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1. ★★★|跨学科融合（2025·杭州期中）下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（
A.水中捞月
B.守株待兔
C.旭日东升
D.夕阳西下
A
）A.水中捞月
B.守株待兔
C.旭日东升
D.夕阳西下
答案
1. A
解析
【分析】
要判断各选项事件的可能性大小，首先明确不同类型事件的可能性范围：必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间。解题时先逐一分析每个成语/词语对应的事件类型，再对比可能性大小，即可找到可能性最小的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项对应的事件类型及可能性：
A. 水中捞月：水中的月亮是光的反射形成的虚像，实际不存在，不可能捞到，属于不可能事件，发生的可能性为0；
B. 守株待兔：兔子撞到树桩是可能发生的小概率事件，属于随机事件，发生的可能性大于0；
C. 旭日东升：是地球自转产生的必然自然现象，属于必然事件，发生的可能性为1；
D. 夕阳西下：同样是必然发生的自然现象，属于必然事件，发生的可能性为1。
对比各事件的可能性，0是最小的，因此可能性最小的是水中捞月。
【答案】
A
【知识点】
事件类型判断、可能性大小比较、不可能事件
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将成语常识与概率知识结合，既考查学生的日常积累，又考查对不同事件发生可能性的辨析能力，题目基础性强，贴近生活实际。
【难度系数】
0.9
要判断各选项事件的可能性大小，首先明确不同类型事件的可能性范围：必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间。解题时先逐一分析每个成语/词语对应的事件类型，再对比可能性大小，即可找到可能性最小的选项。
【解析】
我们逐个分析各选项对应的事件类型及可能性：
A. 水中捞月：水中的月亮是光的反射形成的虚像，实际不存在，不可能捞到，属于不可能事件，发生的可能性为0；
B. 守株待兔：兔子撞到树桩是可能发生的小概率事件，属于随机事件，发生的可能性大于0；
C. 旭日东升：是地球自转产生的必然自然现象，属于必然事件，发生的可能性为1；
D. 夕阳西下：同样是必然发生的自然现象，属于必然事件，发生的可能性为1。
对比各事件的可能性，0是最小的，因此可能性最小的是水中捞月。
【答案】
A
【知识点】
事件类型判断、可能性大小比较、不可能事件
【点评】
本题属于跨学科融合题型，将成语常识与概率知识结合，既考查学生的日常积累，又考查对不同事件发生可能性的辨析能力，题目基础性强，贴近生活实际。
【难度系数】
0.9
2. ★★★ (2025·温州月考)下图是一个游戏转盘,自由转动转盘,当转盘停止转动后,指针落在“A”所示区域内的概率是 (
A.$\dfrac{5}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{12}$
C
)A.$\dfrac{5}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{12}$
答案
2. C
解析
【分析】
本题为转盘类几何概率问题，解题思路如下：首先明确几何概率的计算规则：指针落在某区域的概率等于该区域对应的圆心角度数与整个圆周总角度（360°）的比值。接下来从图中提取“A”区域对应的圆心角度数，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：整个转盘为一个圆，对应的总圆心角度数为360°，由题图可知，“A”所示区域的圆心角为60°。
根据几何概率计算公式可得：
$P(\mathrm{指针落在A区域})=\frac{\mathrm{A区域圆心角度数}}{\mathrm{总圆心角度数}}=\frac{60°}{360°}=\frac{1}{6}$
【答案】
C
【知识点】
几何概率计算，圆心角的认识
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查几何概率的计算逻辑，只要掌握“区域概率为对应部分角度与整体总角度的占比”这一规律，结合图示信息即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题为转盘类几何概率问题，解题思路如下：首先明确几何概率的计算规则：指针落在某区域的概率等于该区域对应的圆心角度数与整个圆周总角度（360°）的比值。接下来从图中提取“A”区域对应的圆心角度数，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：整个转盘为一个圆，对应的总圆心角度数为360°，由题图可知，“A”所示区域的圆心角为60°。
根据几何概率计算公式可得：
$P(\mathrm{指针落在A区域})=\frac{\mathrm{A区域圆心角度数}}{\mathrm{总圆心角度数}}=\frac{60°}{360°}=\frac{1}{6}$
【答案】
C
【知识点】
几何概率计算，圆心角的认识
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查几何概率的计算逻辑，只要掌握“区域概率为对应部分角度与整体总角度的占比”这一规律，结合图示信息即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有
0.8a
只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是$\dfrac{5}{8}$
。答案
3. $0.8a$ $\dfrac{5}{8}$
解析
【分析】
第一空：根据概率的意义，已知总数量和对应存活概率，存活数量=总数量×存活概率，直接代入计算即可。第二空：需明确活到25岁的动物一定先活到了20岁，因此所求概率是存活到25岁的动物数量占存活到20岁的动物数量的比例，用两者的数量作比即可，总只数a在计算时可约去，不影响结果。
【解析】
1. 计算20年后存活的数量：
已知刚出生的动物共$a$只，活到20岁的概率为0.8，因此20年后存活的数量为总只数乘以活到20岁的概率，即 $a × 0.8 = 0.8a$ 只。
2. 计算现年20岁的动物活到25岁的概率：
活到25岁的动物必然已经活到20岁，因此活到25岁的$0.5a$只动物都包含在20年后存活的$0.8a$只动物中。
所求概率 = 活到25岁的动物数量 ÷ 活到20岁的动物数量，即 $\frac{0.5a}{0.8a} = \frac{0.5}{0.8} = \frac{5}{8}$（$a≠0$，可约去）。
【答案】
$0.8a$；$\dfrac{5}{8}$
【知识点】
概率的意义；频数计算；概率计算
【点评】
本题考查概率的实际应用，解题的关键是明确第二问的计算范围是已经存活到20岁的动物，易错点是容易忽略前提直接将0.5作为答案，理清两类存活动物的包含关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
第一空：根据概率的意义，已知总数量和对应存活概率，存活数量=总数量×存活概率，直接代入计算即可。第二空：需明确活到25岁的动物一定先活到了20岁，因此所求概率是存活到25岁的动物数量占存活到20岁的动物数量的比例，用两者的数量作比即可，总只数a在计算时可约去，不影响结果。
【解析】
1. 计算20年后存活的数量：
已知刚出生的动物共$a$只，活到20岁的概率为0.8，因此20年后存活的数量为总只数乘以活到20岁的概率，即 $a × 0.8 = 0.8a$ 只。
2. 计算现年20岁的动物活到25岁的概率：
活到25岁的动物必然已经活到20岁，因此活到25岁的$0.5a$只动物都包含在20年后存活的$0.8a$只动物中。
所求概率 = 活到25岁的动物数量 ÷ 活到20岁的动物数量，即 $\frac{0.5a}{0.8a} = \frac{0.5}{0.8} = \frac{5}{8}$（$a≠0$，可约去）。
【答案】
$0.8a$；$\dfrac{5}{8}$
【知识点】
概率的意义；频数计算；概率计算
【点评】
本题考查概率的实际应用，解题的关键是明确第二问的计算范围是已经存活到20岁的动物，易错点是容易忽略前提直接将0.5作为答案，理清两类存活动物的包含关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
4. (2025·浙江期中)如图,阴影部分是抛物线$y=-2x^2+2$与x轴围成的封闭图形,为了估计阴影部分的面积,在矩形ABCD中随机产生1 000个点,落在阴影部分的点数为700个,则阴影部分面积的近似值为
2.8
.答案
4. 2.8
解析:在抛物线$y=-2x^2+2$中,当$x=0$时,$y=2$;当$y=0$时,$x=\pm1$,$\therefore B(-1,0),C(1,0),A(-1,2),D(1,2)$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是边长为2的正方形,$\therefore$ 正方形的面积为4.设阴影部分的面积为$x$,则有$\dfrac{700}{1\ 000}=\dfrac{x}{4}$,解得$x=2.8$.
解析:在抛物线$y=-2x^2+2$中,当$x=0$时,$y=2$;当$y=0$时,$x=\pm1$,$\therefore B(-1,0),C(1,0),A(-1,2),D(1,2)$,$\therefore$ 四边形$ABCD$是边长为2的正方形,$\therefore$ 正方形的面积为4.设阴影部分的面积为$x$,则有$\dfrac{700}{1\ 000}=\dfrac{x}{4}$,解得$x=2.8$.
解析
【分析】
本题是结合二次函数与概率知识的综合应用题，解题思路分为两步：第一步先根据抛物线解析式求出它与坐标轴的交点坐标，得到矩形ABCD的边长，计算出矩形的面积；第二步利用频率估计概率的原理，随机试验中事件发生的频率近似等于对应区域的面积占比，即“落在阴影部分的点数÷总点数≈阴影部分面积÷矩形面积”，列方程即可求出阴影部分的近似面积。
【解析】
解：先求抛物线$y=-2x^2+2$与坐标轴的交点：
令$y=0$，则$-2x^2+2=0$，解得$x=\pm1$，即点$B(-1,0)$，$C(1,0)$，因此$BC$的长度为$1-(-1)=2$；
令$x=0$，则$y=2$，可知矩形ABCD的竖直边长为2，即ABCD是边长为2的正方形，其面积为$2×2=4$。
设阴影部分的面积为$S$，根据频率估计概率的原理可得：
$\frac{700}{1000}=\frac{S}{4}$
解得$S=4×0.7=2.8$。
【答案】
2.8
【知识点】
1. 频率估计概率
2. 二次函数的图象与交点
3. 几何概率
【点评】
本题将二次函数性质和概率的实际应用结合，解题核心是理解随机模拟试验中频率与区域面积占比的对应关系，先求出规则图形的面积，再通过比例关系求解未知面积，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是结合二次函数与概率知识的综合应用题，解题思路分为两步：第一步先根据抛物线解析式求出它与坐标轴的交点坐标，得到矩形ABCD的边长，计算出矩形的面积；第二步利用频率估计概率的原理，随机试验中事件发生的频率近似等于对应区域的面积占比，即“落在阴影部分的点数÷总点数≈阴影部分面积÷矩形面积”，列方程即可求出阴影部分的近似面积。
【解析】
解：先求抛物线$y=-2x^2+2$与坐标轴的交点：
令$y=0$，则$-2x^2+2=0$，解得$x=\pm1$，即点$B(-1,0)$，$C(1,0)$，因此$BC$的长度为$1-(-1)=2$；
令$x=0$，则$y=2$，可知矩形ABCD的竖直边长为2，即ABCD是边长为2的正方形，其面积为$2×2=4$。
设阴影部分的面积为$S$，根据频率估计概率的原理可得：
$\frac{700}{1000}=\frac{S}{4}$
解得$S=4×0.7=2.8$。
【答案】
2.8
【知识点】
1. 频率估计概率
2. 二次函数的图象与交点
3. 几何概率
【点评】
本题将二次函数性质和概率的实际应用结合，解题核心是理解随机模拟试验中频率与区域面积占比的对应关系，先求出规则图形的面积，再通过比例关系求解未知面积，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 🏆 |开放性试题 数学老师在黑板上画出一个幻方如图所示，并设计双人游戏：一人在黑板上随机指出一个数字，另一人蒙眼猜数；若所猜数字与指出的数字相符，则猜数的人获胜，否则指数的人获胜。猜数的方法从以下三种中选一种.
①猜“是奇数”或“是偶数”；②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
③猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”.
(1)如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎么猜？说明理由.
(2)请你设计第四种猜数方法，使猜数者获胜概率更大.
①猜“是奇数”或“是偶数”；②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
③猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”.
(1)如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎么猜？说明理由.
(2)请你设计第四种猜数方法，使猜数者获胜概率更大.
答案
5. (1)为了尽可能获胜,我将选择方法②,猜“不是3的倍数”.理由:由幻方中的数据,可得“是奇数”的概率是$\dfrac{5}{9}$,“是偶数”的概率是$\dfrac{4}{9}$;“是3的倍数”的概率是$\dfrac{1}{3}$,“不是3的倍数”的概率是$\dfrac{2}{3}$,“是大于5的数”的概率是$\dfrac{4}{9}$,“不是大于5的数”的概率是$\dfrac{5}{9}$.
$\because \dfrac{1}{3}＜\dfrac{4}{9}＜\dfrac{5}{9}＜\dfrac{2}{3}$,$\therefore$ 为了尽可能获胜,我将选择方法②,猜“不是3的倍数”.
(2)猜“大于1的数”或“不大于1的数”中的“大于1的数”.(答案不唯一)
$\because \dfrac{1}{3}＜\dfrac{4}{9}＜\dfrac{5}{9}＜\dfrac{2}{3}$,$\therefore$ 为了尽可能获胜,我将选择方法②,猜“不是3的倍数”.
(2)猜“大于1的数”或“不大于1的数”中的“大于1的数”.(答案不唯一)
解析
【分析】
解决本题的核心是通过比较不同猜法下的获胜概率，选择概率最高的方案。首先明确随机指数字时，9个数字被选中的可能性相等，属于等可能事件。第一步分别统计三种猜法中两类事件对应的数字个数，再根据“概率=所求情况数÷总情况数”计算各事件的概率，比较后选择概率最大的猜法即可；第二问设计新猜法时，只要让其中一类事件的概率大于$\frac{2}{3}$（对应数字个数超过6），就能让猜数者获胜概率更大。
【解析】
(1) 总共有9个等可能的结果，分别统计三类情况的数量：
① 奇数有1、3、5、7、9共5个，偶数有2、4、6、8共4个，因此$P(\mathrm{是奇数})=\frac{5}{9}$，$P(\mathrm{是偶数})=\frac{4}{9}$；
② 3的倍数有3、6、9共3个，不是3的倍数有$9-3=6$个，因此$P(\mathrm{是3的倍数})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{不是3的倍数})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$；
③ 大于5的数有6、7、8、9共4个，不是大于5的数有$9-4=5$个，因此$P(\mathrm{是大于5的数})=\frac{4}{9}$，$P(\mathrm{不是大于5的数})=\frac{5}{9}$。
比较概率大小可得：$\frac{1}{3}＜\frac{4}{9}＜\frac{5}{9}＜\frac{2}{3}$，因此猜“不是3的倍数”的获胜概率最高，选择方法②。
(2) 示例：大于1的数共有8个，$P(\mathrm{大于1的数})=\frac{8}{9}＞\frac{2}{3}$，因此可设计猜“是大于1的数”或“不大于1的数”，选“大于1的数”即可，答案不唯一。
【答案】
(1)为了尽可能获胜,我将选择方法②,猜“不是3的倍数”.理由:由幻方中的数据,可得“是奇数”的概率是$\dfrac{5}{9}$,“是偶数”的概率是$\dfrac{4}{9}$;“是3的倍数”的概率是$\dfrac{1}{3}$,“不是3的倍数”的概率是$\dfrac{2}{3}$,“是大于5的数”的概率是$\dfrac{4}{9}$,“不是大于5的数”的概率是$\dfrac{5}{9}$.
$\because \dfrac{1}{3}＜\dfrac{4}{9}＜\dfrac{5}{9}＜\dfrac{2}{3}$,$\therefore$ 为了尽可能获胜,我将选择方法②,猜“不是3的倍数”.
(2)猜“大于1的数”或“不大于1的数”中的“大于1的数”.(答案不唯一)
【知识点】
概率计算，可能性大小比较，概率实际应用
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的应用，既需要掌握等可能事件概率的计算方法，也需要通过概率比较选择最优方案，开放性设问能锻炼发散思维，体现了数学知识在实际场景中的实用性。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是通过比较不同猜法下的获胜概率，选择概率最高的方案。首先明确随机指数字时，9个数字被选中的可能性相等，属于等可能事件。第一步分别统计三种猜法中两类事件对应的数字个数，再根据“概率=所求情况数÷总情况数”计算各事件的概率，比较后选择概率最大的猜法即可；第二问设计新猜法时，只要让其中一类事件的概率大于$\frac{2}{3}$（对应数字个数超过6），就能让猜数者获胜概率更大。
【解析】
(1) 总共有9个等可能的结果，分别统计三类情况的数量：
① 奇数有1、3、5、7、9共5个，偶数有2、4、6、8共4个，因此$P(\mathrm{是奇数})=\frac{5}{9}$，$P(\mathrm{是偶数})=\frac{4}{9}$；
② 3的倍数有3、6、9共3个，不是3的倍数有$9-3=6$个，因此$P(\mathrm{是3的倍数})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P(\mathrm{不是3的倍数})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$；
③ 大于5的数有6、7、8、9共4个，不是大于5的数有$9-4=5$个，因此$P(\mathrm{是大于5的数})=\frac{4}{9}$，$P(\mathrm{不是大于5的数})=\frac{5}{9}$。
比较概率大小可得：$\frac{1}{3}＜\frac{4}{9}＜\frac{5}{9}＜\frac{2}{3}$，因此猜“不是3的倍数”的获胜概率最高，选择方法②。
(2) 示例：大于1的数共有8个，$P(\mathrm{大于1的数})=\frac{8}{9}＞\frac{2}{3}$，因此可设计猜“是大于1的数”或“不大于1的数”，选“大于1的数”即可，答案不唯一。
【答案】
(1)为了尽可能获胜,我将选择方法②,猜“不是3的倍数”.理由:由幻方中的数据,可得“是奇数”的概率是$\dfrac{5}{9}$,“是偶数”的概率是$\dfrac{4}{9}$;“是3的倍数”的概率是$\dfrac{1}{3}$,“不是3的倍数”的概率是$\dfrac{2}{3}$,“是大于5的数”的概率是$\dfrac{4}{9}$,“不是大于5的数”的概率是$\dfrac{5}{9}$.
$\because \dfrac{1}{3}＜\dfrac{4}{9}＜\dfrac{5}{9}＜\dfrac{2}{3}$,$\therefore$ 为了尽可能获胜,我将选择方法②,猜“不是3的倍数”.
(2)猜“大于1的数”或“不大于1的数”中的“大于1的数”.(答案不唯一)
【知识点】
概率计算，可能性大小比较，概率实际应用
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的应用，既需要掌握等可能事件概率的计算方法，也需要通过概率比较选择最优方案，开放性设问能锻炼发散思维，体现了数学知识在实际场景中的实用性。
【难度系数】
0.7
