】
本题考查特殊二次函数$y=ax^2$的基础图象与性质，是二次函数模块的入门核心内容，掌握a的取值对函数开口、最值、增减性的影响，是后续学习更复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 关于二次函数$y=6x^2$，下列说法正确的是(
A.它的图象的开口方向是向下
B.当$x=0$时，$y$有最大值是0
C.当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
D.它的对称轴是直线$x=6$
C
)。A.它的图象的开口方向是向下
B.当$x=0$时，$y$有最大值是0
C.当$x＜0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
D.它的对称轴是直线$x=6$
答案
1. C
解析
【分析】
解决本题需要先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，首先根据$a$的正负判断开口方向，再依次推导对称轴、最值、增减性，最后逐一核对四个选项选出正确答案即可。
【解析】
对于二次函数$y=6x^2$，其中二次项系数$a=6＞0$：
1. 分析选项A：$a＞0$，图象开口向上，因此A说法错误；
2. 分析选项B：开口向上的二次函数顶点为最低点，即当$x=0$时，$y$取得最小值0，不存在最大值，因此B说法错误；
3. 分析选项C：该函数对称轴为直线$x=0$（即y轴），开口向上时，对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而减小，因此C说法正确；
4. 分析选项D：$y=ax^2$的对称轴均为直线$x=0$，因此D说法错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对$y=ax^2$类基本二次函数图象和性质的识记，熟练掌握开口方向、对称轴、最值、增减性与二次项系数$a$的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，首先根据$a$的正负判断开口方向，再依次推导对称轴、最值、增减性，最后逐一核对四个选项选出正确答案即可。
【解析】
对于二次函数$y=6x^2$，其中二次项系数$a=6＞0$：
1. 分析选项A：$a＞0$，图象开口向上，因此A说法错误；
2. 分析选项B：开口向上的二次函数顶点为最低点，即当$x=0$时，$y$取得最小值0，不存在最大值，因此B说法错误；
3. 分析选项C：该函数对称轴为直线$x=0$（即y轴），开口向上时，对称轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$的增大而减小，因此C说法正确；
4. 分析选项D：$y=ax^2$的对称轴均为直线$x=0$，因此D说法错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对$y=ax^2$类基本二次函数图象和性质的识记，熟练掌握开口方向、对称轴、最值、增减性与二次项系数$a$的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 关于函数$y=-3x^2$与$y=\frac{1}{4}x^2$的图象的共同点，下列说法正确的是(
A.开口向上
B.都有最低点
C.$y$的值随着$x$值的增大而增大
D.对称轴是$y$轴
D
)。A.开口向上
B.都有最低点
C.$y$的值随着$x$值的增大而增大
D.对称轴是$y$轴
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路如下：首先回忆$y=ax^2$的性质规律：开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；开口向上时有最低点，开口向下时有最高点；所有形如$y=ax^2$的二次函数对称轴都是$y$轴；增减性需要以对称轴为界分左右两侧讨论，不能笼统描述。接下来我们分别分析两个函数的性质，再逐一判断选项即可。
【解析】
首先分别梳理两个函数的性质：
1. 对于$y=-3x^2$：$a=-3＜0$，因此开口向下，有最高点，对称轴为$y$轴；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
2. 对于$y=\frac{1}{4}x^2$：$a=\frac{1}{4}＞0$，因此开口向上，有最低点，对称轴为$y$轴；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
接下来逐一判断选项：
A. 开口向上：$y=-3x^2$开口向下，不符合共同点，错误；
B. 都有最低点：$y=-3x^2$有最高点，不符合共同点，错误；
C. $y$的值随着$x$值的增大而增大：两个函数的增减性都需要分对称轴两侧讨论，没有限定范围的描述是错误的，排除；
D. 对称轴是$y$轴：两个函数的对称轴都是$y$轴，属于共同点，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题的关键是明确参数$a$对开口方向、最值的影响，同时注意二次函数的增减性是分区间讨论的，不能脱离范围笼统表述。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路如下：首先回忆$y=ax^2$的性质规律：开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；开口向上时有最低点，开口向下时有最高点；所有形如$y=ax^2$的二次函数对称轴都是$y$轴；增减性需要以对称轴为界分左右两侧讨论，不能笼统描述。接下来我们分别分析两个函数的性质，再逐一判断选项即可。
【解析】
首先分别梳理两个函数的性质：
1. 对于$y=-3x^2$：$a=-3＜0$，因此开口向下，有最高点，对称轴为$y$轴；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
2. 对于$y=\frac{1}{4}x^2$：$a=\frac{1}{4}＞0$，因此开口向上，有最低点，对称轴为$y$轴；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
接下来逐一判断选项：
A. 开口向上：$y=-3x^2$开口向下，不符合共同点，错误；
B. 都有最低点：$y=-3x^2$有最高点，不符合共同点，错误；
C. $y$的值随着$x$值的增大而增大：两个函数的增减性都需要分对称轴两侧讨论，没有限定范围的描述是错误的，排除；
D. 对称轴是$y$轴：两个函数的对称轴都是$y$轴，属于共同点，正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称轴；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题的关键是明确参数$a$对开口方向、最值的影响，同时注意二次函数的增减性是分区间讨论的，不能脱离范围笼统表述。
【难度系数】
0.8
3. 若二次函数$y=(m-3)x^2 + m^2 -2m -3$的图象经过原点，则$m$的值为(
A.-1或3
B.-1
C.3
D.无法确定
B
)。A.-1或3
B.-1
C.3
D.无法确定
答案
3. B
解析
【分析】
解题时要同时满足两个条件：一是该函数是二次函数，需满足二次项系数不为0的隐含要求；二是图象过原点，即原点坐标(0,0)满足函数解析式。首先将原点坐标代入解析式求出m的可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确的m值。
【解析】
∵ 该函数是二次函数
∴ 二次项系数不为0，即 $m - 3 ≠ 0$，解得 $m ≠ 3$
∵ 二次函数图象经过原点(0,0)，将x=0，y=0代入解析式得：
$0 = (m-3) × 0 + m^2 - 2m - 3$
整理得 $m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得 $(m - 3)(m + 1) = 0$
解得 $m = 3$ 或 $m = -1$
结合$m ≠ 3$的限制，排除$m=3$，故$m=-1$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；函数图象上点的坐标特征；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是易错题，易错点是容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，仅代入原点坐标求解后直接错选A，解题时需先明确函数类型对应的限制条件，再结合题干给出的性质计算。
【难度系数】
0.6
解题时要同时满足两个条件：一是该函数是二次函数，需满足二次项系数不为0的隐含要求；二是图象过原点，即原点坐标(0,0)满足函数解析式。首先将原点坐标代入解析式求出m的可能值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确的m值。
【解析】
∵ 该函数是二次函数
∴ 二次项系数不为0，即 $m - 3 ≠ 0$，解得 $m ≠ 3$
∵ 二次函数图象经过原点(0,0)，将x=0，y=0代入解析式得：
$0 = (m-3) × 0 + m^2 - 2m - 3$
整理得 $m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得 $(m - 3)(m + 1) = 0$
解得 $m = 3$ 或 $m = -1$
结合$m ≠ 3$的限制，排除$m=3$，故$m=-1$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；函数图象上点的坐标特征；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是易错题，易错点是容易忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，仅代入原点坐标求解后直接错选A，解题时需先明确函数类型对应的限制条件，再结合题干给出的性质计算。
【难度系数】
0.6
4. 在同一平面直角坐标系中，抛物线$y=4x^2$，$y=\frac{1}{4}x^2$，$y=-\frac{1}{4}x^2$的共同特征为
①关于y轴对称；②顶点都为原点；③都有最值；④都经过两个象限等(任选两条)
（写出两条即可），其中抛物线$y = \frac{1}{4}x^2$
和$y = -\frac{1}{4}x^2$
关于x轴对称。答案
4. ①关于y轴对称;②顶点都为原点;③都有最值;④都经过两个象限等(任选两条)
$y = \frac{1}{4}x^2$ $y = -\frac{1}{4}x^2$
$y = \frac{1}{4}x^2$ $y = -\frac{1}{4}x^2$
解析
【分析】
解题时先观察三个抛物线的解析式，均为$y=ax^2$（$a≠0$）的形式，无一次项和常数项，可结合二次函数$y=ax^2$的基本性质寻找共同特征：先回忆$y=ax^2$的对称轴、顶点坐标等基础性质，再逐一核对三个抛物线是否符合；判断关于x轴对称的抛物线时，依据“关于x轴对称的两个函数，相同x对应的函数值互为相反数”的规律，找到a互为相反数的两个抛物线即可。
【解析】
1. 找共同特征：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。本题中三个抛物线的$b=0$、$c=0$，因此对称轴均为$x=0$（即y轴），顶点坐标均为$(0,0)$（即原点）；除此之外，三个抛物线均在顶点处取得最值（开口向上的有最小值，开口向下的有最大值），且除顶点外均分布在两个象限内，以上特征任选两条即可。
2. 判断关于x轴对称的抛物线：若两条抛物线关于x轴对称，则对任意相同的x值，两个函数的y值互为相反数。将$y=\frac{1}{4}x^2$的y替换为-y，可得$-y=\frac{1}{4}x^2$，整理得$y=-\frac{1}{4}x^2$，正好是第三个抛物线，因此二者关于x轴对称。
【答案】
①关于y轴对称；②顶点都为原点（任选两条即可）；$y = \frac{1}{4}x^2$；$y = -\frac{1}{4}x^2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；关于x轴对称的函数特征
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，重点需要熟练掌握形如$y=ax^2$的二次函数的顶点、对称轴、对称性等核心知识点，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先观察三个抛物线的解析式，均为$y=ax^2$（$a≠0$）的形式，无一次项和常数项，可结合二次函数$y=ax^2$的基本性质寻找共同特征：先回忆$y=ax^2$的对称轴、顶点坐标等基础性质，再逐一核对三个抛物线是否符合；判断关于x轴对称的抛物线时，依据“关于x轴对称的两个函数，相同x对应的函数值互为相反数”的规律，找到a互为相反数的两个抛物线即可。
【解析】
1. 找共同特征：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。本题中三个抛物线的$b=0$、$c=0$，因此对称轴均为$x=0$（即y轴），顶点坐标均为$(0,0)$（即原点）；除此之外，三个抛物线均在顶点处取得最值（开口向上的有最小值，开口向下的有最大值），且除顶点外均分布在两个象限内，以上特征任选两条即可。
2. 判断关于x轴对称的抛物线：若两条抛物线关于x轴对称，则对任意相同的x值，两个函数的y值互为相反数。将$y=\frac{1}{4}x^2$的y替换为-y，可得$-y=\frac{1}{4}x^2$，整理得$y=-\frac{1}{4}x^2$，正好是第三个抛物线，因此二者关于x轴对称。
【答案】
①关于y轴对称；②顶点都为原点（任选两条即可）；$y = \frac{1}{4}x^2$；$y = -\frac{1}{4}x^2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；关于x轴对称的函数特征
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，重点需要熟练掌握形如$y=ax^2$的二次函数的顶点、对称轴、对称性等核心知识点，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.9
5. 抛物线 $ y = ax^2 $ 经过点 $ A(-1,2) $，不求 $ a $ 的大小，判断抛物线是否经过 $ M(1,2) $ 和 $ N(-2,-3) $ 两点。
答案
抛物线经过点M,但不经过点N
解析
【分析】
解题时可分两步判断：①判断点M：先回忆抛物线$y=ax^2$的对称轴是y轴，关于y轴对称的两个点，若其中一个在抛物线上，另一个也必然在抛物线上，观察点A和点M的坐标，刚好关于y轴对称，即可直接判断；②判断点N：由抛物线过纵坐标为正的点A，可确定a的符号为正，因此抛物线上所有点的纵坐标均为非负数，点N纵坐标为负，即可判断不在抛物线上，全程无需计算a的具体数值。
【解析】
1. 判断是否经过点M：
抛物线$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），
点$A(-1,2)$和点$M(1,2)$纵坐标相等，横坐标互为相反数，两点关于y轴对称，
∵点A在抛物线上，
∴点M也在抛物线上，即抛物线经过M点。
2. 判断是否经过点N：
∵抛物线过点$A(-1,2)$，代入得$2=a×(-1)^2$，可知$a＞0$，
对抛物线$y=ax^2$上任意一点，都有$x^2≥0$，结合$a＞0$可得$y=ax^2≥0$，
而点$N(-2,-3)$的纵坐标为$-3＜0$，不符合抛物线上点的纵坐标取值要求，
∴抛物线不经过点N。
【答案】
抛物线经过点M,但不经过点N
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，无需计算参数a的具体值，利用对称性和函数值的取值范围即可快速解题，属于基础性质的应用型题目，熟练掌握特殊形式二次函数的性质可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步判断：①判断点M：先回忆抛物线$y=ax^2$的对称轴是y轴，关于y轴对称的两个点，若其中一个在抛物线上，另一个也必然在抛物线上，观察点A和点M的坐标，刚好关于y轴对称，即可直接判断；②判断点N：由抛物线过纵坐标为正的点A，可确定a的符号为正，因此抛物线上所有点的纵坐标均为非负数，点N纵坐标为负，即可判断不在抛物线上，全程无需计算a的具体数值。
【解析】
1. 判断是否经过点M：
抛物线$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），
点$A(-1,2)$和点$M(1,2)$纵坐标相等，横坐标互为相反数，两点关于y轴对称，
∵点A在抛物线上，
∴点M也在抛物线上，即抛物线经过M点。
2. 判断是否经过点N：
∵抛物线过点$A(-1,2)$，代入得$2=a×(-1)^2$，可知$a＞0$，
对抛物线$y=ax^2$上任意一点，都有$x^2≥0$，结合$a＞0$可得$y=ax^2≥0$，
而点$N(-2,-3)$的纵坐标为$-3＜0$，不符合抛物线上点的纵坐标取值要求，
∴抛物线不经过点N。
【答案】
抛物线经过点M,但不经过点N
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，无需计算参数a的具体值，利用对称性和函数值的取值范围即可快速解题，属于基础性质的应用型题目，熟练掌握特殊形式二次函数的性质可提高解题效率。
【难度系数】
0.8
