(教材$P_{100}T_{1}$变式)$△ABC$是圆的内接三角形,点P是$△ABC$的内心,$∠A= 50^{\circ }$,则$∠BPC$的度数为____.
【点睛】 混淆三角形的内心与外心的概念,将点P理解为$△ABC$外接圆的圆心而出错.

115°

1. 如图,PA,PB分别与$\odot O$相切于点A,B,OP交$\odot O$于点E,下列结论错误的是()

A. $∠1= ∠2$
B. $PA= PB$
C. $OP⊥AB$
D. $PE= OE$

D

2. 如图,$\odot O$的半径为2,PA,PB分别与$\odot O$相切于点A,B,$∠C= 60^{\circ }$,则PA的长为____.

$2\sqrt{3}$

3. 如图,PA,PB,CD分别与$\odot O$相切于点A,B,E,若$AC= 2,BD= 3$,则$CD= $____;若$PA= 8$,则$△PCD$的周长为____.

5 16

4. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },AC= 6,BC= 8$,点O在BC上,以OC的长为半径作$\odot O$与AB相切于点D,与BC交于另一点E.
(1)求BD的长;
(2)求BE的长.

解：(1) $\because ∠ACB = 90°$，
$\therefore AC$ 与 $⊙O$ 相切，
又 $\because AD$ 为 $⊙O$ 的切线，
$\therefore AD = AC = 6$，
$\therefore BD = AB - AD = 10 - 6 = 4$；
(2) 连接 $OD$，则 $OD⊥AB$，
设 $OD = OC = r$，则 $OB = 8 - r$，
在 $Rt△BOD$ 中，
$4^{2}+r^{2}=(8 - r)^{2}$，$\therefore r = 3$，
$\therefore BE = BC - EC = 8 - 6 = 2$．
(另解：连接 $OD$，$OA$，
设 $⊙O$ 的半径为 $r$，
$\because \frac{1}{2}AB·OD = \frac{1}{2}OB·AC$，
$\therefore 10r = 6(8 - r)$，$\therefore r = 3$，
$\therefore BE = BC - EC = 8 - 6 = 2$．)

5. (教材$P_{100}$例2变式)如图,$△ABC的内切圆\odot O$与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且$AD= 2,△ABC$的周长为14,则BC的长为____.

5

6. 如图,$\odot O是△ABC$的内切圆,$∠C= 40^{\circ }$,则$∠AOB$的度数为____.

110°

13. (教材$P_{101}T_{6}$变式)如图,PA,PB分别与$\odot O$相切于A,B两点,AC是$\odot O$的直径,$AC= AP$,连接OP交AB于点D,连接BC.
(1)求证:$△ABC\cong △PDA$;
(2)连接PC,交$\odot O$于点E,连接DE,求$\frac {BD}{DE}$的值.

解：(1) 证 $∠ACB = ∠PAD$，
$∠ABC = ∠PDA = 90°$，
又 $\because AC = AP$，
$\therefore △ABC ≌ △PDA$；
(2) 连接 $AE$，$BE$，
由(1)知 $BC = AD$，证 $AE = CE$．
$\because ∠DAE = ∠BCE$，
$\therefore △EAD ≌ △ECB$，
$\therefore DE = BE$，$∠AED = ∠CEB$，
$\because ∠AEC = 90°$，
$\therefore ∠DEB = 90°$，$\therefore \frac{BD}{DE}=\sqrt{2}$．