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7. (2024泸州中考)如图,EA,ED是$\odot O$的切线,切点为A,D,点B,C在$\odot O$上.若$∠BAE+∠BCD= 236^{\circ }$,则$∠E$的度数为____.
答案
68°
8. 已知,$\odot O$与四边形ABCD各边都相切,若$AB= 5,BC= 6,CD= 4$,则AD的长为____.
答案
3
9. 如图,在$△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 3,BC= 4$,则$△ABC$的内切圆半径的长为____.
答案
1
10. (2024湖北元调改)PA,PB分别与$\odot O$相切于A,B两点,C是$\odot O$上异于点A,B的一点.若$∠APB= 70^{\circ }$,则$∠ACB$的度数为____.
答案
125°或55°
11. 如图,$\odot O为△ABC$的内切圆,$AB= AC= 10,BC= 12$,则$\odot O$的半径为____.
答案
3
12. (教材$P_{101}T_{6}$变式)如图,PA,PB是$\odot O$的切线,A,B为切点,AC是$\odot O$的直径,OP交$\odot O$于点E.
(1)求证:$BC// OP$;
(2)若$∠C= 60^{\circ },AC= 4$,求PA的长;
(3)求证:点E是$△ABP$的内心.
(1)求证:$BC// OP$;
(2)若$∠C= 60^{\circ },AC= 4$,求PA的长;
(3)求证:点E是$△ABP$的内心.
答案
解：(1) 证 $∠ABC = 90°$，
$OP⊥AB$ 即可；
(2) $2\sqrt{3}$．证 $△PAB$ 是等边三角形即可；
(3) 连接 $BE$，$AE$，$OB$，
$\because ∠ABE + ∠OEB = 90°$，
$∠PBE + ∠OBE = 90°$，
又 $\because ∠OBE = ∠OEB$，
$\therefore ∠ABE = ∠PBE$，
同理得 $∠BAE = ∠PAE$，
$\because ∠APO = ∠BPO$，
$\therefore E$ 是 $△ABP$ 的内心．
$OP⊥AB$ 即可；
(2) $2\sqrt{3}$．证 $△PAB$ 是等边三角形即可；
(3) 连接 $BE$，$AE$，$OB$，
$\because ∠ABE + ∠OEB = 90°$，
$∠PBE + ∠OBE = 90°$，
又 $\because ∠OBE = ∠OEB$，
$\therefore ∠ABE = ∠PBE$，
同理得 $∠BAE = ∠PAE$，
$\because ∠APO = ∠BPO$，
$\therefore E$ 是 $△ABP$ 的内心．
