23. 如图,在$△ABC$中,$AD⊥BC$,垂足为 D,$BD= CD$,延长 BC 至点 E,使得$CE= CA$,连接 AE.
(1)求证:$∠B= ∠ACB;$
证明: $ \because A D \perp B C , B D = C D , \therefore A D $ 是 BC 的垂直平分线. $ \therefore A B = A C . \therefore \angle B = \angle A C B $.
(2)若$AB= 5,AD= 4$,求$△ABE$的周长和面积.
$△ABE$的周长为，面积为.

23. (1)证明: $ \because A D \perp B C , B D = C D , \therefore A D $ 是 BC 的垂直平分线. $ \therefore A B = A C . \therefore \angle B = \angle A C B $.
(2)解: 在 $ R t \triangle A D B $ 中, $ A B = 5 , A D = 4 , \therefore B D = \sqrt { A B ^ { 2 } - A D ^ { 2 } } = \sqrt { 5 ^ { 2 } - 4 ^ { 2 } } = 3 , C A = A B = C E = 5 $. $ \therefore C D = B D = 3 . \therefore D E = C D + C E = 3 + 5 = 8 $. $ \therefore B E = B D + D E = 3 + 8 = 11 $. 在 $ R t \triangle A D E $ 中, $ A E = \sqrt { A D ^ { 2 } + D E ^ { 2 } } = \sqrt { 4 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } } = 4 \sqrt { 5 } , \therefore C _ { \triangle A B E } = A B + B E + A E = 5 + 11 + 4 \sqrt { 5 } = 16 + 4 \sqrt { 5 } , S _ { \triangle A B E } = \frac { 1 } { 2 } × B E \cdot A D = \frac { 1 } { 2 } × 11 × 4 = 22 $.

24. 如图,正比例函数$y= 2x的图象与一次函数y= kx+b的图象交于点A(m,2)$,一次函数图象经过点$B(-2,-1)$,与 y 轴的交点为 C,与 x 轴的交点为 D.
(1)求一次函数的解析式;
(2)求点 C 的坐标;
(3)求$△AOD$的面积.

24. 解: (1) $ \because $ 正比例函数 $ y = 2 x $ 的图象与一次函数 $ y = k x + b $ 的图象交于点 $ A ( m , 2 ) , \therefore 2 m = 2 . \therefore m = 1 $. 把 $ A ( 1 , 2 ) $ 和 $ B ( - 2 , - 1 ) $ 的坐标分别代入 $ y = k x + b $ 中, 得 $ \left\{ \begin{array} { l } { k + b = 2 , } \\ { - 2 k + b = - 1 . } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { k = 1 , } \\ { b = 1 . } \end{array} \right. $ ∴一次函数的解析式是 $ y = x + 1 $. (2)在 $ y = x + 1 $ 中, 令 $ x = 0 $, 得 $ y = 1 $, 则点 C 的坐标为 $ ( 0 , 1 ) $. (3)在 $ y = x + 1 $ 中, 令 $ y = 0 $, 得 $ x = - 1 $, 则点 D 的坐标为 $ ( - 1 , 0 ) $, 则 $ S _ { \triangle A O D } = \frac { 1 } { 2 } × 1 × 2 = 1 $.