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7.点P(x,y)在第二象限，且|x|=1，|y|=2，则P点坐标为 （
A.(-1,-2)
B.(-1,2)
C.(1,2)
D.(1,-2)
B
）A.(-1,-2)
B.(-1,2)
C.(1,2)
D.(1,-2)
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先明确核心条件：点P在第二象限，需先回忆第二象限内点的坐标符号规律：横坐标为负，纵坐标为正。再结合给出的|x|=1、|y|=2，利用绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，最后结合第二象限的符号特征筛选出符合要求的x、y值，即可得到P点坐标。
【解析】
解：
∵点P(x,y)在第二象限
∴x＜0，y＞0
∵|x|=1，
∴x=1或x=-1，结合x＜0的要求，得x=-1
∵|y|=2，
∴y=2或y=-2，结合y＞0的要求，得y=2
∴点P的坐标为(-1,2)，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查对各象限坐标符号规律的掌握，只要熟练记忆不同象限坐标的正负特点，结合绝对值的简单运算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确核心条件：点P在第二象限，需先回忆第二象限内点的坐标符号规律：横坐标为负，纵坐标为正。再结合给出的|x|=1、|y|=2，利用绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，最后结合第二象限的符号特征筛选出符合要求的x、y值，即可得到P点坐标。
【解析】
解：
∵点P(x,y)在第二象限
∴x＜0，y＞0
∵|x|=1，
∴x=1或x=-1，结合x＜0的要求，得x=-1
∵|y|=2，
∴y=2或y=-2，结合y＞0的要求，得y=2
∴点P的坐标为(-1,2)，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心考查对各象限坐标符号规律的掌握，只要熟练记忆不同象限坐标的正负特点，结合绝对值的简单运算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
▲8.如图,在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点A(0,4),点B是x轴正半轴上的整点,记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.如当点B的横坐标为4时,m=3;那么当点B的横坐标为4n(n为正整数)时,m=
$6n-3$
(用含n的代数式表示).答案
8.$6n-3$
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系中的整点规律探究题，解题思路如下：首先明确要求的是三角形内部、不包含边界的整点，因当前学段还未学习一次函数解析式，我们可以采用从特殊到一般的探究方法：先取n为1、2、3这类简单的正整数，分别数出对应情况下的整点个数m，再观察m和n的数量关系，归纳出通用的代数式即可。
【解析】
我们通过取特殊值找规律的方法求解：
1. 当$n=1$时，点B的横坐标为$4×1=4$，题目已知此时$△ AOB$内部（不含边界）的整点个数$m=3$；
2. 当$n=2$时，点B的横坐标为$4×2=8$，逐一枚举内部整点：
纵坐标为1的整点：x可取1、2、3、4、5，共5个；
纵坐标为2的整点：x可取1、2、3，共3个；
纵坐标为3的整点：x可取1，共1个；
合计$m=5+3+1=9$；
3. 当$n=3$时，点B的横坐标为$4×3=12$，同理计数得$m=8+5+2=15$；
观察上述结果找规律：
$n=1$时，$m=3=6×1-3$；
$n=2$时，$m=9=6×2-3$；
$n=3$时，$m=15=6×3-3$；
由此可归纳得出，当点B的横坐标为$4n$时，$m=6n-3$。
【答案】
$6n-3$
【知识点】
平面直角坐标系，规律探究，整点计数
【点评】
本题重点考查坐标性质的应用与规律探究能力，解题时要注意“不包括边界”的限制条件，避免多数边界上的点，通过特殊值归纳规律的方法简单直观，适合这类坐标规律题的求解。
【难度系数】
0.6
本题是平面直角坐标系中的整点规律探究题，解题思路如下：首先明确要求的是三角形内部、不包含边界的整点，因当前学段还未学习一次函数解析式，我们可以采用从特殊到一般的探究方法：先取n为1、2、3这类简单的正整数，分别数出对应情况下的整点个数m，再观察m和n的数量关系，归纳出通用的代数式即可。
【解析】
我们通过取特殊值找规律的方法求解：
1. 当$n=1$时，点B的横坐标为$4×1=4$，题目已知此时$△ AOB$内部（不含边界）的整点个数$m=3$；
2. 当$n=2$时，点B的横坐标为$4×2=8$，逐一枚举内部整点：
纵坐标为1的整点：x可取1、2、3、4、5，共5个；
纵坐标为2的整点：x可取1、2、3，共3个；
纵坐标为3的整点：x可取1，共1个；
合计$m=5+3+1=9$；
3. 当$n=3$时，点B的横坐标为$4×3=12$，同理计数得$m=8+5+2=15$；
观察上述结果找规律：
$n=1$时，$m=3=6×1-3$；
$n=2$时，$m=9=6×2-3$；
$n=3$时，$m=15=6×3-3$；
由此可归纳得出，当点B的横坐标为$4n$时，$m=6n-3$。
【答案】
$6n-3$
【知识点】
平面直角坐标系，规律探究，整点计数
【点评】
本题重点考查坐标性质的应用与规律探究能力，解题时要注意“不包括边界”的限制条件，避免多数边界上的点，通过特殊值归纳规律的方法简单直观，适合这类坐标规律题的求解。
【难度系数】
0.6
9. 已知点 $ P(2a - 12, 1 - a) $ 位于第三象限.
(1)若点 $ P $ 的纵坐标为$-3$，试求出 $ a $ 的值.
(2)求 $ a $ 的取值范围.
(3)若点 $ P $ 的横、纵坐标都是整数，试求出 $ a $ 的值以及点 $ P $ 的坐标.
(1)若点 $ P $ 的纵坐标为$-3$，试求出 $ a $ 的值.
(2)求 $ a $ 的取值范围.
(3)若点 $ P $ 的横、纵坐标都是整数，试求出 $ a $ 的值以及点 $ P $ 的坐标.
答案
9.(1)由题意得 $1-a=-3$,解得 $a=4$
(2)$\because$ 点 $ P(2a-12,1-a) $ 位于第三象限,$\therefore \begin{cases}2a-12＜0,\\1-a＜0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a＜6,\\a＞1,\end{cases}\therefore 1＜a＜6$
(3)$\because$ 点 $ P $ 的横、纵坐标都是整数,$\therefore a$ 的值为 $2,3,4,5$.
$\therefore$ 点 $ P $ 的坐标为 $(-8,-1),(-6,-2),(-4,-3)$或$(-2,-4)$
(2)$\because$ 点 $ P(2a-12,1-a) $ 位于第三象限,$\therefore \begin{cases}2a-12＜0,\\1-a＜0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a＜6,\\a＞1,\end{cases}\therefore 1＜a＜6$
(3)$\because$ 点 $ P $ 的横、纵坐标都是整数,$\therefore a$ 的值为 $2,3,4,5$.
$\therefore$ 点 $ P $ 的坐标为 $(-8,-1),(-6,-2),(-4,-3)$或$(-2,-4)$
解析
【分析】
(1) 第一问已知点P的纵坐标为-3，直接令纵坐标的表达式$1-a$等于-3，解这个一元一次方程即可得到a的值；
(2) 第二问利用第三象限点的坐标特征：第三象限内的点横坐标小于0、纵坐标也小于0，据此列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围；
(3) 第三问在第二问得到的a的取值范围内，结合横、纵坐标都是整数的条件，可知a为整数，先找出符合条件的a的整数值，再分别代入横、纵坐标的表达式，就能求出对应的点P的坐标。
【解析】
(1) 由题意得点P的纵坐标为-3，因此列方程：
$1-a=-3$
解得：$a=4$
(2) $\because$ 点$P(2a-12,1-a)$位于第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均小于0，
$\therefore$ 列不等式组：
$\begin{cases}2a-12＜0 \\ 1-a＜0\end{cases}$
解第一个不等式得：$a＜6$，
解第二个不等式得：$a＞1$，
$\therefore$ a的取值范围是$1＜a＜6$。
(3) $\because$ 点P的横、纵坐标都是整数，即$2a-12$和$1-a$均为整数，
$\therefore a$为整数，结合$1＜a＜6$的取值范围，
可得a的值为2,3,4,5。
分别代入计算点P坐标：
当$a=2$时，横坐标$2×2-12=-8$，纵坐标$1-2=-1$，即$P(-8,-1)$；
当$a=3$时，横坐标$2×3-12=-6$，纵坐标$1-3=-2$，即$P(-6,-2)$；
当$a=4$时，横坐标$2×4-12=-4$，纵坐标$1-4=-3$，即$P(-4,-3)$；
当$a=5$时，横坐标$2×5-12=-2$，纵坐标$1-5=-4$，即$P(-2,-4)$。
【答案】
(1) $a=4$
(2) $1＜a＜6$
(3) a的值为2,3,4,5；点P的坐标为$(-8,-1),(-6,-2),(-4,-3),(-2,-4)$
【知识点】
1. 第三象限点的坐标特征
2. 解一元一次不等式组
3. 代数式求值
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，将坐标性质与方程、不等式组的求解相结合，解题核心是熟练掌握各象限内点的坐标符号规律，能准确求解不等式组并结合限定条件筛选符合要求的解。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问已知点P的纵坐标为-3，直接令纵坐标的表达式$1-a$等于-3，解这个一元一次方程即可得到a的值；
(2) 第二问利用第三象限点的坐标特征：第三象限内的点横坐标小于0、纵坐标也小于0，据此列出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围；
(3) 第三问在第二问得到的a的取值范围内，结合横、纵坐标都是整数的条件，可知a为整数，先找出符合条件的a的整数值，再分别代入横、纵坐标的表达式，就能求出对应的点P的坐标。
【解析】
(1) 由题意得点P的纵坐标为-3，因此列方程：
$1-a=-3$
解得：$a=4$
(2) $\because$ 点$P(2a-12,1-a)$位于第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均小于0，
$\therefore$ 列不等式组：
$\begin{cases}2a-12＜0 \\ 1-a＜0\end{cases}$
解第一个不等式得：$a＜6$，
解第二个不等式得：$a＞1$，
$\therefore$ a的取值范围是$1＜a＜6$。
(3) $\because$ 点P的横、纵坐标都是整数，即$2a-12$和$1-a$均为整数，
$\therefore a$为整数，结合$1＜a＜6$的取值范围，
可得a的值为2,3,4,5。
分别代入计算点P坐标：
当$a=2$时，横坐标$2×2-12=-8$，纵坐标$1-2=-1$，即$P(-8,-1)$；
当$a=3$时，横坐标$2×3-12=-6$，纵坐标$1-3=-2$，即$P(-6,-2)$；
当$a=4$时，横坐标$2×4-12=-4$，纵坐标$1-4=-3$，即$P(-4,-3)$；
当$a=5$时，横坐标$2×5-12=-2$，纵坐标$1-5=-4$，即$P(-2,-4)$。
【答案】
(1) $a=4$
(2) $1＜a＜6$
(3) a的值为2,3,4,5；点P的坐标为$(-8,-1),(-6,-2),(-4,-3),(-2,-4)$
【知识点】
1. 第三象限点的坐标特征
2. 解一元一次不等式组
3. 代数式求值
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，将坐标性质与方程、不等式组的求解相结合，解题核心是熟练掌握各象限内点的坐标符号规律，能准确求解不等式组并结合限定条件筛选符合要求的解。
【难度系数】
0.8
10. 在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,我们把$P'(y-1,-x-1)$叫做点$P$的友好点,已知点$A_1$的友好点为$A_2$,点$A_2$的友好点为$A_3$,点$A_3$的友好点为$A_4$…这样依次得到点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$.
(1)若点$A_1$的坐标为$(2,1)$,则点$A_3$的坐标为________,点$A_{2024}$的坐标为________.
(2)若点$A_{2024}$的坐标为$(-3,2)$,设$A_1(x,y)$,求$x+y$的值.
★(3)设点$A_1$的坐标为$(a,b)$,若点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$均在$y$轴左侧,求$a,b$的取值范围.
(1)若点$A_1$的坐标为$(2,1)$,则点$A_3$的坐标为________,点$A_{2024}$的坐标为________.
(2)若点$A_{2024}$的坐标为$(-3,2)$,设$A_1(x,y)$,求$x+y$的值.
★(3)设点$A_1$的坐标为$(a,b)$,若点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$均在$y$轴左侧,求$a,b$的取值范围.
答案
10.(1)$(-4,-1)$ $(-2,3)$
(2)由 $A_1(x,y)$ 可依次求得 $A_2(y-1,-x-1),A_3(-x-2,-y),A_4(-y-1,x+1),A_5(x,y),\dots$,
$\therefore A_{4n+1}(x,y),A_{4n+2}(y-1,-x-1),A_{4n+3}(-x-2,-y),A_{4n+4}(-y-1,x+1)$.
$\because 2024=4×505+4,\therefore A_{2024}(-y-1,x+1)$.
$\because A_{2024}(-3,2),\therefore \begin{cases}-y-1=-3,\\x+1=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}\therefore x+y=3$
(3)$\because A_1(a,b),A_2(b-1,-a-1),A_3(-a-2,-b),A_4(-b-1,a+1)$,且点 $ A_1,A_2,A_3 $,
$\dots,A_n$ 均在 $ y $ 轴左侧,$\therefore \begin{cases}a＜0,\\-a-2＜0,\end{cases}\begin{cases}b-1＜0,\\-b-1＜0,\end{cases}$ 解得 $-2＜a＜0,-1＜b＜1$
(2)由 $A_1(x,y)$ 可依次求得 $A_2(y-1,-x-1),A_3(-x-2,-y),A_4(-y-1,x+1),A_5(x,y),\dots$,
$\therefore A_{4n+1}(x,y),A_{4n+2}(y-1,-x-1),A_{4n+3}(-x-2,-y),A_{4n+4}(-y-1,x+1)$.
$\because 2024=4×505+4,\therefore A_{2024}(-y-1,x+1)$.
$\because A_{2024}(-3,2),\therefore \begin{cases}-y-1=-3,\\x+1=2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=1,\\y=2,\end{cases}\therefore x+y=3$
(3)$\because A_1(a,b),A_2(b-1,-a-1),A_3(-a-2,-b),A_4(-b-1,a+1)$,且点 $ A_1,A_2,A_3 $,
$\dots,A_n$ 均在 $ y $ 轴左侧,$\therefore \begin{cases}a＜0,\\-a-2＜0,\end{cases}\begin{cases}b-1＜0,\\-b-1＜0,\end{cases}$ 解得 $-2＜a＜0,-1＜b＜1$
解析
【分析】
本题是结合新定义“友好点”的平面直角坐标系规律探究题，解题思路如下：
1. 先明确友好点的变换规则：点$P(x,y)$的友好点为$P'(y-1,-x-1)$，即横坐标变为原纵坐标减1，纵坐标变为原横坐标的相反数减1。
2. 第(1)问：已知$A_1$坐标，按规则依次计算$A_2、A_3、A_4、A_5$的坐标，可发现变换每4次为一个周期循环，再用2024除以4，根据余数确定$A_{2024}$对应周期内的位置即可得坐标。
3. 第(2)问：推导得出变换周期为4，因此$A_{2024}$对应周期内第4个点的坐标形式，结合已知$A_{2024}$的坐标列方程组求解$x、y$，再计算$x+y$。
4. 第(3)问：y轴左侧的点横坐标均小于0，由于变换周期为4，只需保证前4个点的横坐标都小于0，即可保证所有点都在y轴左侧，据此列不等式组求解$a、b$的范围。
【解析】
(1) 已知$A_1(2,1)$，按友好点规则计算：
$A_2$坐标为$(1-1,-2-1)=(0,-3)$；
$A_3$坐标为$(-3-1,-0-1)=(-4,-1)$；
$A_4$坐标为$(-1-1,-(-4)-1)=(-2,3)$；
$A_5$坐标为$(3-1,-(-2)-1)=(2,1)$，和$A_1$重合，即变换周期为4。
∵$2024÷4=506$，余数为0，$A_{2024}$对应周期内第4个点，坐标为$(-2,3)$。
(2) 设$A_1(x,y)$，依次计算友好点：
$A_2(y-1,-x-1)$，$A_3(-x-2,-y)$，$A_4(-y-1,x+1)$，$A_5(x,y)$，可得变换周期为4，即$A_{4k}$（$k$为正整数）的坐标形式为$(-y-1,x+1)$。
∵$2024=4×506$，
∴$A_{2024}(-y-1,x+1)$，结合已知$A_{2024}(-3,2)$列方程组：
$\begin{cases}-y-1=-3 \\ x+1=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$，因此$x+y=1+2=3$。
(3) 已知$A_1(a,b)$，依次得前4个点坐标：$A_1(a,b)$，$A_2(b-1,-a-1)$，$A_3(-a-2,-b)$，$A_4(-b-1,a+1)$。
∵所有点均在y轴左侧，即所有点横坐标都小于0，列不等式组：
$\begin{cases}a＜0 \\ -a-2＜0\end{cases}$，$\begin{cases}b-1＜0 \\ -b-1＜0\end{cases}$
解第一个不等式组得$-2＜a＜0$，解第二个不等式组得$-1＜b＜1$。
【答案】
(1) $(-4,-1)$；$(-2,3)$
(2) $3$
(3) $-2＜a＜0$，$-1＜b＜1$
【知识点】
新定义变换，平面直角坐标系坐标特征，周期规律探究
【点评】
本题将新定义变换与平面直角坐标系结合，重点考查规律探究能力和运算求解能力。解题的核心是先通过计算找到友好点变换的周期为4，再结合周期特点解决对应坐标求解、参数范围问题，第三问需注意要保证周期内所有点的横坐标均满足小于0的要求，避免漏列不等式。
【难度系数】
0.6
本题是结合新定义“友好点”的平面直角坐标系规律探究题，解题思路如下：
1. 先明确友好点的变换规则：点$P(x,y)$的友好点为$P'(y-1,-x-1)$，即横坐标变为原纵坐标减1，纵坐标变为原横坐标的相反数减1。
2. 第(1)问：已知$A_1$坐标，按规则依次计算$A_2、A_3、A_4、A_5$的坐标，可发现变换每4次为一个周期循环，再用2024除以4，根据余数确定$A_{2024}$对应周期内的位置即可得坐标。
3. 第(2)问：推导得出变换周期为4，因此$A_{2024}$对应周期内第4个点的坐标形式，结合已知$A_{2024}$的坐标列方程组求解$x、y$，再计算$x+y$。
4. 第(3)问：y轴左侧的点横坐标均小于0，由于变换周期为4，只需保证前4个点的横坐标都小于0，即可保证所有点都在y轴左侧，据此列不等式组求解$a、b$的范围。
【解析】
(1) 已知$A_1(2,1)$，按友好点规则计算：
$A_2$坐标为$(1-1,-2-1)=(0,-3)$；
$A_3$坐标为$(-3-1,-0-1)=(-4,-1)$；
$A_4$坐标为$(-1-1,-(-4)-1)=(-2,3)$；
$A_5$坐标为$(3-1,-(-2)-1)=(2,1)$，和$A_1$重合，即变换周期为4。
∵$2024÷4=506$，余数为0，$A_{2024}$对应周期内第4个点，坐标为$(-2,3)$。
(2) 设$A_1(x,y)$，依次计算友好点：
$A_2(y-1,-x-1)$，$A_3(-x-2,-y)$，$A_4(-y-1,x+1)$，$A_5(x,y)$，可得变换周期为4，即$A_{4k}$（$k$为正整数）的坐标形式为$(-y-1,x+1)$。
∵$2024=4×506$，
∴$A_{2024}(-y-1,x+1)$，结合已知$A_{2024}(-3,2)$列方程组：
$\begin{cases}-y-1=-3 \\ x+1=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$，因此$x+y=1+2=3$。
(3) 已知$A_1(a,b)$，依次得前4个点坐标：$A_1(a,b)$，$A_2(b-1,-a-1)$，$A_3(-a-2,-b)$，$A_4(-b-1,a+1)$。
∵所有点均在y轴左侧，即所有点横坐标都小于0，列不等式组：
$\begin{cases}a＜0 \\ -a-2＜0\end{cases}$，$\begin{cases}b-1＜0 \\ -b-1＜0\end{cases}$
解第一个不等式组得$-2＜a＜0$，解第二个不等式组得$-1＜b＜1$。
【答案】
(1) $(-4,-1)$；$(-2,3)$
(2) $3$
(3) $-2＜a＜0$，$-1＜b＜1$
【知识点】
新定义变换，平面直角坐标系坐标特征，周期规律探究
【点评】
本题将新定义变换与平面直角坐标系结合，重点考查规律探究能力和运算求解能力。解题的核心是先通过计算找到友好点变换的周期为4，再结合周期特点解决对应坐标求解、参数范围问题，第三问需注意要保证周期内所有点的横坐标均满足小于0的要求，避免漏列不等式。
【难度系数】
0.6
