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6.用3厘米、8厘米的小棒各一根和第三根小棒（取整厘米数）围成一个三角形，有（）种围法。
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是运用三角形三边关系确定第三根小棒的长度范围。首先要明确三角形的三边规律：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两根小棒长度分别是3厘米和8厘米，先算出第三边的最小取值和最大取值，再筛选出范围内的整厘米数，数出符合条件的数的个数就是围法的数量。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
设第三根小棒的长度为$a$厘米（$a$为整厘米数），可得：
$8 - 3 ＜ a ＜ 8 + 3$
即$5 ＜ a ＜ 11$
因为$a$取整厘米数，所以$a$可以是6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米，共5种不同的长度，对应5种围法。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；整数取值范围
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是准确推导第三边的取值区间，注意第三边的长度不能等于两边之和或两边之差，再结合整厘米数的要求统计符合条件的数值即可。
【难度系数】
0.7
解题的核心是运用三角形三边关系确定第三根小棒的长度范围。首先要明确三角形的三边规律：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两根小棒长度分别是3厘米和8厘米，先算出第三边的最小取值和最大取值，再筛选出范围内的整厘米数，数出符合条件的数的个数就是围法的数量。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
设第三根小棒的长度为$a$厘米（$a$为整厘米数），可得：
$8 - 3 ＜ a ＜ 8 + 3$
即$5 ＜ a ＜ 11$
因为$a$取整厘米数，所以$a$可以是6厘米、7厘米、8厘米、9厘米、10厘米，共5种不同的长度，对应5种围法。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；整数取值范围
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是准确推导第三边的取值区间，注意第三边的长度不能等于两边之和或两边之差，再结合整厘米数的要求统计符合条件的数值即可。
【难度系数】
0.7
7.已知线段m、n是等腰三角形的两条边，用无刻度的直尺和圆规画出这个等腰三角形。（画出所有可能。）
答案
解：
共有两种符合要求的等腰三角形，作图步骤如下：
1. 作腰长为m、底边长为n的等腰三角形：
① 用无刻度直尺画射线l，在射线l上用圆规截取线段AB，使AB = n；
② 分别以点A、点B为圆心，线段m的长度为半径，在AB的同侧画弧，两弧交点记为C；
③ 用直尺连接AC、BC，△ABC即为该种等腰三角形。
2. 作腰长为n、底边长为m的等腰三角形：
① 用无刻度直尺画射线k，在射线k上用圆规截取线段DE，使DE = m；
② 分别以点D、点E为圆心，线段n的长度为半径，在DE的同侧画弧，两弧交点记为F；
③ 用直尺连接DF、EF，△DEF即为该种等腰三角形。
共有两种符合要求的等腰三角形，作图步骤如下：
1. 作腰长为m、底边长为n的等腰三角形：
① 用无刻度直尺画射线l，在射线l上用圆规截取线段AB，使AB = n；
② 分别以点A、点B为圆心，线段m的长度为半径，在AB的同侧画弧，两弧交点记为C；
③ 用直尺连接AC、BC，△ABC即为该种等腰三角形。
2. 作腰长为n、底边长为m的等腰三角形：
① 用无刻度直尺画射线k，在射线k上用圆规截取线段DE，使DE = m；
② 分别以点D、点E为圆心，线段n的长度为半径，在DE的同侧画弧，两弧交点记为F；
③ 用直尺连接DF、EF，△DEF即为该种等腰三角形。
解析
【分析】
等腰三角形的特点是有两条长度相等的边（腰），剩余的边为底。结合给出的两条线段m、n，需分两类情况作图：第一类以m为腰、n为底，第二类以n为腰、m为底，本题中两种情况均满足三角形三边关系，因此都需要画出。作图时先画出底边线段，再用圆规量取腰的长度，分别以底边两个端点为圆心、腰长为半径在底边同侧画弧，两弧的交点就是等腰三角形的第三个顶点，最后将顶点与底边两端点连接即可得到对应等腰三角形。
【解析】
共有两种符合要求的等腰三角形，作图步骤如下：
1. 作腰长为m、底边长为n的等腰三角形：
① 用无刻度直尺画射线l，在射线l上用圆规截取线段AB，使AB = n；
② 分别以点A、点B为圆心，线段m的长度为半径，在AB的同侧画弧，两弧交点记为C；
③ 用直尺连接AC、BC，△ABC即为该种等腰三角形。
2. 作腰长为n、底边长为m的等腰三角形：
① 用无刻度直尺画射线k，在射线k上用圆规截取线段DE，使DE = m；
② 分别以点D、点E为圆心，线段n的长度为半径，在DE的同侧画弧，两弧交点记为F；
③ 用直尺连接DF、EF，△DEF即为该种等腰三角形。
【答案】
共得到2个符合要求的等腰三角形，分别为腰长为m、底边长为n的等腰三角形和腰长为n、底边长为m的等腰三角形，作图见上述步骤。
【知识点】
1. 等腰三角形的特征
2. 尺规作图
3. 三角形三边关系
【点评】
本题结合等腰三角形的特征考察分类讨论思想和尺规作图的基础操作能力，解题时需注意不要遗漏其中一种腰长的情况，作图要符合规范要求。
【难度系数】
0.7
等腰三角形的特点是有两条长度相等的边（腰），剩余的边为底。结合给出的两条线段m、n，需分两类情况作图：第一类以m为腰、n为底，第二类以n为腰、m为底，本题中两种情况均满足三角形三边关系，因此都需要画出。作图时先画出底边线段，再用圆规量取腰的长度，分别以底边两个端点为圆心、腰长为半径在底边同侧画弧，两弧的交点就是等腰三角形的第三个顶点，最后将顶点与底边两端点连接即可得到对应等腰三角形。
【解析】
共有两种符合要求的等腰三角形，作图步骤如下：
1. 作腰长为m、底边长为n的等腰三角形：
① 用无刻度直尺画射线l，在射线l上用圆规截取线段AB，使AB = n；
② 分别以点A、点B为圆心，线段m的长度为半径，在AB的同侧画弧，两弧交点记为C；
③ 用直尺连接AC、BC，△ABC即为该种等腰三角形。
2. 作腰长为n、底边长为m的等腰三角形：
① 用无刻度直尺画射线k，在射线k上用圆规截取线段DE，使DE = m；
② 分别以点D、点E为圆心，线段n的长度为半径，在DE的同侧画弧，两弧交点记为F；
③ 用直尺连接DF、EF，△DEF即为该种等腰三角形。
【答案】
共得到2个符合要求的等腰三角形，分别为腰长为m、底边长为n的等腰三角形和腰长为n、底边长为m的等腰三角形，作图见上述步骤。
【知识点】
1. 等腰三角形的特征
2. 尺规作图
3. 三角形三边关系
【点评】
本题结合等腰三角形的特征考察分类讨论思想和尺规作图的基础操作能力，解题时需注意不要遗漏其中一种腰长的情况，作图要符合规范要求。
【难度系数】
0.7
8.如图,有两根竹签,长度分别为4 cm和7 cm。如果剪断其中的一根(剪成整厘米数),用剪后的三根竹签拼成一个三角形,可以怎样剪?请写出你的思考过程。
答案
1. 先判断剪断4cm竹签的情况：
将4cm的竹签剪成两段整厘米数，所有可能的分法为：
①1cm和3cm：三根竹签长度为1cm、3cm、7cm，1+3＜7，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法拼成三角形。
②2cm和2cm：三根竹签长度为2cm、2cm、7cm，2+2＜7，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
因此剪断4cm的竹签没有符合要求的剪法。
2. 再判断剪断7cm竹签的情况：
将7cm的竹签剪成两段整厘米数，所有可能的分法为：
①1cm和6cm：三根竹签长度为1cm、6cm、4cm，1+4＜6，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
②2cm和5cm：三根竹签长度为2cm、5cm、4cm，2+4＞5，2+5＞4，4+5＞2，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
③3cm和4cm：三根竹签长度为3cm、4cm、4cm，3+4＞4，3+4＞4，4+4＞3，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
答：只能剪断长度为7cm的竹签，将7cm的竹签剪成2cm和5cm两段，或者剪成3cm和4cm两段，得到的三根竹签都可以拼成三角形。
将4cm的竹签剪成两段整厘米数，所有可能的分法为：
①1cm和3cm：三根竹签长度为1cm、3cm、7cm，1+3＜7，不满足三角形任意两边之和大于第三边，无法拼成三角形。
②2cm和2cm：三根竹签长度为2cm、2cm、7cm，2+2＜7，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
因此剪断4cm的竹签没有符合要求的剪法。
2. 再判断剪断7cm竹签的情况：
将7cm的竹签剪成两段整厘米数，所有可能的分法为：
①1cm和6cm：三根竹签长度为1cm、6cm、4cm，1+4＜6，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
②2cm和5cm：三根竹签长度为2cm、5cm、4cm，2+4＞5，2+5＞4，4+5＞2，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
③3cm和4cm：三根竹签长度为3cm、4cm、4cm，3+4＞4，3+4＞4，4+4＞3，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
答：只能剪断长度为7cm的竹签，将7cm的竹签剪成2cm和5cm两段，或者剪成3cm和4cm两段，得到的三根竹签都可以拼成三角形。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要用到三角形的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边。我们可以按剪断不同长度的竹签分为两类情况讨论，每类情况中先列出整厘米长度的所有剪法，再逐一验证剪后得到的三根竹签是否满足三角形三边关系，符合要求的就是可行的剪法。
【解析】
我们分两种情况逐一分析：
1. 剪断4cm的竹签：
将4cm的竹签剪成两段整厘米数，所有可能的分法如下：
① 剪成1cm和3cm：此时三根竹签长度为1cm、3cm、7cm，1+3=4＜7，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
② 剪成2cm和2cm：此时三根竹签长度为2cm、2cm、7cm，2+2=4＜7，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
因此剪断4cm的竹签没有符合要求的剪法。
2. 剪断7cm的竹签：
将7cm的竹签剪成两段整厘米数，所有可能的分法如下：
① 剪成1cm和6cm：此时三根竹签长度为1cm、6cm、4cm，1+4=5＜6，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
② 剪成2cm和5cm：此时三根竹签长度为2cm、5cm、4cm，2+4＞5、2+5＞4、4+5＞2，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
③ 剪成3cm和4cm：此时三根竹签长度为3cm、4cm、4cm，3+4＞4、4+4＞3，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
【答案】
只能剪断长度为7cm的竹签，将7cm的竹签剪成2cm和5cm两段，或者剪成3cm和4cm两段，得到的三根竹签都可以拼成三角形。
【知识点】
三角形三边关系、分类枚举
【点评】
本题考查对三角形三边关系的灵活应用，需要结合分类讨论的思路梳理所有可能的剪法，解题时要注意“剪成整厘米数”的限定条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要用到三角形的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边。我们可以按剪断不同长度的竹签分为两类情况讨论，每类情况中先列出整厘米长度的所有剪法，再逐一验证剪后得到的三根竹签是否满足三角形三边关系，符合要求的就是可行的剪法。
【解析】
我们分两种情况逐一分析：
1. 剪断4cm的竹签：
将4cm的竹签剪成两段整厘米数，所有可能的分法如下：
① 剪成1cm和3cm：此时三根竹签长度为1cm、3cm、7cm，1+3=4＜7，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
② 剪成2cm和2cm：此时三根竹签长度为2cm、2cm、7cm，2+2=4＜7，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
因此剪断4cm的竹签没有符合要求的剪法。
2. 剪断7cm的竹签：
将7cm的竹签剪成两段整厘米数，所有可能的分法如下：
① 剪成1cm和6cm：此时三根竹签长度为1cm、6cm、4cm，1+4=5＜6，不满足三角形三边关系，无法拼成三角形。
② 剪成2cm和5cm：此时三根竹签长度为2cm、5cm、4cm，2+4＞5、2+5＞4、4+5＞2，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
③ 剪成3cm和4cm：此时三根竹签长度为3cm、4cm、4cm，3+4＞4、4+4＞3，满足三角形三边关系，可以拼成三角形。
【答案】
只能剪断长度为7cm的竹签，将7cm的竹签剪成2cm和5cm两段，或者剪成3cm和4cm两段，得到的三根竹签都可以拼成三角形。
【知识点】
三角形三边关系、分类枚举
【点评】
本题考查对三角形三边关系的灵活应用，需要结合分类讨论的思路梳理所有可能的剪法，解题时要注意“剪成整厘米数”的限定条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
9.露营时要搭三角形帐篷支架，已有两根竹竿，长度分别是7米和10米，再找一根多长的竹竿（取整米数），才能搭成一个三角形支架？请写出你的思考过程。
答案
10+7=17（米）
10-7=3（米）
根据三角形三边关系，第三边的长度需要大于3米，同时小于17米。
取整米数，符合要求的竹竿长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米、16米。
答：再找长度为4米到16米之间的任意整米数的竹竿，都可以搭成三角形支架。
10-7=3（米）
根据三角形三边关系，第三边的长度需要大于3米，同时小于17米。
取整米数，符合要求的竹竿长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米、16米。
答：再找长度为4米到16米之间的任意整米数的竹竿，都可以搭成三角形支架。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要回忆三角形三边的核心关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两根竹竿的长度分别是7米和10米，第一步先算出这两根长度的和与差，就能确定第三根竹竿的长度范围，再结合“取整米数”的要求，就能筛选出所有符合条件的长度。
【解析】
首先计算已知两根竹竿的长度和与长度差：
10 + 7 = 17（米）
10 - 7 = 3（米）
根据三角形三边关系，第三边的长度需要同时满足大于3米，小于17米。
题目要求长度取整米数，因此符合要求的竹竿长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米、16米。
【答案】
再找长度为4米到16米之间的任意整米数的竹竿，都可以搭成三角形支架。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 整数范围取值
【点评】
本题是三角形三边关系的生活实际应用题，解题时要注意第三边的取值范围不包含两边的差值和和值本身，再结合题目限定的整米数要求筛选即可，要避免误把3米、17米算进符合条件的长度里。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先需要回忆三角形三边的核心关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们已知两根竹竿的长度分别是7米和10米，第一步先算出这两根长度的和与差，就能确定第三根竹竿的长度范围，再结合“取整米数”的要求，就能筛选出所有符合条件的长度。
【解析】
首先计算已知两根竹竿的长度和与长度差：
10 + 7 = 17（米）
10 - 7 = 3（米）
根据三角形三边关系，第三边的长度需要同时满足大于3米，小于17米。
题目要求长度取整米数，因此符合要求的竹竿长度为4米、5米、6米、7米、8米、9米、10米、11米、12米、13米、14米、15米、16米。
【答案】
再找长度为4米到16米之间的任意整米数的竹竿，都可以搭成三角形支架。
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 整数范围取值
【点评】
本题是三角形三边关系的生活实际应用题，解题时要注意第三边的取值范围不包含两边的差值和和值本身，再结合题目限定的整米数要求筛选即可，要避免误把3米、17米算进符合条件的长度里。
【难度系数】
0.75
10. A、C两城之间有两条公路。一辆汽车从A城出发，经过B城到C城，用了5小时。
（1）返回时汽车每小时比原来少行驶10千米，从C城回到A城至少需要多少小时？
（2）现在计划新建一条公路，使B城与公路AC连通，怎样设计路程最短？在图上画出来。
（1）返回时汽车每小时比原来少行驶10千米，从C城回到A城至少需要多少小时？
（2）现在计划新建一条公路，使B城与公路AC连通，怎样设计路程最短？在图上画出来。
答案
(1)
168 + 132 = 300（千米）
300 ÷ 5 = 60（千米/时）
60 - 10 = 50（千米/时）
250 ÷ 50 = 5（小时）
答：从C城回到A城至少需要5小时。
(2) 过点B向公路AC作垂直线段，沿这条垂线段修建公路路程最短，在图上画出该垂线段即可。
168 + 132 = 300（千米）
300 ÷ 5 = 60（千米/时）
60 - 10 = 50（千米/时）
250 ÷ 50 = 5（小时）
答：从C城回到A城至少需要5小时。
(2) 过点B向公路AC作垂直线段，沿这条垂线段修建公路路程最短，在图上画出该垂线段即可。
解析
【分析】
（1）要计算返回的最少时间，首先得先求出去时的行驶速度：第一步先计算A城经过B城到C城的总路程，用总路程除以行驶时间得到去时的速度；第二步算出返回时的速度，要让返回时间最少，就要选择路程最短的路线，也就是直接走C城到A城的250千米路线；最后用AC的路程除以返回速度就能得到最少用时。
（2）根据点到直线的所有连线中垂线段最短的性质，要设计B城到公路AC的最短连通路线，只需要过点B向AC作垂线段即可。
【解析】
（1）先算A城经B城到C城的总路程：
$168+132=300$（千米）
再计算去时的速度：
$300÷5=60$（千米/时）
返回时的速度为：
$60-10=50$（千米/时）
返回走最短的AC路线，所需时间为：
$250÷50=5$（小时）
（2）过点B向公路AC作垂直线段，这条垂线段就是最短的连通路线，按照要求在图中画出这条垂线段即可。
【答案】
(1) 从C城回到A城至少需要5小时。
(2) 过点B向公路AC作垂直线段，沿这条垂线段修建公路路程最短，作图略。
【知识点】
行程问题公式、垂线段最短性质
【点评】
本题结合生活实际场景，既考察了行程问题中路程、速度、时间三者关系的计算应用，也考察了垂线段最短性质的实际操作能力，解题时要注意“至少需要多少时间”隐含了走最短路线的要求。
【难度系数】
0.8
（1）要计算返回的最少时间，首先得先求出去时的行驶速度：第一步先计算A城经过B城到C城的总路程，用总路程除以行驶时间得到去时的速度；第二步算出返回时的速度，要让返回时间最少，就要选择路程最短的路线，也就是直接走C城到A城的250千米路线；最后用AC的路程除以返回速度就能得到最少用时。
（2）根据点到直线的所有连线中垂线段最短的性质，要设计B城到公路AC的最短连通路线，只需要过点B向AC作垂线段即可。
【解析】
（1）先算A城经B城到C城的总路程：
$168+132=300$（千米）
再计算去时的速度：
$300÷5=60$（千米/时）
返回时的速度为：
$60-10=50$（千米/时）
返回走最短的AC路线，所需时间为：
$250÷50=5$（小时）
（2）过点B向公路AC作垂直线段，这条垂线段就是最短的连通路线，按照要求在图中画出这条垂线段即可。
【答案】
(1) 从C城回到A城至少需要5小时。
(2) 过点B向公路AC作垂直线段，沿这条垂线段修建公路路程最短，作图略。
【知识点】
行程问题公式、垂线段最短性质
【点评】
本题结合生活实际场景，既考察了行程问题中路程、速度、时间三者关系的计算应用，也考察了垂线段最短性质的实际操作能力，解题时要注意“至少需要多少时间”隐含了走最短路线的要求。
【难度系数】
0.8
11.如图,要把一根长木棒锯成3段围成一个三角形,第一次已锯开(位置固定),第二次需在A、B、C中选一个点锯开,应选()。
答案
B
解析
【分析】
解题首先要用到三角形三边的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，简单来说就是三角形里最长的边长度必须比另外两条边的长度加起来小。我们先确定第一次锯开后两段的长度，再分别计算在A、B、C三点锯开后得到的三段长度，逐一判断是否符合三边关系就能得出结果。
【解析】
首先数出木棒的段数：第一次锯开后，较短的一段有3份，较长的一段有8份，木棒总长度是3+8=11份。
1. 若在A点锯开：长段被分成2份和6份，三段长度为2份、3份、6份。计算较短两边的和：2+3=5，5＜6，不符合三角形三边关系，不能围成三角形。
2. 若在B点锯开：长段被分成4份和4份，三段长度为3份、4份、4份。计算得3+4＞4，4+4＞3，完全符合三角形三边关系，可以围成三角形。
3. 若在C点锯开：长段被分成7份和1份，三段长度为1份、3份、7份。计算较短两边的和：1+3=4，4＜7，不符合三边关系，不能围成三角形。
综上应选B点。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用，解题时只需要验证每一种情况里较短两边的和是否大于最长边，就能快速判断能否围成三角形，不需要逐一验证三组边的关系，能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题首先要用到三角形三边的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，简单来说就是三角形里最长的边长度必须比另外两条边的长度加起来小。我们先确定第一次锯开后两段的长度，再分别计算在A、B、C三点锯开后得到的三段长度，逐一判断是否符合三边关系就能得出结果。
【解析】
首先数出木棒的段数：第一次锯开后，较短的一段有3份，较长的一段有8份，木棒总长度是3+8=11份。
1. 若在A点锯开：长段被分成2份和6份，三段长度为2份、3份、6份。计算较短两边的和：2+3=5，5＜6，不符合三角形三边关系，不能围成三角形。
2. 若在B点锯开：长段被分成4份和4份，三段长度为3份、4份、4份。计算得3+4＞4，4+4＞3，完全符合三角形三边关系，可以围成三角形。
3. 若在C点锯开：长段被分成7份和1份，三段长度为1份、3份、7份。计算较短两边的和：1+3=4，4＜7，不符合三边关系，不能围成三角形。
综上应选B点。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的实际应用，解题时只需要验证每一种情况里较短两边的和是否大于最长边，就能快速判断能否围成三角形，不需要逐一验证三组边的关系，能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
