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10.综合实践活动:求甲、乙两个圆形薄板的直径(已知甲的直径小于乙的直径)。
工具:自制的矩形直尺ABCD(边AB长2 cm,边AD从点A至点D标有刻度)。
小明的做法:如图①,将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上,使点A,B都恰好落在薄板的边缘,边AD,BC分别交薄板的边缘于点E,F,从直尺刻度中读出AE=6 cm。小明认为线段BE就是圆形薄板甲的一条直径,接着通过计算求出BE的长度。
如图②,将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上,点A恰好落在薄板的边缘,边AD与薄板的边缘交于点M,边BC与薄板的边缘相切于点G,从直尺刻度中读出AM=8 cm。接着添加辅助线,通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径。
(1)请你帮助小明说出图①中BE是圆形薄板甲的直径的理由,并求出BE的长度;
(2)按照小明的做法,请你在图②中添加辅助线,通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
工具:自制的矩形直尺ABCD(边AB长2 cm,边AD从点A至点D标有刻度)。
小明的做法:如图①,将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板甲上,使点A,B都恰好落在薄板的边缘,边AD,BC分别交薄板的边缘于点E,F,从直尺刻度中读出AE=6 cm。小明认为线段BE就是圆形薄板甲的一条直径,接着通过计算求出BE的长度。
如图②,将矩形直尺ABCD放置在圆形薄板乙上,点A恰好落在薄板的边缘,边AD与薄板的边缘交于点M,边BC与薄板的边缘相切于点G,从直尺刻度中读出AM=8 cm。接着添加辅助线,通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径。
(1)请你帮助小明说出图①中BE是圆形薄板甲的直径的理由,并求出BE的长度;
(2)按照小明的做法,请你在图②中添加辅助线,通过推理和计算求出圆形薄板乙的直径长度。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
10.解:(1)因为直尺 ABCD 是矩形，
所以∠A=90°。
因为 90°的圆周角所对的弦是直径，
所以图①中 BE 是圆形薄板甲的直径。
在 Rt△ABE 中,AB=2,AE=6，
由勾股定理得$BE^2=AB^2+AE^2$，
所以$BE^2=2^2+6^2$。
所以$BE=2\sqrt{10}$。
(2)如图,BC 与⊙O 相切于点 G,设圆心为 O，连接 OG,OM,设圆形薄板的半径为 r cm。
所以 OG⊥BC。
又因为矩形直尺 ABCD 对边平行，
所以 OG⊥AD。
所以 AE=EM=4。
由勾股定理得$(r-2)^2+4^2=r^2$。
解得 r=5，
所以圆形薄板乙的直径为 10 cm。
解析
【分析】
（1）判断BE为直径可结合圆周角定理的推论分析：矩形内角为直角，即∠BAE=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得出BE是甲的直径。已知Rt△ABE的两条直角边长度，直接用勾股定理就能计算BE的长度。
（2）求解乙的直径时，先利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，连接切点G和圆心O，得OG⊥BC；结合矩形对边平行的性质，可推出OG垂直弦AM，再由垂径定理得OG平分AM，得到AM一半的长度。设圆的半径为r，用r表示出直角三角形的三边，根据勾股定理列方程求解半径，半径的2倍即为直径。
【解析】
(1) 理由：
∵ 直尺ABCD是矩形，
∴ ∠BAE=90°。根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得BE是圆形薄板甲的直径。
在Rt△ABE中，AB=2cm，AE=6cm，由勾股定理得：
$BE^2=AB^2+AE^2=2^2+6^2=40$，
∴ $BE=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
(2) 添加辅助线：设圆形薄板乙的圆心为O，连接OG、OM。
∵ BC与⊙O相切于点G，
∴ OG⊥BC。
∵ 矩形ABCD对边平行，即AD//BC，
∴ OG⊥AD，
由垂径定理得E为AM中点，
∵ AM=8cm，
∴ EM=AE=4cm。
设圆形薄板乙的半径为r cm，则OM=r cm，圆心O到AD的距离为$(r-2)$cm，
在Rt△OEM中，由勾股定理得：
$(r-2)^2+4^2=r^2$，
展开化简得：$r^2-4r+20=r^2$，解得$r=5$，
∴ 圆形薄板乙的直径为$2r=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) BE是圆形薄板甲的直径，长度为$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$；
(2) 圆形薄板乙的直径为10 cm。
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，垂径定理
【点评】
本题结合实际测量的实践场景，考查圆的相关性质与勾股定理的综合应用，需要学生将实际问题转化为几何模型，既巩固了基础几何定理，也提升了知识的实践应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断BE为直径可结合圆周角定理的推论分析：矩形内角为直角，即∠BAE=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得出BE是甲的直径。已知Rt△ABE的两条直角边长度，直接用勾股定理就能计算BE的长度。
（2）求解乙的直径时，先利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，连接切点G和圆心O，得OG⊥BC；结合矩形对边平行的性质，可推出OG垂直弦AM，再由垂径定理得OG平分AM，得到AM一半的长度。设圆的半径为r，用r表示出直角三角形的三边，根据勾股定理列方程求解半径，半径的2倍即为直径。
【解析】
(1) 理由：
∵ 直尺ABCD是矩形，
∴ ∠BAE=90°。根据“90°的圆周角所对的弦是直径”，可得BE是圆形薄板甲的直径。
在Rt△ABE中，AB=2cm，AE=6cm，由勾股定理得：
$BE^2=AB^2+AE^2=2^2+6^2=40$，
∴ $BE=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
(2) 添加辅助线：设圆形薄板乙的圆心为O，连接OG、OM。
∵ BC与⊙O相切于点G，
∴ OG⊥BC。
∵ 矩形ABCD对边平行，即AD//BC，
∴ OG⊥AD，
由垂径定理得E为AM中点，
∵ AM=8cm，
∴ EM=AE=4cm。
设圆形薄板乙的半径为r cm，则OM=r cm，圆心O到AD的距离为$(r-2)$cm，
在Rt△OEM中，由勾股定理得：
$(r-2)^2+4^2=r^2$，
展开化简得：$r^2-4r+20=r^2$，解得$r=5$，
∴ 圆形薄板乙的直径为$2r=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) BE是圆形薄板甲的直径，长度为$2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$；
(2) 圆形薄板乙的直径为10 cm。
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，垂径定理
【点评】
本题结合实际测量的实践场景，考查圆的相关性质与勾股定理的综合应用，需要学生将实际问题转化为几何模型，既巩固了基础几何定理，也提升了知识的实践应用能力。
【难度系数】
0.7
