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例2 某中学依山而建，校门A处有一坡角$α=30°$的斜坡AB，长度为30 m，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角$∠ CBF=45°$，离B点4 m远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角$∠ CEF=60°$，CF的延长线交水平线AM于点D，求CD的长（结果保留根号）。
答案
$CD=(21+2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路可分为两步：①先处理含坡角的直角三角形ABG，求出斜坡顶端B到水平面的高度BG，而BG和FD长度相等，即得到CD的下半部分长度；②再处理两个含仰角的直角三角形CBF和CEF，两个三角形共享边CF，设CF长度为x，利用仰角的正切值分别表示出BF和EF的长度，结合BE=4m的条件列方程求解CF的长度，最终CD=CF+FD，代入数值即可得到结果。
【解析】
过点B作$BG⊥ AM$于点G，四边形BFDG为矩形，因此$FD=BG$。
1. 在$Rt△ ABG$中，$∠ α =30°$，$AB=30\ \mathrm{m}$：
$BG=AB· \sin30°=30× \frac{1}{2}=15\ \mathrm{m}$，因此$FD=15\ \mathrm{m}$。
2. 设$CF=x\ \mathrm{m}$：
在$Rt△ CBF$中，$∠ CBF=45°$，故$∠ BCF=45°$，可得$BF=CF=x\ \mathrm{m}$。
已知$BE=4\ \mathrm{m}$，因此$EF=BF-BE=(x-4)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ CEF$中，$∠ CEF=60°$，由$\tan∠ CEF=\frac{CF}{EF}$得：
$\sqrt{3}=\frac{x}{x-4}$
解方程：
$\sqrt{3}(x-4)=x$
$\sqrt{3}x -4\sqrt{3}=x$
$(\sqrt{3}-1)x=4\sqrt{3}$
$x=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=6+2\sqrt{3}$
3. 计算CD的长度：
$CD=CF+FD=(6+2\sqrt{3})+15=21+2\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$
【答案】
$CD=(21+2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用；仰角与坡角；矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形应用的常规题型，核心是通过作辅助线将不规则图形拆分为多个直角三角形和矩形，利用公共边建立方程求解，计算过程中注意分母有理化的正确运用，结果按要求保留根式即可。
【难度系数】
0.65
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路可分为两步：①先处理含坡角的直角三角形ABG，求出斜坡顶端B到水平面的高度BG，而BG和FD长度相等，即得到CD的下半部分长度；②再处理两个含仰角的直角三角形CBF和CEF，两个三角形共享边CF，设CF长度为x，利用仰角的正切值分别表示出BF和EF的长度，结合BE=4m的条件列方程求解CF的长度，最终CD=CF+FD，代入数值即可得到结果。
【解析】
过点B作$BG⊥ AM$于点G，四边形BFDG为矩形，因此$FD=BG$。
1. 在$Rt△ ABG$中，$∠ α =30°$，$AB=30\ \mathrm{m}$：
$BG=AB· \sin30°=30× \frac{1}{2}=15\ \mathrm{m}$，因此$FD=15\ \mathrm{m}$。
2. 设$CF=x\ \mathrm{m}$：
在$Rt△ CBF$中，$∠ CBF=45°$，故$∠ BCF=45°$，可得$BF=CF=x\ \mathrm{m}$。
已知$BE=4\ \mathrm{m}$，因此$EF=BF-BE=(x-4)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ CEF$中，$∠ CEF=60°$，由$\tan∠ CEF=\frac{CF}{EF}$得：
$\sqrt{3}=\frac{x}{x-4}$
解方程：
$\sqrt{3}(x-4)=x$
$\sqrt{3}x -4\sqrt{3}=x$
$(\sqrt{3}-1)x=4\sqrt{3}$
$x=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{4\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=6+2\sqrt{3}$
3. 计算CD的长度：
$CD=CF+FD=(6+2\sqrt{3})+15=21+2\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$
【答案】
$CD=(21+2\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
【知识点】
解直角三角形的应用；仰角与坡角；矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形应用的常规题型，核心是通过作辅助线将不规则图形拆分为多个直角三角形和矩形，利用公共边建立方程求解，计算过程中注意分母有理化的正确运用，结果按要求保留根式即可。
【难度系数】
0.65
2.暑假期间，小亮一家到某旅游风景区登山。他们从山底A处出发，先步行200 m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处。已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296 m，A，B，C，D在同一平面内。
(1)求小亮一家步行上升的垂直高度(结果取整数)；
(2)求缆车的行驶路线BC的长(结果取整数)。
（参考数据：$\sin 16° \approx 0.28$，$\cos 16° \approx 0.96$，$\tan 16° \approx 0.29$；$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.830$，$\tan 37° \approx 0.75$）
(1)求小亮一家步行上升的垂直高度(结果取整数)；
(2)求缆车的行驶路线BC的长(结果取整数)。
（参考数据：$\sin 16° \approx 0.28$，$\cos 16° \approx 0.96$，$\tan 16° \approx 0.29$；$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.830$，$\tan 37° \approx 0.75$）
答案
(1)小亮一家步行上升的垂直高度约为 56 m。
(2)缆车的行驶路线 BC 的长约为 400 m。
(2)缆车的行驶路线 BC 的长约为 400 m。
解析
【分析】
解决本题的核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用三角函数求解边长：①过点B作BE⊥AD于E、BF⊥CD于F，可得四边形BEDF是矩形，即BE=DF；②第一问求步行上升的垂直高度即BE的长，在Rt△ABE中，已知斜边AB的长度和坡角α，利用正弦函数的定义即可求出BE；③第二问先求出CF=CD-DF=CD-BE，再在Rt△BCF中，已知角β和对边CF，利用正弦函数的定义即可求出斜边BC的长度。
【解析】
解：过点B作$BE ⊥ AD$于点E，$BF ⊥ CD$于点F，
∵$∠ D = 90°$，
∴四边形BEDF是矩形，
∴$BE=DF$。
(1) 在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$∠ A=α=16°$，$AB=200\mathrm{m}$，
由$\sinα=\frac{BE}{AB}$可得：
$BE=AB·\sin16°\approx200×0.28=56\mathrm{m}$。
(2) 由题意得$CD=296\mathrm{m}$，$DF=BE=56\mathrm{m}$，
∴$CF=CD-DF=296-56=240\mathrm{m}$，
在$Rt△ BCF$中，$∠ BFC=90°$，$∠ CBF=β=37°$，
由$\sinβ=\frac{CF}{BC}$可得：
$BC=\frac{CF}{\sin37°}\approx\frac{240}{0.60}=400\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 小亮一家步行上升的垂直高度约为 56 m。
(2) 缆车的行驶路线 BC 的长约为 400 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题关键是合理添加辅助线，将实际问题转化为直角三角形中的边长计算问题，结合已知的三角函数值即可求解，是锐角三角函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用三角函数求解边长：①过点B作BE⊥AD于E、BF⊥CD于F，可得四边形BEDF是矩形，即BE=DF；②第一问求步行上升的垂直高度即BE的长，在Rt△ABE中，已知斜边AB的长度和坡角α，利用正弦函数的定义即可求出BE；③第二问先求出CF=CD-DF=CD-BE，再在Rt△BCF中，已知角β和对边CF，利用正弦函数的定义即可求出斜边BC的长度。
【解析】
解：过点B作$BE ⊥ AD$于点E，$BF ⊥ CD$于点F，
∵$∠ D = 90°$，
∴四边形BEDF是矩形，
∴$BE=DF$。
(1) 在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$∠ A=α=16°$，$AB=200\mathrm{m}$，
由$\sinα=\frac{BE}{AB}$可得：
$BE=AB·\sin16°\approx200×0.28=56\mathrm{m}$。
(2) 由题意得$CD=296\mathrm{m}$，$DF=BE=56\mathrm{m}$，
∴$CF=CD-DF=296-56=240\mathrm{m}$，
在$Rt△ BCF$中，$∠ BFC=90°$，$∠ CBF=β=37°$，
由$\sinβ=\frac{CF}{BC}$可得：
$BC=\frac{CF}{\sin37°}\approx\frac{240}{0.60}=400\mathrm{m}$。
【答案】
(1) 小亮一家步行上升的垂直高度约为 56 m。
(2) 缆车的行驶路线 BC 的长约为 400 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题关键是合理添加辅助线，将实际问题转化为直角三角形中的边长计算问题，结合已知的三角函数值即可求解，是锐角三角函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
