登录
1. ★★★（2025·邯郸期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为$ f $，该事件的概率为$ P $。下列说法正确的是（
A.试验次数越多，$ f $越大
B.$ f $与$ P $都可能发生变化
C.试验次数越多，$ f $越接近于$ P $
D.当试验次数很大时，$ f $在$ P $附近摆动，并趋于稳定
D
）A.试验次数越多，$ f $越大
B.$ f $与$ P $都可能发生变化
C.试验次数越多，$ f $越接近于$ P $
D.当试验次数很大时，$ f $在$ P $附近摆动，并趋于稳定
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先明确频率和概率的核心概念与二者的关系，按照以下思路推导：1. 概率是随机事件的固有属性，是固定不变的常数，和试验次数无关；2. 频率是单次重复试验中事件发生次数与总试验次数的比值，会随试验发生波动；3. 结合用频率估计概率的原理：当试验次数足够大时，频率会在概率附近摆动，逐渐趋于稳定。拿着上述结论逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
首先明确概念：概率$P$是随机事件的固有属性，为固定值，不随试验变化；频率$f$是某一次试验中事件发生次数与试验总次数的比值，随试验不同会发生波动。
对各选项逐一判断：
A. 试验次数增多时，频率$f$仅会在概率$P$附近波动，不会随试验次数增加而持续变大，若事件概率很小，$f$不可能越来越大，故A错误；
B. 概率$P$是固定不变的，只有频率$f$可能发生变化，故B错误；
C. 试验次数增加时，频率$f$的整体趋势是靠近$P$，但存在偶然波动的情况，不是试验次数越多就必然越接近$P$，表述不准确，故C错误；
D. 根据用频率估计概率的基本原理，当试验次数很大时，频率$f$会在概率$P$附近摆动，并趋于稳定，表述符合定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系，用频率估计概率
【点评】
本题核心考查对频率、概率概念的辨析，以及频率估计概率原理的准确理解，需要注意区分概率的确定性和频率的波动性，避免对“大量重复试验下频率的变化规律”产生片面认知。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确频率和概率的核心概念与二者的关系，按照以下思路推导：1. 概率是随机事件的固有属性，是固定不变的常数，和试验次数无关；2. 频率是单次重复试验中事件发生次数与总试验次数的比值，会随试验发生波动；3. 结合用频率估计概率的原理：当试验次数足够大时，频率会在概率附近摆动，逐渐趋于稳定。拿着上述结论逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
首先明确概念：概率$P$是随机事件的固有属性，为固定值，不随试验变化；频率$f$是某一次试验中事件发生次数与试验总次数的比值，随试验不同会发生波动。
对各选项逐一判断：
A. 试验次数增多时，频率$f$仅会在概率$P$附近波动，不会随试验次数增加而持续变大，若事件概率很小，$f$不可能越来越大，故A错误；
B. 概率$P$是固定不变的，只有频率$f$可能发生变化，故B错误；
C. 试验次数增加时，频率$f$的整体趋势是靠近$P$，但存在偶然波动的情况，不是试验次数越多就必然越接近$P$，表述不准确，故C错误；
D. 根据用频率估计概率的基本原理，当试验次数很大时，频率$f$会在概率$P$附近摆动，并趋于稳定，表述符合定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系，用频率估计概率
【点评】
本题核心考查对频率、概率概念的辨析，以及频率估计概率原理的准确理解，需要注意区分概率的确定性和频率的波动性，避免对“大量重复试验下频率的变化规律”产生片面认知。
【难度系数】
0.6
2. ★★★ (2025·贵州中考)某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表，则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 (
A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
B
)A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
答案
2. B
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆用频率估计概率的核心原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定数值附近，这个稳定值就是该事件发生概率的估计值。接下来观察表格中的频率数据，重点关注抛掷次数较大时的频率变化：可以看到当抛掷次数超过500次后，“正面朝上”的频率一直稳定在0.55，说明这个值就是我们要找的概率估计值，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据用频率估计概率的规律：大量重复试验时，事件发生的频率的稳定值即为该事件的概率。
观察表格数据，随着抛掷次数不断增大，“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.55附近，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题考查频率与概率的关系，属于基础题，解题时要注意只有试验次数足够多时的稳定频率才能作为概率的估计值，不要被少量试验下的波动频率误导。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要回忆用频率估计概率的核心原理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定数值附近，这个稳定值就是该事件发生概率的估计值。接下来观察表格中的频率数据，重点关注抛掷次数较大时的频率变化：可以看到当抛掷次数超过500次后，“正面朝上”的频率一直稳定在0.55，说明这个值就是我们要找的概率估计值，对应选出正确选项即可。
【解析】
根据用频率估计概率的规律：大量重复试验时，事件发生的频率的稳定值即为该事件的概率。
观察表格数据，随着抛掷次数不断增大，“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.55附近，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题考查频率与概率的关系，属于基础题，解题时要注意只有试验次数足够多时的稳定频率才能作为概率的估计值，不要被少量试验下的波动频率误导。
【难度系数】
0.85
3. ★★★(2025·成都期中)二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为10 cm×10 cm的正方形纸片上，如图，为了估计黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色部分的面积为 (
A.60 cm²
B.120 cm²
C.0.6 cm²
D.36 cm²
A
)A.60 cm²
B.120 cm²
C.0.6 cm²
D.36 cm²
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先计算出正方形纸片的总面积，再结合大量重复试验中频率稳定于概率的规律，可知黑色部分面积占总面积的比值等于点落在黑色部分的频率，最后用总面积乘以该频率即可得到黑色部分的估计面积。
【解析】
首先计算正方形纸片的总面积：
正方形边长为10cm，因此总面积$ S_{总}=10×10=100\ \mathrm{cm}^2 $
经过大量重复试验，点落在黑色部分的频率稳定在0.6，根据频率估计概率的原理，可估计点落在黑色部分的概率为0.6，即黑色部分面积占总面积的比值为0.6。
因此黑色部分的面积约为：
$ S_{黑}=S_{总}×0.6=100×0.6=60\ \mathrm{cm}^2 $
故选A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率，正方形面积计算
【点评】
本题结合生活中的二维码场景考查概率的实际应用，解题核心是理解大量重复试验下，事件发生的频率可以作为概率的估计值，对应部分占总体的面积比等于该事件发生的概率，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先计算出正方形纸片的总面积，再结合大量重复试验中频率稳定于概率的规律，可知黑色部分面积占总面积的比值等于点落在黑色部分的频率，最后用总面积乘以该频率即可得到黑色部分的估计面积。
【解析】
首先计算正方形纸片的总面积：
正方形边长为10cm，因此总面积$ S_{总}=10×10=100\ \mathrm{cm}^2 $
经过大量重复试验，点落在黑色部分的频率稳定在0.6，根据频率估计概率的原理，可估计点落在黑色部分的概率为0.6，即黑色部分面积占总面积的比值为0.6。
因此黑色部分的面积约为：
$ S_{黑}=S_{总}×0.6=100×0.6=60\ \mathrm{cm}^2 $
故选A。
【答案】
A
【知识点】
用频率估计概率，正方形面积计算
【点评】
本题结合生活中的二维码场景考查概率的实际应用，解题核心是理解大量重复试验下，事件发生的频率可以作为概率的估计值，对应部分占总体的面积比等于该事件发生的概率，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
4. |方程思想（2025·重庆月考）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中红球有
4
个.答案
4. 4
解析
【分析】
首先，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在该事件发生的概率附近，因此可得出摸到黄球的概率为0.75。接下来我们可以设袋中红球的个数为未知数，结合概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，列出关于红球个数的方程，解方程即可得到结果。
【解析】
设袋中红球有$ x $个，则袋中球的总个数为$ (x+12) $个。
∵经过多次重复试验，摸到黄球的频率稳定在0.75
∴估计摸到黄球的概率为0.75
根据概率公式可得：$\frac{12}{x+12}=0.75$
解方程：
两边同乘$ x+12 $，得$ 12=0.75(x+12) $
展开得$ 12=0.75x+9 $
移项计算得$ 0.75x=3 $
解得$ x=4 $
检验：当$ x=4 $时，$ x+12=16≠0 $，所以$ x=4 $是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
4
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是频率估计概率的典型应用题，核心是理解“大量重复试验中稳定的频率可近似等于事件概率”，再结合概率公式列方程求解即可，计算量小，思路清晰，掌握对应知识点就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
首先，大量重复试验中，事件发生的频率会稳定在该事件发生的概率附近，因此可得出摸到黄球的概率为0.75。接下来我们可以设袋中红球的个数为未知数，结合概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”，列出关于红球个数的方程，解方程即可得到结果。
【解析】
设袋中红球有$ x $个，则袋中球的总个数为$ (x+12) $个。
∵经过多次重复试验，摸到黄球的频率稳定在0.75
∴估计摸到黄球的概率为0.75
根据概率公式可得：$\frac{12}{x+12}=0.75$
解方程：
两边同乘$ x+12 $，得$ 12=0.75(x+12) $
展开得$ 12=0.75x+9 $
移项计算得$ 0.75x=3 $
解得$ x=4 $
检验：当$ x=4 $时，$ x+12=16≠0 $，所以$ x=4 $是原方程的解，符合实际意义。
【答案】
4
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是频率估计概率的典型应用题，核心是理解“大量重复试验中稳定的频率可近似等于事件概率”，再结合概率公式列方程求解即可，计算量小，思路清晰，掌握对应知识点就能轻松解答。
【难度系数】
0.85
5. (2025·上海模拟)某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一事件发生的频率,绘制了如图所示的折线图.假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”,则正整数n的值最可能是
3
.答案
5. 3
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据频率估计概率的原理，大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定到某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值，观察折线图可得频率稳定在0.33左右，即概率约为$\frac{1}{3}$；第二步，结合概率公式计算1~9中n的倍数的个数，再验证正整数n的取值，找到符合概率要求的n即可。
【解析】
1. 确定概率估计值：观察折线图，随着试验次数增大，频率逐渐稳定在0.33附近，因此该事件发生的概率约为$\frac{1}{3}$。
2. 计算符合要求的n的倍数个数：1~9共有9个整数，根据概率公式，$P(\mathrm{选到}n\mathrm{的倍数})=\frac{\mathrm{1~9中}n\mathrm{的倍数的个数}}{9}=\frac{1}{3}$，可得1~9中n的倍数的个数为$9×\frac{1}{3}=3$个。
3. 验证n的取值：
当n=3时，1~9中3的倍数为3、6、9，共3个，概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\approx0.33$，和频率稳定值一致；
若n取其他正整数：n=1时概率为1，n=2时倍数有4个，概率约为0.44，n≥4时倍数个数不超过2，概率不超过$\frac{2}{9}\approx0.22$，均和0.33差距较大，不符合要求。
因此正整数n的值最可能是3。
【答案】
3
【知识点】
用频率估计概率；简单概率计算
【点评】
本题将折线统计图与概率知识结合，核心是理解频率与概率的关系，大量重复试验下的频率稳定值可作为概率的估计值，再通过概率计算反推参数，难度不大，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，根据频率估计概率的原理，大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定到某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值，观察折线图可得频率稳定在0.33左右，即概率约为$\frac{1}{3}$；第二步，结合概率公式计算1~9中n的倍数的个数，再验证正整数n的取值，找到符合概率要求的n即可。
【解析】
1. 确定概率估计值：观察折线图，随着试验次数增大，频率逐渐稳定在0.33附近，因此该事件发生的概率约为$\frac{1}{3}$。
2. 计算符合要求的n的倍数个数：1~9共有9个整数，根据概率公式，$P(\mathrm{选到}n\mathrm{的倍数})=\frac{\mathrm{1~9中}n\mathrm{的倍数的个数}}{9}=\frac{1}{3}$，可得1~9中n的倍数的个数为$9×\frac{1}{3}=3$个。
3. 验证n的取值：
当n=3时，1~9中3的倍数为3、6、9，共3个，概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\approx0.33$，和频率稳定值一致；
若n取其他正整数：n=1时概率为1，n=2时倍数有4个，概率约为0.44，n≥4时倍数个数不超过2，概率不超过$\frac{2}{9}\approx0.22$，均和0.33差距较大，不符合要求。
因此正整数n的值最可能是3。
【答案】
3
【知识点】
用频率估计概率；简单概率计算
【点评】
本题将折线统计图与概率知识结合，核心是理解频率与概率的关系，大量重复试验下的频率稳定值可作为概率的估计值，再通过概率计算反推参数，难度不大，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
