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4.如图，在$△ ABC$中，$AB＝5$，$AC＝4$，$BC＝3$，若以点$C$为圆心的圆与$AB$相切，则$\odot C$的半径为
$\dfrac{12}{5}$
。答案
4.$\dfrac{12}{5}$
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长，3、4、5是常见勾股数，可先利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，且∠C为直角。已知以C为圆心的圆与AB相切，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于圆的半径，因此⊙C的半径就是点C到AB的距离，即Rt△ABC斜边上的高，最后用等面积法计算该高即可得到半径长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$AC=4$，$BC=3$，$AB=5$，
∴$AC^2+BC^2=4^2+3^2=25$，$AB^2=5^2=25$，
∴$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
设$\odot C$的半径为$r$，
∵$\odot C$与$AB$相切，
∴$r$等于点$C$到$AB$的距离，即$AB$边上的高。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× r$
代入数值得：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× r$
化简得：$12=5r$
解得：$r=\frac{12}{5}$
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理逆定理；切线的性质；等面积法求高
【点评】
本题属于基础题，结合了直角三角形的判定和切线的性质考查，解题的关键是明确相切时圆心到直线的距离等于半径，通过等面积法求斜边上的高是该类题型的常用解题技巧，掌握后可快速解答同类题目。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC的三边长，3、4、5是常见勾股数，可先利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，且∠C为直角。已知以C为圆心的圆与AB相切，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于圆的半径，因此⊙C的半径就是点C到AB的距离，即Rt△ABC斜边上的高，最后用等面积法计算该高即可得到半径长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，$AC=4$，$BC=3$，$AB=5$，
∴$AC^2+BC^2=4^2+3^2=25$，$AB^2=5^2=25$，
∴$AC^2+BC^2=AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
设$\odot C$的半径为$r$，
∵$\odot C$与$AB$相切，
∴$r$等于点$C$到$AB$的距离，即$AB$边上的高。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× r$
代入数值得：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× r$
化简得：$12=5r$
解得：$r=\frac{12}{5}$
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
勾股定理逆定理；切线的性质；等面积法求高
【点评】
本题属于基础题，结合了直角三角形的判定和切线的性质考查，解题的关键是明确相切时圆心到直线的距离等于半径，通过等面积法求斜边上的高是该类题型的常用解题技巧，掌握后可快速解答同类题目。
【难度系数】
0.7
5.如图，直线EF与$\odot O$相切于点C，直线EO与$\odot O$相交于点D，连接CD。若$∠ DEF = 3 ∠ D$，则$∠ DCF$的度数为
$72°$
。答案
5.$72°$
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，优先考虑连接过切点的半径，这是此类题型的常用辅助线思路。本题先连接OC，根据切线的性质可得OC垂直于EF；再结合同圆半径相等得到OC=OD，推出∠OCD=∠D；最后结合已知∠DEF=3∠D，利用直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质建立角度关系，先求出∠D的度数，即可进一步计算∠DCF的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ 直线EF与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ EF$，即$∠ ECO=∠ OCF=90°$，
∵ OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，
∴ $∠ OCD=∠ D$，
设$∠ D=x$，则$∠ DEF=3x$，$∠ OCD=x$，
∵ $∠ EOC$是$△ OCD$的外角，
∴ $∠ EOC=∠ D+∠ OCD=2x$，
在$Rt△ ECO$中，$∠ DEF+∠ EOC=90°$，
代入得：$3x+2x=90°$，
解得$x=18°$，即$∠ OCD=18°$，
∴ $∠ DCF=∠ OCF-∠ OCD=90°-18°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础题型，解题核心是掌握切线的性质，正确作出辅助线，结合三角形角度的相关性质求解即可。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，优先考虑连接过切点的半径，这是此类题型的常用辅助线思路。本题先连接OC，根据切线的性质可得OC垂直于EF；再结合同圆半径相等得到OC=OD，推出∠OCD=∠D；最后结合已知∠DEF=3∠D，利用直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质建立角度关系，先求出∠D的度数，即可进一步计算∠DCF的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ 直线EF与$\odot O$相切于点C，
∴ $OC⊥ EF$，即$∠ ECO=∠ OCF=90°$，
∵ OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，
∴ $∠ OCD=∠ D$，
设$∠ D=x$，则$∠ DEF=3x$，$∠ OCD=x$，
∵ $∠ EOC$是$△ OCD$的外角，
∴ $∠ EOC=∠ D+∠ OCD=2x$，
在$Rt△ ECO$中，$∠ DEF+∠ EOC=90°$，
代入得：$3x+2x=90°$，
解得$x=18°$，即$∠ OCD=18°$，
∴ $∠ DCF=∠ OCF-∠ OCD=90°-18°=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础题型，解题核心是掌握切线的性质，正确作出辅助线，结合三角形角度的相关性质求解即可。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB为$\odot O$的直径，D，E是$\odot O$上两点，延长AB至点C，连接CD，$∠ BDC = ∠ A$。
(1)求证：CD是$\odot O$的切线；
(2)若$\tan∠ BED = \dfrac{3}{4}$，$AC=8$，求$\odot O$的半径。
(1)求证：CD是$\odot O$的切线；
(2)若$\tan∠ BED = \dfrac{3}{4}$，$AC=8$，求$\odot O$的半径。
答案
6.(1)略 (2)⊙O 的半径为$\dfrac{7}{4}$。
解析
【分析】
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于过切点的半径，因此作辅助线连接OD。利用直径所对圆周角为直角得到$∠ ADB=90°$，结合等腰三角形$OA=OD$的性质，将$∠ A$转化为$∠ ADO$，再结合已知$∠ BDC=∠ A$，等量代换即可证得$∠ ODC=90°$，得证CD是切线。
(2) 先利用同弧所对圆周角相等，得$∠ A=∠ BED$，因此$\tan A=\tan∠ BED=\dfrac{3}{4}$。再通过公共角$∠ C$和已知等角$∠ BDC=∠ A$，证明$△ CDB∽△ CAD$，得到相似比为$\dfrac{3}{4}$，结合已知$AC=8$，先求出CD长度，再利用相似三角形的线段比例关系求出BC的长度，进而得到直径AB的长度，即可算出半径。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$，即$∠ ADO + ∠ ODB = 90°$，
$\because OA=OD$，
$\therefore ∠ A = ∠ ADO$，
又$\because ∠ BDC = ∠ A$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ ADO$，
$\therefore ∠ BDC + ∠ ODB = 90°$，即$∠ ODC=90°$，
$\therefore OD⊥ CD$，
$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore CD$是$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because ∠ BED$和$∠ A$都是弧$BD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ BED = ∠ A$，
$\therefore \tan A = \tan∠ BED = \dfrac{3}{4}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan A = \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{3}{4}$，
$\because ∠ C=∠ C$，$∠ BDC=∠ A$，
$\therefore △ CDB∽△ CAD$，
$\therefore \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CD}{AC} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{3}{4}$，
$\because AC=8$，
$\therefore CD = \dfrac{3}{4} × AC = \dfrac{3}{4} × 8 = 6$，
又$\because CD^2 = BC × AC$，
$\therefore 6^2 = 8BC$，解得$BC = \dfrac{36}{8} = \dfrac{9}{2}$，
$\therefore$直径$AB = AC - BC = 8 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{7}{2}$，
$\therefore \odot O$的半径$r = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{7}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2)$\odot O$ 的半径为$\dfrac{7}{4}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，切线证明的常规思路是连接半径证垂直，计算类问题常借助圆周角性质完成角的转化，结合相似三角形建立线段间的数量关系求解，解题时要熟练掌握圆的基础性质和相似的判定方法。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于过切点的半径，因此作辅助线连接OD。利用直径所对圆周角为直角得到$∠ ADB=90°$，结合等腰三角形$OA=OD$的性质，将$∠ A$转化为$∠ ADO$，再结合已知$∠ BDC=∠ A$，等量代换即可证得$∠ ODC=90°$，得证CD是切线。
(2) 先利用同弧所对圆周角相等，得$∠ A=∠ BED$，因此$\tan A=\tan∠ BED=\dfrac{3}{4}$。再通过公共角$∠ C$和已知等角$∠ BDC=∠ A$，证明$△ CDB∽△ CAD$，得到相似比为$\dfrac{3}{4}$，结合已知$AC=8$，先求出CD长度，再利用相似三角形的线段比例关系求出BC的长度，进而得到直径AB的长度，即可算出半径。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$，
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$，即$∠ ADO + ∠ ODB = 90°$，
$\because OA=OD$，
$\therefore ∠ A = ∠ ADO$，
又$\because ∠ BDC = ∠ A$，
$\therefore ∠ BDC = ∠ ADO$，
$\therefore ∠ BDC + ∠ ODB = 90°$，即$∠ ODC=90°$，
$\therefore OD⊥ CD$，
$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore CD$是$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because ∠ BED$和$∠ A$都是弧$BD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ BED = ∠ A$，
$\therefore \tan A = \tan∠ BED = \dfrac{3}{4}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\tan A = \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{3}{4}$，
$\because ∠ C=∠ C$，$∠ BDC=∠ A$，
$\therefore △ CDB∽△ CAD$，
$\therefore \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{CD}{AC} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{3}{4}$，
$\because AC=8$，
$\therefore CD = \dfrac{3}{4} × AC = \dfrac{3}{4} × 8 = 6$，
又$\because CD^2 = BC × AC$，
$\therefore 6^2 = 8BC$，解得$BC = \dfrac{36}{8} = \dfrac{9}{2}$，
$\therefore$直径$AB = AC - BC = 8 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{7}{2}$，
$\therefore \odot O$的半径$r = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{7}{4}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2)$\odot O$ 的半径为$\dfrac{7}{4}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，切线证明的常规思路是连接半径证垂直，计算类问题常借助圆周角性质完成角的转化，结合相似三角形建立线段间的数量关系求解，解题时要熟练掌握圆的基础性质和相似的判定方法。
【难度系数】
0.6
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,O为斜边AB上一点,以O为圆心的⊙O与AC相切于点E,与BC交于点F。
(1)求证:BE平分∠ABC；
(2)若AD=3,AE=3√2,求CE的长。
(1)求证:BE平分∠ABC；
(2)若AD=3,AE=3√2,求CE的长。
答案
7.(1)证明:连接 OE,由 OB = OE 可得∠DBE = ∠BEO，
因为 AC 为⊙O 的切线，
所以 OE⊥AC。
所以∠AEO=90°=∠C。
所以 BC//OE。
所以∠EBC=∠BEO。
所以∠EBC=∠DBE。
即 BE 平分∠ABC。
(2)解:设⊙O 的半径为 r。
在 Rt△AOE 中,AD=3,AE=3√2，
由勾股定理得 AE²+OE²=AO²，
所以$(3\sqrt{2})^2 + r^2 = (r+3)^2$。
解得 r=1.5,所以 BD=2r=3。
所以 AB=BD+AD=3+3=6。
因为 BC//OE，
所以△AOE∽△ABC。
所以$\dfrac{OE}{BC}=\dfrac{OA}{AB}$,所以$\dfrac{1.5}{BC}=\dfrac{6-1.5}{6}$。
解得 BC=2。
在 Rt △ABC 中,由勾股定理得 AC = $\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$，
所以$CE=AC-AE=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明BE平分∠ABC，需证∠EBC和∠ABE相等。已知AC是⊙O的切线，连接OE可得OE⊥AC，结合∠C=90°可推出OE//BC，再结合等腰△OBE的底角相等，即可推导得到两个角相等，完成角平分线的证明。
(2) 要求CE的长，可先求出AC的长，再减去已知的AE即可。首先设⊙O的半径为r，在Rt△AOE中利用勾股定理列方程求出半径r，再由OE//BC得到△AOE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理求出AC，作差即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OE，
∵ OB = OE，
∴ ∠DBE = ∠BEO，
∵ AC为⊙O的切线，
∴ OE⊥AC，
∴ ∠AEO=90°=∠C，
∴ BC//OE，
∴ ∠EBC=∠BEO，
∴ ∠EBC=∠DBE，即BE平分∠ABC。
(2) 解：设⊙O的半径为r，
在Rt△AOE中，AD=3，AE=3√2，AO=AD+OD=r+3，
由勾股定理得$AE^2+OE^2=AO^2$，
代入数据得：$(3\sqrt{2})^2 + r^2 = (r+3)^2$，
计算得$18 + r^2 = r^2 + 6r +9$，解得r=1.5，
∴ BD=2r=3，AB=BD+AD=3+3=6，
∵ BC//OE，
∴ △AOE∽△ABC，
∴ $\dfrac{OE}{BC}=\dfrac{OA}{AB}$，代入得$\dfrac{1.5}{BC}=\dfrac{4.5}{6}$，
解得BC=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得 $AC = \sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $CE=AC-AE=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 见上述证明，BE平分∠ABC；(2) CE的长为$\sqrt{2}$。
【知识点】
切线的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，解题核心是通过连接圆心和切点构造辅助线，综合运用切线性质、平行线性质、等腰三角形性质、相似三角形和勾股定理求解，其中用方程思想求圆的半径是解题的重要突破口。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明BE平分∠ABC，需证∠EBC和∠ABE相等。已知AC是⊙O的切线，连接OE可得OE⊥AC，结合∠C=90°可推出OE//BC，再结合等腰△OBE的底角相等，即可推导得到两个角相等，完成角平分线的证明。
(2) 要求CE的长，可先求出AC的长，再减去已知的AE即可。首先设⊙O的半径为r，在Rt△AOE中利用勾股定理列方程求出半径r，再由OE//BC得到△AOE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理求出AC，作差即可得到CE的长度。
【解析】
(1) 证明：连接OE，
∵ OB = OE，
∴ ∠DBE = ∠BEO，
∵ AC为⊙O的切线，
∴ OE⊥AC，
∴ ∠AEO=90°=∠C，
∴ BC//OE，
∴ ∠EBC=∠BEO，
∴ ∠EBC=∠DBE，即BE平分∠ABC。
(2) 解：设⊙O的半径为r，
在Rt△AOE中，AD=3，AE=3√2，AO=AD+OD=r+3，
由勾股定理得$AE^2+OE^2=AO^2$，
代入数据得：$(3\sqrt{2})^2 + r^2 = (r+3)^2$，
计算得$18 + r^2 = r^2 + 6r +9$，解得r=1.5，
∴ BD=2r=3，AB=BD+AD=3+3=6，
∵ BC//OE，
∴ △AOE∽△ABC，
∴ $\dfrac{OE}{BC}=\dfrac{OA}{AB}$，代入得$\dfrac{1.5}{BC}=\dfrac{4.5}{6}$，
解得BC=2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得 $AC = \sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$，
∴ $CE=AC-AE=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 见上述证明，BE平分∠ABC；(2) CE的长为$\sqrt{2}$。
【知识点】
切线的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型习题，解题核心是通过连接圆心和切点构造辅助线，综合运用切线性质、平行线性质、等腰三角形性质、相似三角形和勾股定理求解，其中用方程思想求圆的半径是解题的重要突破口。
【难度系数】
0.65
8. 如图，$\odot O$ 是地球的示意图，其中 AB 表示赤道，CD，EF 分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB = ∠ FOB = 23.5°$。夏至日正午时，太阳光线 GD 所在直线经过地心 O，此时点 F 处的太阳高度角 $∠ IFH$（即平行于 GD 的光线 HF 与 $\odot O$ 的切线 FI 所成的锐角）的大小为（
A.$43°$
B.$45°$
C.$47°$
D.$49°$
A
）。A.$43°$
B.$45°$
C.$47°$
D.$49°$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OF⊥FI；再结合太阳光线互相平行的已知条件，利用平行线的同旁内角互补的性质，先求出∠DOF的度数，再算出∠OFH的度数；最后用∠OFH减去切线与半径的夹角90°，即可得到所求∠IFH的大小。
【解析】
解：
∵FI是$\odot O$的切线，F为切点，
∴$OF⊥ FI$（圆的切线垂直于过切点的半径），即$∠ OFI=90°$。
由题意得$GD// HF$，$∠ DOB=23.5°$，$∠ FOB=23.5°$，
∴$∠ DOF=∠ DOB+∠ FOB=23.5°+23.5°=47°$。
∵$OD// HF$，
∴$∠ DOF+∠ OFH=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ OFH=180°-47°=133°$。
∴$∠ IFH=∠ OFH-∠ OFI=133°-90°=43°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合地理常识考查几何基础知识的应用，需要学生准确梳理各角的位置和数量关系，是基础的综合应用题，重点考查对核心性质的掌握和简单的角度运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OF⊥FI；再结合太阳光线互相平行的已知条件，利用平行线的同旁内角互补的性质，先求出∠DOF的度数，再算出∠OFH的度数；最后用∠OFH减去切线与半径的夹角90°，即可得到所求∠IFH的大小。
【解析】
解：
∵FI是$\odot O$的切线，F为切点，
∴$OF⊥ FI$（圆的切线垂直于过切点的半径），即$∠ OFI=90°$。
由题意得$GD// HF$，$∠ DOB=23.5°$，$∠ FOB=23.5°$，
∴$∠ DOF=∠ DOB+∠ FOB=23.5°+23.5°=47°$。
∵$OD// HF$，
∴$∠ DOF+∠ OFH=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ OFH=180°-47°=133°$。
∴$∠ IFH=∠ OFH-∠ OFI=133°-90°=43°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合地理常识考查几何基础知识的应用，需要学生准确梳理各角的位置和数量关系，是基础的综合应用题，重点考查对核心性质的掌握和简单的角度运算能力。
【难度系数】
0.7
9.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，过点C作$\odot O$的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作$AE ⊥ CD$于点E。
(1)若$∠ EAC=25°$，求$∠ ACD$的度数；
(2)若$OB=2$，$BD=1$，求$CE$的长。
(1)若$∠ EAC=25°$，求$∠ ACD$的度数；
(2)若$OB=2$，$BD=1$，求$CE$的长。
答案
9.(1)$∠ACD=115°$； (2)$CE=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先利用切线的性质得到OC⊥CD，结合AE⊥CD可推出AE//OC，再结合等腰三角形OAC的两底角相等，得到∠OCA=∠EAC=25°，最后将∠OCA与直角∠OCD相加即可得到∠ACD的度数。
(2) 求解第二问时，先根据已知半径和BD的长度求出OD、AD的长，在Rt△OCD中用勾股定理求出CD的长度，再证明△OCD与△AED相似，利用相似三角形对应边成比例求出ED的长度，最后用ED减去CD即可得到CE的长。
【解析】
(1)
∵ CD是⊙O的切线，OC为⊙O的半径
∴ OC⊥CD，即$∠ OCD=90°$
∵ OA=OC
∴ $∠ OAC=∠ OCA$
∵ AE⊥CD，OC⊥CD
∴ AE//OC
∴ $∠ OCA=∠ EAC=25°$
∴ $∠ ACD=∠ OCA + ∠ OCD=25° + 90°=115°$
(2) 由题意知⊙O的半径$OB=2$，故$OC=OA=OB=2$，$AB=2OB=4$
∵ $BD=1$
∴ $OD=OB+BD=2+1=3$，$AD=AB+BD=4+1=5$
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OD^2 - OC^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}$
∵ AE⊥CD，OC⊥CD
∴ $∠ OCD=∠ E=90°$
又
∵ $∠ D=∠ D$
∴ $△ OCD ∽ △ AED$
∴ $\frac{OD}{AD}=\frac{CD}{ED}$，即$\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{5}}{ED}$
解得 $ED=\frac{5\sqrt{5}}{3}$
∴ $CE=ED - CD=\frac{5\sqrt{5}}{3} - \sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$
【答案】
(1) $∠ ACD=115°$；(2) $CE=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
切线的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，主要结合切线的垂直性质构造平行和相似关系，既考查了圆的基本性质，也融合了三角形的相关知识点，解题时要注意挖掘图中的公共角、直角等隐含条件来构造关系求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先利用切线的性质得到OC⊥CD，结合AE⊥CD可推出AE//OC，再结合等腰三角形OAC的两底角相等，得到∠OCA=∠EAC=25°，最后将∠OCA与直角∠OCD相加即可得到∠ACD的度数。
(2) 求解第二问时，先根据已知半径和BD的长度求出OD、AD的长，在Rt△OCD中用勾股定理求出CD的长度，再证明△OCD与△AED相似，利用相似三角形对应边成比例求出ED的长度，最后用ED减去CD即可得到CE的长。
【解析】
(1)
∵ CD是⊙O的切线，OC为⊙O的半径
∴ OC⊥CD，即$∠ OCD=90°$
∵ OA=OC
∴ $∠ OAC=∠ OCA$
∵ AE⊥CD，OC⊥CD
∴ AE//OC
∴ $∠ OCA=∠ EAC=25°$
∴ $∠ ACD=∠ OCA + ∠ OCD=25° + 90°=115°$
(2) 由题意知⊙O的半径$OB=2$，故$OC=OA=OB=2$，$AB=2OB=4$
∵ $BD=1$
∴ $OD=OB+BD=2+1=3$，$AD=AB+BD=4+1=5$
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OD^2 - OC^2}=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}$
∵ AE⊥CD，OC⊥CD
∴ $∠ OCD=∠ E=90°$
又
∵ $∠ D=∠ D$
∴ $△ OCD ∽ △ AED$
∴ $\frac{OD}{AD}=\frac{CD}{ED}$，即$\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{5}}{ED}$
解得 $ED=\frac{5\sqrt{5}}{3}$
∴ $CE=ED - CD=\frac{5\sqrt{5}}{3} - \sqrt{5}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$
【答案】
(1) $∠ ACD=115°$；(2) $CE=\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
切线的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，主要结合切线的垂直性质构造平行和相似关系，既考查了圆的基本性质，也融合了三角形的相关知识点，解题时要注意挖掘图中的公共角、直角等隐含条件来构造关系求解。
【难度系数】
0.7
