课前预习
基础知识
切线长定理
（1）切线长定义:圆外一点与切点之间的线段的长,叫作。
（2）切线长定理:过圆外一点的两条线长。
（3）符号语言:因为 $PA$,$PB$分别与$\odot O$相切于点$A$,$B$,所以 $PA=PB$。
困惑疑问：

(1)切线长
(2)相等

【分析】
这道题属于基础概念识记类题目，考查切线长相关的基础知识点。解题时只需回忆对应课本内容即可：第(1)问对应切线长的定义，直接匹配定义内容填空；第(2)问对应切线长定理的核心结论，回忆定理内容就能完成填写。
【解析】
(1) 根据切线长的定义：圆外一点与切点之间的线段的长，叫作切线长，因此此处填切线长。
(2) 根据切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等，因此此处填相等。
【答案】
(1)切线长；(2)相等
【知识点】
切线长的定义；切线长定理
【点评】
本题是对圆的切线长相关基础概念的考查，属于识记类题型，熟练掌握课本基础定义、定理是解题的关键。
【难度系数】
0.9

思考(1)过一点可以画圆的几条切线？
(2)“切线”与“切线长”是两个相同的概念吗？

(1)当过圆内一点时,不能画圆的切线;当过圆上一点时,可以画一条;当过圆外一点时,可以画两条。
(2)是,切线是直线,切线长是线段。

【分析】
(1)解决第一问首先要回忆点与圆的三类位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，再结合切线的定义（和圆只有一个公共点的直线是圆的切线），分情况讨论每种位置下过该点能画出的切线数量即可。
(2)解决第二问需要分别回忆切线和切线长的定义，对比二者的属性（是直线还是线段、是否可度量）就能判断两个概念是否相同。
【解析】
(1)根据点与圆的位置关系分三种情况讨论：
①若点在圆内：过该点的任意直线都会与圆有2个公共点，属于圆的割线，因此无法画出圆的切线；
②若点在圆上：根据切线的判定定理，过该点且垂直于该点对应半径的直线是唯一的切线，因此只能画1条切线；
③若点在圆外：可以引出2条不同的直线与圆相切，因此能画2条切线。
(2)两个概念不相同：切线是与圆只有一个公共点的直线，它无限延伸，无法度量长度；切线长是圆外一点到切点之间的线段的长度，是可度量的数值，对应具体的线段，因此二者概念完全不同。
【答案】
(1)当过圆内一点时,不能画圆的切线;当过圆上一点时,可以画一条;当过圆外一点时,可以画两条。
(2)不是，切线是直线,切线长是线段。
【知识点】
点与圆的位置关系；切线的定义；切线长的定义
【点评】
本题属于切线相关的基础概念题，既考查了分类讨论的数学思想，又考查了易混概念的辨析能力，牢固掌握基础定义是解题的核心。
【难度系数】
0.8

1. 如图，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，点C在$\overset{\frown}{ACB}$上，$∠ P = 70°$，则$∠ C$的度数为（）。

A.$110°$
B.$70°$
C.$55°$
D.$65°$

1.C

【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接圆心与切点OA、OB得到垂直关系，结合四边形内角和为360°计算出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数，再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠C的度数。
【解析】
连接OA、OB。
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，则：
$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-70°=110°$
∵$∠ C$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，$∠ AOB$是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角
∴根据圆周角定理可得：$∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×110°=55°$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，解题核心是熟练运用切线性质作出辅助线构造圆心角，结合圆周角定理即可求解，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

2.如图，PA，PB切$\odot O$于点A，B，PA=2，CD切$\odot O$于点E，交PA，PB于C，D两点，则$△ PCD$的周长是。

2.4

【分析】
首先观察图形，存在多条圆的切线，优先考虑切线长定理解题：1. 由PA、PB是⊙O的两条切线，可得PA=PB；2. 由CD是⊙O的切线，可得从C点引出的两条切线CA=CE，从D点引出的两条切线DB=DE；3. 将△PCD的周长拆分为PC+CD+PD，把CD拆为CE+ED后，用等长线段替换，即可将周长转化为PA+PB的和，代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
∴根据切线长定理，$PB=PA=2$
又
∵CD切⊙O于点E，交PA于C，交PB于D
∴同理可得：$CA=CE$，$DB=DE$
∴△PCD的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PC + CD + PD\\&=PC + CE + ED + PD\\&=PC + CA + DB + PD\\&=(PC + CA)+(PD + DB)\\&=PA + PB\\&=2+2=4\end{aligned}$
【答案】
4
【知识点】
切线长定理，三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题目，解题核心是利用切线长相等完成线段的等量转换，将未知的三角形周长转化为已知的切线长之和，解题时注意拆分线段和等量代换的思路运用。
【难度系数】
0.8

3. 如图，从$\odot O$外一点$P$引$\odot O$的两条切线$PA$，$PB$，切点分别为$A$，$B$，如果$∠ APB = 60°$，$PA=6$，那么弦$AB$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$。

3.6

【分析】
解题时先观察已知条件，PA、PB是⊙O的两条切线，且切点为A、B，首先联想到切线长定理，可得出PA=PB，由此可知△PAB是等腰三角形；再结合已知∠APB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△PAB是等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质，即可直接求出AB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
∴根据切线长定理可得：$PA=PB$，
又
∵$∠APB=60°$，
∴△PAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴$AB=PA$，
∵$PA=6$，
∴$AB=6$。
【答案】
6
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是熟练运用切线长定理得到边相等的关系，再结合等边三角形的判定推出三边相等即可求解，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

1.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD。若∠ACD＝48°，则∠DBA的大小是()。

A.32°
B.48°
C.60°
D.66°

1.D

【分析】
解题时先从已知的切线条件入手：首先根据切线长定理可得CA=CD，结合切线性质可知CA垂直于直径AB，由此可先在等腰△ACD中求出∠CAD的度数；再利用直径所对的圆周角是直角，得到∠ADB=90°，结合∠CAB=90°，通过角度的互余关系即可求出∠DBA的大小。也可通过连接OD，利用四边形内角和求出弧AD对应的圆心角∠AOD，再根据圆周角定理求出∠DBA。
【解析】
解：
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，
∴CA=CD，且CA⊥AB（切线垂直于过切点的半径），
∵∠ACD=48°，△ACD为等腰三角形，
∴$∠ CAD=(180°-∠ ACD)÷2=(180°-48°)÷2=66°$，
∴$∠ DAB=∠ CAB-∠ CAD=90°-66°=24°$，
又
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ADB中，$∠ DBA=90°-∠ DAB=90°-24°=66°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础综合题，解题的核心是熟练运用切线的相关性质和圆周角定理，通过角度的转化和计算即可得到结果，考查了学生对基础定理的掌握和简单的角度运算能力。
【难度系数】
0.75