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1.爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能$(1.025 - \cos α)$J，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°，则他耗能(
（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732,\sqrt{2} \approx 1.414$）
A.58 J
B.159 J
C.1 025 J
D.1 732 J
B
)。（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732,\sqrt{2} \approx 1.414$）
A.58 J
B.159 J
C.1 025 J
D.1 732 J
答案
1.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先提取题目已知条件：坡角α=30°，每爬1m耗能公式为$(1.025 - \cosα)$J，爬坡总长度为1000m。第一步先回忆30°角的余弦值，代入单位耗能公式算出每米的耗能，再乘以总爬坡长度，即可得到总耗能。
【解析】
解：已知坡角$α=30°$，根据特殊角的三角函数值，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
代入参考数据$\sqrt{3}\approx1.732$，得$\cos30°\approx\frac{1.732}{2}=0.866$。
先计算每爬1m的耗能：
$1.025 - \cos30°\approx1.025 - 0.866=0.159$（J）
爬1000m的总耗能为单位耗能乘以总路程：
$0.159×1000=159$（J）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值，代数式求值
【点评】
本题是基础应用题，结合实际场景考查特殊角三角函数的应用，只需准确记忆30°角的余弦值，按题目给出的公式代入计算即可，计算时注意近似值的正确使用。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先提取题目已知条件：坡角α=30°，每爬1m耗能公式为$(1.025 - \cosα)$J，爬坡总长度为1000m。第一步先回忆30°角的余弦值，代入单位耗能公式算出每米的耗能，再乘以总爬坡长度，即可得到总耗能。
【解析】
解：已知坡角$α=30°$，根据特殊角的三角函数值，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
代入参考数据$\sqrt{3}\approx1.732$，得$\cos30°\approx\frac{1.732}{2}=0.866$。
先计算每爬1m的耗能：
$1.025 - \cos30°\approx1.025 - 0.866=0.159$（J）
爬1000m的总耗能为单位耗能乘以总路程：
$0.159×1000=159$（J）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值，代数式求值
【点评】
本题是基础应用题，结合实际场景考查特殊角三角函数的应用，只需准确记忆30°角的余弦值，按题目给出的公式代入计算即可，计算时注意近似值的正确使用。
【难度系数】
0.8
2.如图，点A，B，C，D均在正方形网格的格点上，线段AB，CD相交于点O，则∠AOC的正切值是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.2
D
）。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.2
答案
2.D
解析
【分析】
要求∠AOC的正切值，直接在原图中构造直角三角形求解较困难，可利用平移的性质转化角度：首先设每个小正方形的边长为1，将AB平移，使得平移后的线段与CD共顶点，根据“两直线平行，同位角相等”可得到与∠AOC相等的角；再利用勾股定理及其逆定理证明该角所在的三角形是直角三角形，最后结合正切的定义（对边比邻边）计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
将线段AB平移，使点A与点D重合，得到线段DE，连接CE，此时AB//DE。
根据平行线的性质，同位角相等，可得∠AOC=∠CDE。
利用勾股定理计算各边长度：
$CD=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
$DE=AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
$CE=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
验证：$DE^2+CE^2=(2\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2=8+32=40=CD^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ CDE$是直角三角形，且$∠ CED=90°$。
因此$\tan∠ CDE=\frac{CE}{DE}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$，即$\tan∠ AOC=2$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；勾股定理及逆定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题解题核心是利用平移转化所求角，将其放到直角三角形中求解，同时考查了勾股定理相关知识和转化的数学思想，是锐角三角函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
要求∠AOC的正切值，直接在原图中构造直角三角形求解较困难，可利用平移的性质转化角度：首先设每个小正方形的边长为1，将AB平移，使得平移后的线段与CD共顶点，根据“两直线平行，同位角相等”可得到与∠AOC相等的角；再利用勾股定理及其逆定理证明该角所在的三角形是直角三角形，最后结合正切的定义（对边比邻边）计算即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
将线段AB平移，使点A与点D重合，得到线段DE，连接CE，此时AB//DE。
根据平行线的性质，同位角相等，可得∠AOC=∠CDE。
利用勾股定理计算各边长度：
$CD=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，
$DE=AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
$CE=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
验证：$DE^2+CE^2=(2\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2=8+32=40=CD^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ CDE$是直角三角形，且$∠ CED=90°$。
因此$\tan∠ CDE=\frac{CE}{DE}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$，即$\tan∠ AOC=2$。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；勾股定理及逆定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题解题核心是利用平移转化所求角，将其放到直角三角形中求解，同时考查了勾股定理相关知识和转化的数学思想，是锐角三角函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.65
3.上图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为$α$，则$\cosα=(\ )$。
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
A.$\dfrac{3}{4}$
B.$\dfrac{4}{3}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
3.D
解析
【分析】
首先根据正方形面积公式求出大、小正方形的边长，其中大正方形的边长就是直角三角形的斜边长度；再观察图形可得，全等直角三角形的长直角边与短直角边的差等于小正方形的边长，我们可以设短直角边为未知数，结合勾股定理列方程求出两条直角边的长度；最后根据余弦的定义，较小锐角α的邻边是长直角边，斜边为大正方形边长，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴ 大正方形边长为$\sqrt{25}=5$，即直角三角形的斜边长为5，
小正方形边长为$\sqrt{1}=1$。
设直角三角形较短的直角边长为$x$，则较长的直角边长为$x+1$（长直角边与短直角边的差等于小正方形边长）。
根据勾股定理可得：
$x^2+(x+1)^2=5^2$
展开整理得：$2x^2+2x-24=0$，即$x^2+x-12=0$
因式分解得：$(x+4)(x-3)=0$
解得$x=3$（边长为正数，舍去负根$x=-4$）
∴ 直角三角形较长直角边长为$3+1=4$
∵ $α$是直角三角形中较小的锐角，它的邻边为较长的直角边，
∴ $\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{4}{5}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；正方形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，综合考查了正方形性质、勾股定理和锐角三角函数的应用，解题的关键是结合图形特征找到直角三角形两条直角边的数量关系，再通过勾股定理求出边长，解题时要注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形面积公式求出大、小正方形的边长，其中大正方形的边长就是直角三角形的斜边长度；再观察图形可得，全等直角三角形的长直角边与短直角边的差等于小正方形的边长，我们可以设短直角边为未知数，结合勾股定理列方程求出两条直角边的长度；最后根据余弦的定义，较小锐角α的邻边是长直角边，斜边为大正方形边长，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴ 大正方形边长为$\sqrt{25}=5$，即直角三角形的斜边长为5，
小正方形边长为$\sqrt{1}=1$。
设直角三角形较短的直角边长为$x$，则较长的直角边长为$x+1$（长直角边与短直角边的差等于小正方形边长）。
根据勾股定理可得：
$x^2+(x+1)^2=5^2$
展开整理得：$2x^2+2x-24=0$，即$x^2+x-12=0$
因式分解得：$(x+4)(x-3)=0$
解得$x=3$（边长为正数，舍去负根$x=-4$）
∴ 直角三角形较长直角边长为$3+1=4$
∵ $α$是直角三角形中较小的锐角，它的邻边为较长的直角边，
∴ $\cosα=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{4}{5}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数定义；正方形的性质
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，综合考查了正方形性质、勾股定理和锐角三角函数的应用，解题的关键是结合图形特征找到直角三角形两条直角边的数量关系，再通过勾股定理求出边长，解题时要注意区分锐角的对边和邻边，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
4.如图,在菱形ABCD中,分别以C,D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$长为半径画弧,两弧分别交于点M,N,连接MN,若直线MN恰好过点A,与边CD交于点E,连接BE,则下列结论错误的是(
A.$∠ BCD=120°$
B.若$AB=3$,则$BE=4$
C.$CE=\frac{1}{2}BC$
D.$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}$
B
)。A.$∠ BCD=120°$
B.若$AB=3$,则$BE=4$
C.$CE=\frac{1}{2}BC$
D.$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}$
答案
4.B
解析
【分析】
首先根据尺规作图的特征判断MN是CD的垂直平分线，可得AE垂直平分CD，推出AC=AD；结合菱形四边相等的性质可证△ACD是等边三角形，得到∠D=60°、∠BCD=120°，再结合线段关系、面积公式逐一验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
由尺规作图的方法可知，直线MN是线段CD的垂直平分线，
∴AE⊥CD，且E为CD中点，AC=AD。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB//CD。
1. 验证选项A：
∵AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，∠D=60°，
∵菱形中BC//AD，
∴∠BCD=180°-∠D=120°，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项C：
∵E是CD中点，CD=BC，
∴CE=1/2CD=1/2BC，C结论正确，不符合题意。
3. 验证选项B：
若AB=3，则AD=CD=BC=3，DE=CE=3/2，
在Rt△ADE中，AE=√(AD²-DE²)=√(3²-(3/2)²)=3√3/2，
∵AB//CD，AE⊥CD，
∴AE⊥AB，即∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，BE=√(AB²+AE²)=√(3²+(3√3/2)²)=√(9+27/4)=√(63/4)=3√7/2≠4，B结论错误，符合题意。
4. 验证选项D：
S△ADE=1/2×DE×AE，S△ABE=1/2×AB×AE，
∵AB=CD=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，即S△ADE=1/2S△ABE，D结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图和菱形性质结合考查，解题的关键是先判断出MN是CD的垂直平分线，再结合几何图形的性质推导角度、边长和面积关系，逐一判断选项。
【难度系数】
0.65
首先根据尺规作图的特征判断MN是CD的垂直平分线，可得AE垂直平分CD，推出AC=AD；结合菱形四边相等的性质可证△ACD是等边三角形，得到∠D=60°、∠BCD=120°，再结合线段关系、面积公式逐一验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
由尺规作图的方法可知，直线MN是线段CD的垂直平分线，
∴AE⊥CD，且E为CD中点，AC=AD。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB//CD。
1. 验证选项A：
∵AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，∠D=60°，
∵菱形中BC//AD，
∴∠BCD=180°-∠D=120°，A结论正确，不符合题意。
2. 验证选项C：
∵E是CD中点，CD=BC，
∴CE=1/2CD=1/2BC，C结论正确，不符合题意。
3. 验证选项B：
若AB=3，则AD=CD=BC=3，DE=CE=3/2，
在Rt△ADE中，AE=√(AD²-DE²)=√(3²-(3/2)²)=3√3/2，
∵AB//CD，AE⊥CD，
∴AE⊥AB，即∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，BE=√(AB²+AE²)=√(3²+(3√3/2)²)=√(9+27/4)=√(63/4)=3√7/2≠4，B结论错误，符合题意。
4. 验证选项D：
S△ADE=1/2×DE×AE，S△ABE=1/2×AB×AE，
∵AB=CD=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，即S△ADE=1/2S△ABE，D结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图和菱形性质结合考查，解题的关键是先判断出MN是CD的垂直平分线，再结合几何图形的性质推导角度、边长和面积关系，逐一判断选项。
【难度系数】
0.65
5. 计算：$\cos 30° · \tan 60° - \sin 45° =$
$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
（结果保留根号）。答案
5.$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的相关计算，解题思路如下：第一步，先准确回忆30°的余弦值、60°的正切值、45°的正弦值；第二步，按照实数混合运算的顺序，先计算乘法运算，再计算减法运算；第三步，将结果化简为最简形式即可。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{(\sqrt{3})^2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{3-\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式运算；实数混合运算
【点评】
本题属于基础类计算题，核心考查对特殊角三角函数值的识记能力以及基本运算能力，只要牢记常见特殊角的三角函数值，遵循先乘除后加减的运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊角的三角函数值的相关计算，解题思路如下：第一步，先准确回忆30°的余弦值、60°的正切值、45°的正弦值；第二步，按照实数混合运算的顺序，先计算乘法运算，再计算减法运算；第三步，将结果化简为最简形式即可。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{(\sqrt{3})^2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{3-\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式运算；实数混合运算
【点评】
本题属于基础类计算题，核心考查对特殊角三角函数值的识记能力以及基本运算能力，只要牢记常见特殊角的三角函数值，遵循先乘除后加减的运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6.已知α是锐角，$\tan(α - 15°)=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\sinα$的值为
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
6.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
解题思路：首先观察已知条件给出了α-15°的正切值，我们需要先回忆特殊角的三角函数值，找到正切值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的锐角角度；再结合α是锐角的限定，确定α-15°的具体度数，进而求出α的度数，最后计算α的正弦值即可。
【解析】
∵ 由特殊角的三角函数值可知，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴ $\tan(α-15°)=\tan30°$
又
∵ α是锐角，即$0°＜α＜90°$
∴ $-15°＜α-15°＜75°$，可得$α-15°=30°$
解得$α=30°+15°=45°$
∴ $\sinα=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、角度计算、锐角三角函数求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的熟练掌握，只要熟记常见特殊角的三角函数值，结合角度范围准确计算出所求角的度数，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察已知条件给出了α-15°的正切值，我们需要先回忆特殊角的三角函数值，找到正切值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的锐角角度；再结合α是锐角的限定，确定α-15°的具体度数，进而求出α的度数，最后计算α的正弦值即可。
【解析】
∵ 由特殊角的三角函数值可知，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴ $\tan(α-15°)=\tan30°$
又
∵ α是锐角，即$0°＜α＜90°$
∴ $-15°＜α-15°＜75°$，可得$α-15°=30°$
解得$α=30°+15°=45°$
∴ $\sinα=\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值、角度计算、锐角三角函数求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对特殊角三角函数值的熟练掌握，只要熟记常见特殊角的三角函数值，结合角度范围准确计算出所求角的度数，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7. 如图,在△ABC中,BC=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$,∠C=45°,AB=$\sqrt{2}$AC,求∠ABC的度数和AC的长。
答案
7.$∠ ABC=30°,AC=2$。
解析
【分析】
我们可以通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解：首先设AC的长度为x，根据AB=$\sqrt{2}$AC表示出AB的长度；再利用∠C=45°，在Rt△ADC中用x表示出AD和DC的长度；接着在Rt△ABD中通过边的关系求出∠ABC的正弦值，得到∠ABC的度数；最后根据BC=BD+DC建立关于x的方程，解出x即可得到AC的长度。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
设$AC=x$，由题意得$AB=\sqrt{2}x$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=45°$：
$AD=AC·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，$DC=AC·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠ ABC=\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\sqrt{2}x}=\frac{1}{2}$，
∵$∠ ABC$是三角形内角，$0°＜∠ ABC＜180°$，
∴$∠ ABC=30°$。
∴$BD=AB·\cos30°=\sqrt{2}x·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}x$。
∵$BC=BD+DC=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
整理得$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})x}{2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
解得$x=2$，即$AC=2$。
【答案】
$∠ ABC=30°$，$AC=2$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，等腰直角三角形性质
【点评】
本题通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，结合特殊角的三角函数值建立边角关系求解，解题的关键是合理作高构造直角三角形，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
我们可以通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解：首先设AC的长度为x，根据AB=$\sqrt{2}$AC表示出AB的长度；再利用∠C=45°，在Rt△ADC中用x表示出AD和DC的长度；接着在Rt△ABD中通过边的关系求出∠ABC的正弦值，得到∠ABC的度数；最后根据BC=BD+DC建立关于x的方程，解出x即可得到AC的长度。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，则$∠ ADB=∠ ADC=90°$。
设$AC=x$，由题意得$AB=\sqrt{2}x$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=45°$：
$AD=AC·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}x$，$DC=AC·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}x$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin∠ ABC=\frac{AD}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\sqrt{2}x}=\frac{1}{2}$，
∵$∠ ABC$是三角形内角，$0°＜∠ ABC＜180°$，
∴$∠ ABC=30°$。
∴$BD=AB·\cos30°=\sqrt{2}x·\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}x$。
∵$BC=BD+DC=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}x=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
整理得$\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})x}{2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
解得$x=2$，即$AC=2$。
【答案】
$∠ ABC=30°$，$AC=2$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，等腰直角三角形性质
【点评】
本题通过作辅助线将斜三角形转化为直角三角形，结合特殊角的三角函数值建立边角关系求解，解题的关键是合理作高构造直角三角形，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
