1. 如图,四边形 ABCD 是平行四边形,AB = AC,⊙O 是△ABC 的外接圆。求证：AD 与⊙O 相切。

证明：连接 $ OA $，$ OB $，$ OC $，则 $ \triangle AOB \cong \triangle AOC $，$ \therefore \angle BAO = \angle CAO $。$ \because AB = AC $，$ \therefore AO \perp BC $。$ \because AD // BC $，$ AD \perp AO $，$ \therefore AD $ 与 $ \odot O $ 相切。

2. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,D 是 AB 上一点,且∠BCD = $\frac{1}{2}$∠A,点 O 在 BC 上,以点 O 为圆心的圆经过 C,D 两点。试判断直线 AB 与⊙O 的位置关系,并说明理由。

解：直线 $ AB $ 与 $ \odot O $ 相切。理由如下：连接 $ OD $。$ \because \angle BCD = \frac{1}{2} \angle BOD $，$ \angle BCD = \frac{1}{2} \angle A $，$ \therefore \angle BOD = \angle A $。$ \because \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle A + \angle B = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle BOD + \angle B = 90^{\circ} $，$ \therefore \angle BDO = 90^{\circ} $，即 $ OD \perp AB $。$ \because OD $ 是 $ \odot O $ 的半径，$ \therefore $ 直线 $ AB $ 与 $ \odot O $ 相切。

3. (教材 $P_{98}$ 例 1 变式)(2024 武汉中考)如图,△ABC 为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点,腰 AC 与半圆 O 相切于点 D,底边 BC 与半圆 O 交于 E,F 两点。求证：AB 与半圆 O 相切。

证明：连接 $ OD $，$ OA $，作 $ OH \perp AB $ 于点 $ H $。$ \because \triangle ABC $ 为等腰三角形，$ O $ 是底边 $ BC $ 的中点，$ \therefore AO \perp BC $，$ AO $ 平分 $ \angle BAC $，$ \because AC $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ D $，$ \therefore OD \perp AC $，而 $ OH \perp AB $，$ \therefore OH = OD $，即 $ OH $ 为 $ \odot O $ 的半径，$ \therefore AB $ 与半圆 $ O $ 相切。

4. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,D 是边 AB 的中点,点 O 在边 AC 上,⊙O 经过点 C 且与边 AB 相切于点 E,∠FAC = $\frac{1}{2}$∠BDC。求证：AF 是⊙O 的切线。

证明：作 $ OH \perp FA $，垂足为 $ H $，连接 $ OE $。$ \because \angle ACB = 90^{\circ} $，$ D $ 是 $ AB $ 的中点，$ \therefore CD = AD = \frac{1}{2} AB $，$ \therefore \angle CAD = \angle ACD $，$ \therefore \angle BDC = \angle CAD + \angle ACD $ $ = 2 \angle CAD $。又 $ \because \angle FAC = \frac{1}{2} \angle BDC $，$ \therefore \angle FAC = \angle CAB $，即 $ AC $ 是 $ \angle FAB $ 的平分线。$ \because $ 点 $ O $ 在 $ AC $ 上，$ \odot O $ 与 $ AB $ 相切于点 $ E $，$ \therefore OE \perp AB $，且 $ OE $ 是 $ \odot O $ 的半径，$ \therefore OH = OE $，$ OH $ 是 $ \odot O $ 的半径，$ \therefore AF $ 是 $ \odot O $ 的切线。