例3 如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A处的仰角为$30°$，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10 m到达E处，测得楼房顶部A处的仰角为$60°$。已知坡面$CD=10\ \mathrm{m}$，山坡的坡度$i=1:\sqrt{3}$（坡度$i$是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB的高度（精确到0.1 m）。（参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73$，$\sqrt{2}\approx1.41$）

楼房 AB 的高度约为 23.7 m。

【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，涉及仰角、坡度的概念，解题思路如下：1. 作辅助线构造矩形和直角三角形：过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，得到矩形DHBG，将已知条件转化到直角三角形中；2. 先利用坡面CD的坡度和长度，求出DH（即BG）和CH的长度；3. 设楼房高度AB为x m，分别用含x的式子表示出Rt△AEB中的EB长度，以及Rt△ADG中的DG长度；4. 根据DG的长度等于BH的长度（即CH+CE+EB）列方程，求解即可得到AB的高度。
【解析】
过点D作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，如图所示：
则四边形DHBG为矩形，
∴$DH=BG$，$DG=BH$。
∵ 山坡坡度$i=1:\sqrt{3}$，即$\frac{DH}{CH}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴ $∠ DCH=30°$，
∵ $CD=10\ \mathrm{m}$，
∴ $DH=\frac{1}{2}CD=5\ \mathrm{m}$，$CH=CD· \cos30°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
∴ $BG=DH=5\ \mathrm{m}$。
设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$AG=AB-BG=(x-5)\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=60°$，
∴ $EB=\frac{AB}{\tan60°}=\frac{x}{\sqrt{3}}\ \mathrm{m}$，
∴ $BH=CH+CE+EB=5\sqrt{3}+10+\frac{x}{\sqrt{3}}$，即$DG=5\sqrt{3}+10+\frac{x}{\sqrt{3}}$，
在$Rt△ ADG$中，$∠ ADG=30°$，
∴ $DG=\frac{AG}{\tan30°}=\frac{x-5}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}(x-5)$，
∴ 可列方程：
$\sqrt{3}(x-5)=5\sqrt{3}+10+\frac{x}{\sqrt{3}}$，
两边同乘$\sqrt{3}$去分母得：
$3(x-5)=15+10\sqrt{3}+x$，
展开移项得：$3x-15=15+10\sqrt{3}+x$，
$2x=30+10\sqrt{3}$，
解得：$x=15+5\sqrt{3}\approx15+5×1.73=23.65\approx23.7$（$\mathrm{m}$）。
【答案】
楼房AB的高度约为23.7 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角问题，仰角俯角问题
【点评】
本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，结合方程思想求解，需要熟练掌握坡度、仰角的概念和特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.65

3.如图,某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上,景点C在道路b上。为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D。测得景点C位于景点B的北偏东$60°$方向上,位于景点A的北偏东$30°$方向上,景点B位于景点D的南偏西$45°$方向上。已知$AB=800\ \mathrm{m}$。
(1)求$∠ ACB$的度数;
(2)求景点C与景点D之间的距离(结果保留根号)。

解:(1)如图,由题意可得 $∠ CBE=60°,∠ CAF=30°,∠ BDM=45°,BM ⊥ DM,BE // AF // DM$，
所以 $∠ BCM=∠ CBE=60°,∠ ACM=∠ CAF=30°$。
所以 $∠ ACB=∠ BCM-∠ ACM=60°-30°=30°$。
(2)因为 $∠ CBE=60°$，
所以 $∠ CBM=90°-∠ CBE=90°-60°=30°$。
由(1)得 $∠ ACB=30°$，
所以 $∠ ABC=∠ ACB=30°$。
又因为 $AB=800\ \mathrm{m}$，
所以 $AB=AC=800\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中，$\sin∠ ACM=\frac{AM}{AC},\cos∠ ACM=\frac{CM}{AC}$，
所以 $AM=AC· \sin∠ ACM=800× \sin 30°=800× \frac{1}{2}=400(\mathrm{m})$，
$CM=AC· \cos∠ ACM=800× \cos 30°=800× \frac{\sqrt{3}}{2}=400\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
所以 $BM=BA+AM=800+400=1200(\mathrm{m})$。
因为 $∠ BDM=45°,BM ⊥ DM$，
所以 $DM=BM=1200\ \mathrm{m}$。
所以 $DC=DM-CM=1200-400\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
所以景点 C 与景点 D 之间的距离为 $(1200-400\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。

【分析】
(1) 求∠ACB的度数时，首先利用方向角对应的南北方向直线互相平行的性质，通过平行线内错角相等分别求出∠BCM和∠ACM的度数，二者作差即可得到∠ACB的度数。
(2) 求CD的长度时，先推导△ABC的内角关系，利用等角对等边得到AC=AB；再在Rt△ACM中借助三角函数求出AM、CM的长度，进而得到BM的长度；结合∠BDM=45°可知Rt△BDM为等腰直角三角形，得DM=BM，最后用DM减CM即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 如图,由题意可得 $∠ CBE=60°,∠ CAF=30°,∠ BDM=45°,BM ⊥ DM,BE // AF // DM$，
所以 $∠ BCM=∠ CBE=60°,∠ ACM=∠ CAF=30°$。
所以 $∠ ACB=∠ BCM-∠ ACM=60°-30°=30°$。
(2) 因为 $∠ CBE=60°$，
所以 $∠ CBM=90°-∠ CBE=90°-60°=30°$。
由(1)得 $∠ ACB=30°$，
所以 $∠ ABC=∠ ACB=30°$。
又因为 $AB=800\ \mathrm{m}$，
所以 $AB=AC=800\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中，$\sin∠ ACM=\frac{AM}{AC},\cos∠ ACM=\frac{CM}{AC}$，
所以 $AM=AC· \sin∠ ACM=800× \sin 30°=800× \frac{1}{2}=400(\mathrm{m})$，
$CM=AC· \cos∠ ACM=800× \cos 30°=800× \frac{\sqrt{3}}{2}=400\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
所以 $BM=BA+AM=800+400=1200(\mathrm{m})$。
因为 $∠ BDM=45°,BM ⊥ DM$，
所以 $DM=BM=1200\ \mathrm{m}$。
所以 $DC=DM-CM=1200-400\sqrt{3}(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACB=30°}$
(2) 景点C与景点D之间的距离为 $\boldsymbol{(1200-400\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$
【知识点】
方向角的应用，平行线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合实际景区路线场景，将实际问题转化为几何问题，既考查基础角度计算，也考查三角函数和特殊三角形性质的应用，解题关键是找准直角三角形，明确各角度和边长的关系，能有效锻炼学生将实际问题数学化的能力。
【难度系数】
0.7