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1. 如图，OA是$\odot O$的半径，B为OA上一点(且不与点O，A重合)，过点B作OA的垂线交$\odot O$于点C.以OB，BC为边作矩形OBCD，连结BD.若$BD=10$，$BC=8$，则AB的长为 (
A.8
B.6
C.4
D.2
（第1题）
C
)A.8
B.6
C.4
D.2
（第1题）答案
1.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据矩形对角线相等的性质，得到BD与圆的半径OC相等，由此求出圆的半径长度；第二步，由BC垂直OA可知△OBC是直角三角形，已知OC和BC的长度，利用勾股定理求出OB的长度；第三步，AB是半径OA与OB的差，代入数值计算即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵四边形OBCD是矩形，
∴矩形对角线相等，即$OC=BD$，
∵$BD=10$，
∴$OC=10$，
∵OC、OA都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=10$，
∵$BC⊥OA$，
∴$∠ OBC=90°$，即$△ OBC$是直角三角形，
在$Rt△ OBC$中，$OC=10$，$BC=8$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{OC^2 - BC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$AB=OA - OB=10 - 6=4$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础计算题，将矩形性质与圆的特征结合考查，解题的突破口是找到矩形对角线和圆半径的等量关系，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据矩形对角线相等的性质，得到BD与圆的半径OC相等，由此求出圆的半径长度；第二步，由BC垂直OA可知△OBC是直角三角形，已知OC和BC的长度，利用勾股定理求出OB的长度；第三步，AB是半径OA与OB的差，代入数值计算即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵四边形OBCD是矩形，
∴矩形对角线相等，即$OC=BD$，
∵$BD=10$，
∴$OC=10$，
∵OC、OA都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=10$，
∵$BC⊥OA$，
∴$∠ OBC=90°$，即$△ OBC$是直角三角形，
在$Rt△ OBC$中，$OC=10$，$BC=8$，
由勾股定理得：$OB=\sqrt{OC^2 - BC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$AB=OA - OB=10 - 6=4$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础计算题，将矩形性质与圆的特征结合考查，解题的突破口是找到矩形对角线和圆半径的等量关系，再结合勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.7
2. ★★★(2025·西安模拟)如图,小杨将一个三角板放在$\odot O$上,使三角板的一直角边经过圆心$O$,测得$AC=5\ \mathrm{cm}$,$AB=3\ \mathrm{cm}$,则$\odot O$的半径长为 (
A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$\dfrac{10}{3}\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{17}{5}\ \mathrm{cm}$
D
)A.$3\ \mathrm{cm}$
B.$\dfrac{10}{3}\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{17}{5}\ \mathrm{cm}$
答案
2.D
解析
【分析】
首先明确三角板的直角顶点为A，可得∠A=90°，即AB与AC垂直；AC经过圆心O，OC、OB都是⊙O的半径，长度相等。我们可以设⊙O的半径为r，先根据AC的长度表示出OA的长度，再在Rt△OAB中利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可得到半径长度。解题的关键是识别出直角△OAB，结合圆半径相等的性质找到各边的数量关系。
【解析】
设$\odot O$的半径长为$r\ \mathrm{cm}$，则$OC=OB=r\ \mathrm{cm}$。
∵点O在AC线段上，$AC=5\ \mathrm{cm}$，
∴$OA = AC - OC = (5 - r)\ \mathrm{cm}$。
∵三角板的$∠ A$为直角，
∴$∠ OAB = 90°$，即$△ OAB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，根据勾股定理可得：
$OA^2 + AB^2 = OB^2$，
将$AB=3\ \mathrm{cm}$代入得：
$(5 - r)^2 + 3^2 = r^2$，
展开并化简：
$25 - 10r + r^2 + 9 = r^2$，
$34 - 10r = 0$，
解得$r=\dfrac{17}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，方程法解几何题
【点评】
本题是圆的性质和直角三角形性质的综合应用题，解题时要注意挖掘题目中隐含的直角条件和圆半径相等的等量关系，列方程求解几何长度是常用的解题方法，熟练掌握勾股定理的应用是正确解题的基础。
【难度系数】
0.6
首先明确三角板的直角顶点为A，可得∠A=90°，即AB与AC垂直；AC经过圆心O，OC、OB都是⊙O的半径，长度相等。我们可以设⊙O的半径为r，先根据AC的长度表示出OA的长度，再在Rt△OAB中利用勾股定理建立关于r的方程，解方程即可得到半径长度。解题的关键是识别出直角△OAB，结合圆半径相等的性质找到各边的数量关系。
【解析】
设$\odot O$的半径长为$r\ \mathrm{cm}$，则$OC=OB=r\ \mathrm{cm}$。
∵点O在AC线段上，$AC=5\ \mathrm{cm}$，
∴$OA = AC - OC = (5 - r)\ \mathrm{cm}$。
∵三角板的$∠ A$为直角，
∴$∠ OAB = 90°$，即$△ OAB$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，根据勾股定理可得：
$OA^2 + AB^2 = OB^2$，
将$AB=3\ \mathrm{cm}$代入得：
$(5 - r)^2 + 3^2 = r^2$，
展开并化简：
$25 - 10r + r^2 + 9 = r^2$，
$34 - 10r = 0$，
解得$r=\dfrac{17}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理，方程法解几何题
【点评】
本题是圆的性质和直角三角形性质的综合应用题，解题时要注意挖掘题目中隐含的直角条件和圆半径相等的等量关系，列方程求解几何长度是常用的解题方法，熟练掌握勾股定理的应用是正确解题的基础。
【难度系数】
0.6
3. ★★★（2026·太原月考）$\odot O$的圆心在坐标原点，半径为$3\sqrt{3}$，点A的坐标为$(4,3)$，则点A与$\odot O$的位置关系是（
A.点A在$\odot O$上
B.点A在$\odot O$内
C.点A在$\odot O$外
D.无法判断
B
）A.点A在$\odot O$上
B.点A在$\odot O$内
C.点A在$\odot O$外
D.无法判断
答案
3.B
解析
【分析】要判断点与圆的位置关系，只需先求出点到圆心的距离，再将该距离与圆的半径比较大小即可：若距离大于半径，点在圆外；等于半径，点在圆上；小于半径，点在圆内。本题中圆心在原点，因此可先利用勾股定理求出点A到原点的距离，再和半径$3\sqrt{3}$比较，就能得出结论。
【解析】解：已知$\odot O$的圆心$O$为坐标原点$(0,0)$，点$A$的坐标为$(4,3)$，
根据勾股定理可得点$A$到圆心$O$的距离：
$OA=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
已知$\odot O$的半径$r=3\sqrt{3}$，计算可得$(3\sqrt{3})^2=27$，$5^2=25$，
因为$25＜27$，所以$5＜3\sqrt{3}$，即$OA＜r$，
因此点$A$在$\odot O$内。
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系判定；勾股定理的应用
【点评】本题属于基础类题型，核心考查点与圆位置关系的判定方法，只要掌握“比较点到圆心距离和半径大小”的判定逻辑，结合简单的距离计算就能顺利求解。
【难度系数】0.8
【解析】解：已知$\odot O$的圆心$O$为坐标原点$(0,0)$，点$A$的坐标为$(4,3)$，
根据勾股定理可得点$A$到圆心$O$的距离：
$OA=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
已知$\odot O$的半径$r=3\sqrt{3}$，计算可得$(3\sqrt{3})^2=27$，$5^2=25$，
因为$25＜27$，所以$5＜3\sqrt{3}$，即$OA＜r$，
因此点$A$在$\odot O$内。
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系判定；勾股定理的应用
【点评】本题属于基础类题型，核心考查点与圆位置关系的判定方法，只要掌握“比较点到圆心距离和半径大小”的判定逻辑，结合简单的距离计算就能顺利求解。
【难度系数】0.8
4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$P$为边$BC$上的一点,以$P$为圆心,$\frac{7}{2}$长为半径作圆,则当点$C$在圆内,点$A$在圆外时,线段$CP$的取值范围为 (
A.$\frac{\sqrt{13}}{2}＜CP＜\frac{7}{2}$
B.$0＜CP＜\frac{7}{2}$
C.$3＜CP＜5$
D.$\frac{1}{2}＜CP＜\frac{5}{2}$
A
)A.$\frac{\sqrt{13}}{2}＜CP＜\frac{7}{2}$
B.$0＜CP＜\frac{7}{2}$
C.$3＜CP＜5$
D.$\frac{1}{2}＜CP＜\frac{5}{2}$
答案
4.A
解析
【分析】要确定CP的取值范围，需结合点与圆的位置关系的判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。首先设CP的长度为x，先根据点C在圆内得到x的上限，再利用勾股定理表示出AP的长度，结合点A在圆外的条件得到x的下限，最终综合得到CP的取值范围。
【解析】设线段$CP$的长为$x$。
1. 由点$C$在以$P$为圆心、$\frac{7}{2}$为半径的圆内，可得点$C$到圆心$P$的距离小于半径，即：
$CP ＜ \frac{7}{2}$，也就是$x ＜ \frac{7}{2}$；
2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，在$Rt△ ACP$中由勾股定理可得：
$AP=\sqrt{AC^2 + CP^2}=\sqrt{9 + x^2}$；
3. 由点$A$在圆外，可得点$A$到圆心$P$的距离大于半径，即：
$AP ＞ \frac{7}{2}$，代入得$\sqrt{x^2 + 9} ＞ \frac{7}{2}$，
两边同时平方（两边均为正数，不等号方向不变），得$x^2 + 9 ＞ \frac{49}{4}$，
整理得$x^2 ＞ \frac{13}{4}$，因为$x$为线段长度，为正数，所以$x ＞ \frac{\sqrt{13}}{2}$；
4. 结合上述两个结论，可得$\frac{\sqrt{13}}{2} ＜ CP ＜ \frac{7}{2}$。
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；勾股定理；解不等式
【点评】本题将点与圆的位置关系和勾股定理结合考察，解题的关键是熟练掌握点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，列不等式时要注意几何图形的隐含约束，避免取值范围出错。
【难度系数】0.7
【解析】设线段$CP$的长为$x$。
1. 由点$C$在以$P$为圆心、$\frac{7}{2}$为半径的圆内，可得点$C$到圆心$P$的距离小于半径，即：
$CP ＜ \frac{7}{2}$，也就是$x ＜ \frac{7}{2}$；
2. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，在$Rt△ ACP$中由勾股定理可得：
$AP=\sqrt{AC^2 + CP^2}=\sqrt{9 + x^2}$；
3. 由点$A$在圆外，可得点$A$到圆心$P$的距离大于半径，即：
$AP ＞ \frac{7}{2}$，代入得$\sqrt{x^2 + 9} ＞ \frac{7}{2}$，
两边同时平方（两边均为正数，不等号方向不变），得$x^2 + 9 ＞ \frac{49}{4}$，
整理得$x^2 ＞ \frac{13}{4}$，因为$x$为线段长度，为正数，所以$x ＞ \frac{\sqrt{13}}{2}$；
4. 结合上述两个结论，可得$\frac{\sqrt{13}}{2} ＜ CP ＜ \frac{7}{2}$。
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；勾股定理；解不等式
【点评】本题将点与圆的位置关系和勾股定理结合考察，解题的关键是熟练掌握点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，列不等式时要注意几何图形的隐含约束，避免取值范围出错。
【难度系数】0.7
5. ★★★ (2026·聊城期中)如图，$\odot O$是锐角三角形$ABC$的外接圆，$OD⊥ AB$，$OE⊥ BC$，$OF⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$F$，连结$DE$，$EF$，$FD$。若$DE+DF=6.5$，$△ ABC$的周长为$20$，则$EF$的长为 (
A.8
B.4
C.3
D.3.5
D
)A.8
B.4
C.3
D.3.5
答案
5.D
解析
【分析】
首先明确O是△ABC的外心，由OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，结合垂径定理可推出D、E、F分别是△ABC三边的中点，因此DE、EF、DF是△ABC的中位线，再根据中位线性质可知三条中位线的和等于△ABC周长的一半，代入已知数值即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵⊙O是锐角△ABC的外接圆，
∴O为△ABC的外心。
∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据垂径定理，可得D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)$。
已知△ABC的周长为20，即$AC+BC+AB=20$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}×20=10$。
又
∵$DE+DF=6.5$，
∴$EF=10-6.5=3.5$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形中位线的综合应用题，解题的关键是利用垂径定理判断出三个垂足分别是三角形三边的中点，进而通过中位线性质建立中位线长度与三角形周长的关系，解题思路清晰，属于常规综合题型。
【难度系数】
0.7
首先明确O是△ABC的外心，由OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，结合垂径定理可推出D、E、F分别是△ABC三边的中点，因此DE、EF、DF是△ABC的中位线，再根据中位线性质可知三条中位线的和等于△ABC周长的一半，代入已知数值即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵⊙O是锐角△ABC的外接圆，
∴O为△ABC的外心。
∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据垂径定理，可得D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}(AC+BC+AB)$。
已知△ABC的周长为20，即$AC+BC+AB=20$，
∴$DE+DF+EF=\frac{1}{2}×20=10$。
又
∵$DE+DF=6.5$，
∴$EF=10-6.5=3.5$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形中位线的综合应用题，解题的关键是利用垂径定理判断出三个垂足分别是三角形三边的中点，进而通过中位线性质建立中位线长度与三角形周长的关系，解题思路清晰，属于常规综合题型。
【难度系数】
0.7
6. ★★★ (2025·无锡期中)将边长为6的正方形ABCD和边长为3的正方形DEFG如图摆放，使得A,D,E三点共线，此时经过B,C,F三点作一个圆，则该圆的半径为
$3\sqrt{5}$
。答案
6.$3\sqrt{5}$
解析
【分析】
要求过B、C、F三点的圆的半径，首先需确定圆心位置：根据圆的性质，圆心是圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，圆心到三点的距离相等。我们可以通过建立平面直角坐标系，先求出B、C、F三点的坐标，再分别求两条弦的垂直平分线，联立得到圆心坐标，最后用两点间距离公式计算半径即可。
【解析】
以点D为坐标原点，直线AE为x轴，过D且垂直于AE的直线为y轴建立平面直角坐标系：
∵正方形ABCD边长为6，
∴B(-6,-6)，C(0,-6)；
∵正方形DEFG边长为3，
∴F(3,3)。
1. 求弦BC的垂直平分线：
线段BC的纵坐标均为-6，为水平线段，其中点坐标为$(\frac{-6+0}{2},\frac{-6-6}{2})=(-3,-6)$，因此BC的垂直平分线为直线$x=-3$。
2. 求弦CF的垂直平分线：
C(0,-6)、F(3,3)，中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{-6+3}{2})=(1.5,-1.5)$；
CF的斜率$k_{CF}=\frac{3-(-6)}{3-0}=3$，故其垂直平分线的斜率为$-\frac{1}{3}$，可得垂直平分线方程为：$y+1.5=-\frac{1}{3}(x-1.5)$。
3. 求圆心坐标：
圆心在$x=-3$上，将$x=-3$代入上述方程，得：
$y+1.5=-\frac{1}{3}(-3-1.5)=1.5$，解得$y=0$，即圆心为$(-3,0)$。
4. 计算半径：
半径为圆心到点B的距离：$r=\sqrt{(-3+6)^2+(0+6)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
三点共圆的性质；垂直平分线的求法；两点间距离公式
【点评】
本题结合正方形性质与圆的基本性质考查，用坐标法可以大幅降低解题难度，核心是通过两条弦的垂直平分线确定圆心位置，是几何与代数结合的典型习题，需要熟练掌握坐标法解决几何问题的思路。
【难度系数】
0.6
要求过B、C、F三点的圆的半径，首先需确定圆心位置：根据圆的性质，圆心是圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，圆心到三点的距离相等。我们可以通过建立平面直角坐标系，先求出B、C、F三点的坐标，再分别求两条弦的垂直平分线，联立得到圆心坐标，最后用两点间距离公式计算半径即可。
【解析】
以点D为坐标原点，直线AE为x轴，过D且垂直于AE的直线为y轴建立平面直角坐标系：
∵正方形ABCD边长为6，
∴B(-6,-6)，C(0,-6)；
∵正方形DEFG边长为3，
∴F(3,3)。
1. 求弦BC的垂直平分线：
线段BC的纵坐标均为-6，为水平线段，其中点坐标为$(\frac{-6+0}{2},\frac{-6-6}{2})=(-3,-6)$，因此BC的垂直平分线为直线$x=-3$。
2. 求弦CF的垂直平分线：
C(0,-6)、F(3,3)，中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{-6+3}{2})=(1.5,-1.5)$；
CF的斜率$k_{CF}=\frac{3-(-6)}{3-0}=3$，故其垂直平分线的斜率为$-\frac{1}{3}$，可得垂直平分线方程为：$y+1.5=-\frac{1}{3}(x-1.5)$。
3. 求圆心坐标：
圆心在$x=-3$上，将$x=-3$代入上述方程，得：
$y+1.5=-\frac{1}{3}(-3-1.5)=1.5$，解得$y=0$，即圆心为$(-3,0)$。
4. 计算半径：
半径为圆心到点B的距离：$r=\sqrt{(-3+6)^2+(0+6)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
【答案】
$3\sqrt{5}$
【知识点】
三点共圆的性质；垂直平分线的求法；两点间距离公式
【点评】
本题结合正方形性质与圆的基本性质考查，用坐标法可以大幅降低解题难度，核心是通过两条弦的垂直平分线确定圆心位置，是几何与代数结合的典型习题，需要熟练掌握坐标法解决几何问题的思路。
【难度系数】
0.6
