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二次函数$y=x^2$和$y=-x^2$的图象与性质
二次函数$y=x^2$和$y=-x^2$的图象与性质
答案
1. ①
② 向上
③ 0
④ 减小
⑤ 增大
⑥
⑦ 向下
⑧ 0
⑨ 左侧$(x ＜ 0)$
⑩ 右侧$(x ＞ 0)$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质规律：二次项系数$a$的正负决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；$y=ax^2$的顶点都是原点$(0,0)$，对称轴为$y$轴（直线$x=0$）；增减性以对称轴为分界，开口向上时左减右增，开口向下时左增右减，顶点处取最值。接下来分别对应$y=x^2$（$a=1＞0$）和$y=-x^2$（$a=-1＜0$）的特征逐一填空即可。
【解析】
1. 对$y=x^2$，其二次项系数$a=1＞0$：
① 图象为开口向上、过原点、对称轴为$y$轴的抛物线，对应；
② 开口方向向上；
③ 顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$取最小值$0$；
④ 在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而减小；
⑤ 在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大。
2. 对$y=-x^2$，其二次项系数$a=-1＜0$：
⑥ 图象为开口向下、过原点、对称轴为$y$轴的抛物线，对应；
⑦ 开口方向向下；
⑧ 顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$取最大值$0$；
⑨ 根据增减性规律，开口向下时对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，即对应对称轴左侧$(x＜0)$；
⑩ 开口向下时对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，即对应对称轴右侧$(x＞0)$。
【答案】
①
② 向上
③ 0
④ 减小
⑤ 增大
⑥
⑦ 向下
⑧ 0
⑨ 左侧$(x ＜ 0)$
⑩ 右侧$(x ＞ 0)$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象
2. 二次函数的开口方向
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是二次函数的基础性质梳理题，核心考查二次项系数$a$的正负对$y=ax^2$的图象、开口、增减性、最值的影响，相关结论是后续学习复杂二次函数的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质规律：二次项系数$a$的正负决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；$y=ax^2$的顶点都是原点$(0,0)$，对称轴为$y$轴（直线$x=0$）；增减性以对称轴为分界，开口向上时左减右增，开口向下时左增右减，顶点处取最值。接下来分别对应$y=x^2$（$a=1＞0$）和$y=-x^2$（$a=-1＜0$）的特征逐一填空即可。
【解析】
1. 对$y=x^2$，其二次项系数$a=1＞0$：
① 图象为开口向上、过原点、对称轴为$y$轴的抛物线，对应
；② 开口方向向上；
③ 顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$取最小值$0$；
④ 在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而减小；
⑤ 在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大。
2. 对$y=-x^2$，其二次项系数$a=-1＜0$：
⑥ 图象为开口向下、过原点、对称轴为$y$轴的抛物线，对应
；⑦ 开口方向向下；
⑧ 顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，$y$取最大值$0$；
⑨ 根据增减性规律，开口向下时对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，即对应对称轴左侧$(x＜0)$；
⑩ 开口向下时对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，即对应对称轴右侧$(x＞0)$。
【答案】
①
② 向上
③ 0
④ 减小
⑤ 增大
⑥
⑦ 向下
⑧ 0
⑨ 左侧$(x ＜ 0)$
⑩ 右侧$(x ＞ 0)$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象
2. 二次函数的开口方向
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是二次函数的基础性质梳理题，核心考查二次项系数$a$的正负对$y=ax^2$的图象、开口、增减性、最值的影响，相关结论是后续学习复杂二次函数的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. 抛物线$y=x^2$的对称轴是(
A.直线$x=-1$
B.直线$x=1$
C.$x$轴
D.$y$轴
D
)。A.直线$x=-1$
B.直线$x=1$
C.$x$轴
D.$y$轴
答案
1. D
解析
【分析】
要确定抛物线$y=x^2$的对称轴，可从两个思路入手：一是利用二次函数通用的对称轴公式计算，二是直接回忆特殊二次函数$y=x^2$的图象性质。首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，对应本题解析式找到a、b的值代入计算即可；也可直接根据$y=x^2$的图象特征，其顶点在原点、开口向上，图象关于y轴对称，直接得到对称轴。
【解析】
解法1：公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
抛物线$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，代入公式得：
$x=-\frac{0}{2×1}=0$，即对称轴为直线$x=0$，也就是y轴。
解法2：图象性质法
$y=x^2$的图象是开口向上、顶点在原点的抛物线，图象沿y轴对折后完全重合，因此对称轴为y轴。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数对称轴公式
2.二次函数$y=x^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考察对最基础的二次函数图象性质的掌握，难度低，只要熟记相关公式或常见二次函数的图象特征即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要确定抛物线$y=x^2$的对称轴，可从两个思路入手：一是利用二次函数通用的对称轴公式计算，二是直接回忆特殊二次函数$y=x^2$的图象性质。首先明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，对应本题解析式找到a、b的值代入计算即可；也可直接根据$y=x^2$的图象特征，其顶点在原点、开口向上，图象关于y轴对称，直接得到对称轴。
【解析】
解法1：公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
抛物线$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，代入公式得：
$x=-\frac{0}{2×1}=0$，即对称轴为直线$x=0$，也就是y轴。
解法2：图象性质法
$y=x^2$的图象是开口向上、顶点在原点的抛物线，图象沿y轴对折后完全重合，因此对称轴为y轴。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数对称轴公式
2.二次函数$y=x^2$的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考察对最基础的二次函数图象性质的掌握，难度低，只要熟记相关公式或常见二次函数的图象特征即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2.已知$a ＜ -1$，点$(a-1,y_1),(a,y_2),(a+1,y_3)$都在函数$y=x^2$的图象上，则(
A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
C.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
D.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
C
)。A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$
C.$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$
D.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
答案
2. C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先回忆二次函数$y=x^2$的图象性质：它开口向上，对称轴为直线$x=0$，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；第二步根据$a＜-1$，推导三个点的横坐标的大小关系，同时判断三个横坐标都小于0，即三个点都在对称轴左侧；第三步结合二次函数在左侧的增减性，比较三个函数值的大小即可得出答案。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，
∴ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
又
∵ $a＜-1$，
∴ $a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ -1+1=0$，即三个点的横坐标都小于0，且$a-1 ＜ a ＜ a+1$。
根据$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，横坐标越大对应的函数值越小，可得$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的增减性，函数值大小比较，不等式的基本性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题的核心是先确定三个点在二次函数图象上的位置（对称轴同侧），再结合对应区间的增减性比较函数值，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步先回忆二次函数$y=x^2$的图象性质：它开口向上，对称轴为直线$x=0$，在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；第二步根据$a＜-1$，推导三个点的横坐标的大小关系，同时判断三个横坐标都小于0，即三个点都在对称轴左侧；第三步结合二次函数在左侧的增减性，比较三个函数值的大小即可得出答案。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，
∴ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
又
∵ $a＜-1$，
∴ $a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ -1+1=0$，即三个点的横坐标都小于0，且$a-1 ＜ a ＜ a+1$。
根据$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，横坐标越大对应的函数值越小，可得$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的增减性，函数值大小比较，不等式的基本性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题的核心是先确定三个点在二次函数图象上的位置（对称轴同侧），再结合对应区间的增减性比较函数值，是二次函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 若点$A(2,m)$在抛物线$y=x^2$上,则点$A$关于$y$轴对称点的坐标是
(-2,4)
。答案
3. (-2,4)
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，先利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点A的横坐标代入抛物线解析式，求出m的值，确定点A的完整坐标；第二步，根据关于y轴对称的点的坐标变化规律，计算得到对称点的坐标。
【解析】
∵ 点$A(2,m)$在抛物线$y=x^2$上，
∴ 将$x=2$代入$y=x^2$，得$m=2^2=4$，
∴ 点A的坐标为$(2,4)$。
∵ 关于y轴对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴ 点$(2,4)$关于y轴对称的点的横坐标为$-2$，纵坐标仍为$4$，即坐标为$(-2,4)$。
【答案】
$(-2,4)$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 关于y轴对称的点的坐标性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合二次函数解析式求点坐标，再运用轴对称的坐标变化规律求解，熟练掌握相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题思路分为两步：第一步，先利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点A的横坐标代入抛物线解析式，求出m的值，确定点A的完整坐标；第二步，根据关于y轴对称的点的坐标变化规律，计算得到对称点的坐标。
【解析】
∵ 点$A(2,m)$在抛物线$y=x^2$上，
∴ 将$x=2$代入$y=x^2$，得$m=2^2=4$，
∴ 点A的坐标为$(2,4)$。
∵ 关于y轴对称的点的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴ 点$(2,4)$关于y轴对称的点的横坐标为$-2$，纵坐标仍为$4$，即坐标为$(-2,4)$。
【答案】
$(-2,4)$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 关于y轴对称的点的坐标性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合二次函数解析式求点坐标，再运用轴对称的坐标变化规律求解，熟练掌握相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 有下列关于函数$y=-x^2$的图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点坐标为$(0,0)$。其中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
D
)。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4. D
解析
【分析】
拿到这道题首先要回忆最简二次函数$y=ax^2(a≠0)$的基本性质，再逐个验证4个说法是否正确。首先明确二次函数的通用图象特征判断①；再根据二次项系数$a$的正负判断开口方向验证②；最后结合$y=ax^2$的固定对称轴、顶点坐标公式验证③和④，统计正确个数后选对应选项即可。
【解析】
二次函数$y=-x^2$属于$y=ax^2(a≠0)$的形式，其中$a=-1$：
① 所有二次函数的图象都是抛物线，因此①说法正确；
② 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，②说法正确；
③ 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为$x=0$，即y轴，③说法正确；
④ 把$x=0$代入函数得$y=0$，因此函数顶点坐标为$(0,0)$，④说法正确。
综上4个说法全部正确，正确个数为4。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数开口判断；二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题属于二次函数模块的基础题型，考查的是最基础的二次函数核心性质，只要熟记相关知识点就能快速做出判断。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先要回忆最简二次函数$y=ax^2(a≠0)$的基本性质，再逐个验证4个说法是否正确。首先明确二次函数的通用图象特征判断①；再根据二次项系数$a$的正负判断开口方向验证②；最后结合$y=ax^2$的固定对称轴、顶点坐标公式验证③和④，统计正确个数后选对应选项即可。
【解析】
二次函数$y=-x^2$属于$y=ax^2(a≠0)$的形式，其中$a=-1$：
① 所有二次函数的图象都是抛物线，因此①说法正确；
② 二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，②说法正确；
③ 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为$x=0$，即y轴，③说法正确；
④ 把$x=0$代入函数得$y=0$，因此函数顶点坐标为$(0,0)$，④说法正确。
综上4个说法全部正确，正确个数为4。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数开口判断；二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题属于二次函数模块的基础题型，考查的是最基础的二次函数核心性质，只要熟记相关知识点就能快速做出判断。
【难度系数】
0.9
