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基础知识
切线的性
质定理
(1)定理:圆的切线垂直于过
切点的
(2)符号语言:因为直线$l$是
圆$O$的切线,且点$A$为切点,
所以$OA ⊥ l$。
困惑疑问：
基础知识
切线的性
质定理
(1)定理:圆的切线垂直于过
切点的
半径
。(2)符号语言:因为直线$l$是
圆$O$的切线,且点$A$为切点,
所以$OA ⊥ l$。
困惑疑问：
答案
圆的切线垂直于过切点的半径。
解析
【分析】
本题考查切线性质定理的基础识记，解题时可先回忆切线性质定理的核心内容，也可结合题干给出的符号语言辅助推导：符号语言中OA是过切点A的圆的半径，结论为OA和切线l垂直，对应即可得出空缺部分的内容。
【解析】
根据切线的性质定理的规定：圆的切线垂直于过切点的半径，结合给出的符号语言也可验证，过切点的半径与切线互相垂直，因此横线处应填写半径。
【答案】
半径
【知识点】
切线的性质定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，该定理是解决切线相关几何证明、计算问题的核心基础，需要熟练掌握定理内容及对应的符号表达。
【难度系数】
0.9
本题考查切线性质定理的基础识记，解题时可先回忆切线性质定理的核心内容，也可结合题干给出的符号语言辅助推导：符号语言中OA是过切点A的圆的半径，结论为OA和切线l垂直，对应即可得出空缺部分的内容。
【解析】
根据切线的性质定理的规定：圆的切线垂直于过切点的半径，结合给出的符号语言也可验证，过切点的半径与切线互相垂直，因此横线处应填写半径。
【答案】
半径
【知识点】
切线的性质定理
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，该定理是解决切线相关几何证明、计算问题的核心基础，需要熟练掌握定理内容及对应的符号表达。
【难度系数】
0.9
思考已知直线为圆的切线时，需要怎样做辅助线？
答案
连接圆心和切点，便可以得到半径垂直于切线。
解析
【分析】
思考这类问题时，首先回忆切线相关的核心性质：我们学过圆的切线垂直于过切点的半径，该性质包含圆心、切点、切线三个核心元素。当题目明确已知直线是圆的切线时，切线和圆的唯一公共点（切点）是确定的，圆心也是确定的，此时我们只需将这两个确定的点连接，就能构造出性质中提到的“过切点的半径”，直接得到半径与切线垂直的直角关系，为后续计算角度、线段长度等提供关键条件。
【解析】
根据切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。已知直线为圆的切线时，首先确定切线与圆的公共点即切点，再将圆心与该切点连接，得到的线段为圆的半径，根据切线性质可知，这条半径和已知切线互相垂直，可为后续解题提供垂直、直角的推导条件。
【答案】
连接圆心和切点，便可以得到半径垂直于切线。
【知识点】
切线的性质；圆的辅助线构造
【点评】
本题是切线相关问题的基础考点，牢记该辅助线的做法是解决各类切线综合题的前提，属于需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
思考这类问题时，首先回忆切线相关的核心性质：我们学过圆的切线垂直于过切点的半径，该性质包含圆心、切点、切线三个核心元素。当题目明确已知直线是圆的切线时，切线和圆的唯一公共点（切点）是确定的，圆心也是确定的，此时我们只需将这两个确定的点连接，就能构造出性质中提到的“过切点的半径”，直接得到半径与切线垂直的直角关系，为后续计算角度、线段长度等提供关键条件。
【解析】
根据切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。已知直线为圆的切线时，首先确定切线与圆的公共点即切点，再将圆心与该切点连接，得到的线段为圆的半径，根据切线性质可知，这条半径和已知切线互相垂直，可为后续解题提供垂直、直角的推导条件。
【答案】
连接圆心和切点，便可以得到半径垂直于切线。
【知识点】
切线的性质；圆的辅助线构造
【点评】
本题是切线相关问题的基础考点，牢记该辅助线的做法是解决各类切线综合题的前提，属于需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
1. 如图，$△ ABC$的顶点$B$，$C$在$\odot O$上，边$AC$经过圆心$O$，且边$AB$与$\odot O$相切于点$B$。若$∠ C=20°$，则$∠ BAC$的度数为（
A.$25°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$65°$
C
）。A.$25°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$65°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先看到AB与圆相切于B点，根据切线相关的常用辅助线做法，优先连接圆心O和切点B，利用切线垂直于过切点的半径得到直角。再结合圆的半径相等，可得△OBC为等腰三角形，已知∠C的度数即可求出∠OBC的度数，再利用三角形外角的性质求出∠AOB的度数，最后在直角三角形ABO中利用两锐角互余即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠C=20°，
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠OBC+∠C=20°+20°=40°，
在Rt△ABO中，∠BAC+∠AOB=90°，
∴∠BAC=90°-40°=50°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，解题核心是掌握切线类问题的常用辅助线做法：连接切点与圆心，构造直角三角形，再结合三角形的相关性质即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先看到AB与圆相切于B点，根据切线相关的常用辅助线做法，优先连接圆心O和切点B，利用切线垂直于过切点的半径得到直角。再结合圆的半径相等，可得△OBC为等腰三角形，已知∠C的度数即可求出∠OBC的度数，再利用三角形外角的性质求出∠AOB的度数，最后在直角三角形ABO中利用两锐角互余即可求出∠BAC的度数。
【解析】
连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，即∠ABO=90°，
∵OB、OC都是⊙O的半径，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠C=20°，
∵∠AOB是△OBC的外角，
∴∠AOB=∠OBC+∠C=20°+20°=40°，
在Rt△ABO中，∠BAC+∠AOB=90°，
∴∠BAC=90°-40°=50°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，解题核心是掌握切线类问题的常用辅助线做法：连接切点与圆心，构造直角三角形，再结合三角形的相关性质即可求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，若$∠ P=80°$，点C在$\odot O$上，且不与点A，点B重合，则$∠ ACB$的度数是
50°或130°
。答案
2.50°或130°
解析
【分析】
解决本题的常规思路：①遇到切线问题，优先连接圆心与切点，利用切线的性质得到直角；②结合四边形内角和，求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；③由于点C的位置未明确，需分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，结合圆周角定理分别计算∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠P=80°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-80°=100°。
分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
可得∠ACB=½∠AOB=½×100°=50°；
2. 当点C在劣弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补，
可得∠ACB=180°-50°=130°。
综上，∠ACB的度数为50°或130°。
【答案】
50°或130°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种可能，仅计算出其中一个角度导致漏解，解题时要注意结合题意全面分析图形的所有可能情况，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解题的基础。
【难度系数】
0.6
解决本题的常规思路：①遇到切线问题，优先连接圆心与切点，利用切线的性质得到直角；②结合四边形内角和，求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；③由于点C的位置未明确，需分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，结合圆周角定理分别计算∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠P=80°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-80°=100°。
分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
可得∠ACB=½∠AOB=½×100°=50°；
2. 当点C在劣弧AB上时，根据圆内接四边形对角互补，
可得∠ACB=180°-50°=130°。
综上，∠ACB的度数为50°或130°。
【答案】
50°或130°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种可能，仅计算出其中一个角度导致漏解，解题时要注意结合题意全面分析图形的所有可能情况，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解题的基础。
【难度系数】
0.6
3. P为$\odot O$外一点，它到$\odot O$的最大距离与最小距离分别为18,8，PA与$\odot O$相切于点A，则
（1）$\odot O$的半径为________；
（2）切线长PA为________。
（1）$\odot O$的半径为________；
（2）切线长PA为________。
答案
3.(1)5 (2)12
解析
【分析】
（1）解决第一问需先明确圆外一点到圆上各点的距离规律：圆外一点到圆的最大距离为该点到圆心的距离加半径，最小距离为该点到圆心的距离减半径，二者的差等于2倍半径，代入数值即可求出半径；（2）解决第二问需用到切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得△PAO为直角三角形，先求出点P到圆心的距离，再结合勾股定理即可求出切线长PA。
【解析】
（1）设$\odot O$的半径为$r$，点P到圆心O的距离为$d$。
∵P为$\odot O$外一点，
∴P到$\odot O$的最大距离为$d+r=18$，最小距离为$d-r=8$，
将两式相减得：$(d+r)-(d-r)=18-8$，
化简得$2r=10$，解得$r=5$。
（2）将$r=5$代入$d-r=8$，得$d=8+5=13$，即$PO=13$。
∵PA与$\odot O$相切于点A，根据切线的性质可得$OA⊥PA$，即$∠OAP=90°$，
在$Rt△ OAP$中，$OA=r=5$，$PO=13$，
由勾股定理得：$PA=\sqrt{PO^2 - OA^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
（1）5；（2）12
【知识点】
点与圆的位置关系；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础类常考题，核心考查圆外点到圆的距离规律和切线性质的应用，解题的关键是理清圆外点到圆的最大、最小距离与半径、点到圆心距离的数量关系，结合直角三角形勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问需先明确圆外一点到圆上各点的距离规律：圆外一点到圆的最大距离为该点到圆心的距离加半径，最小距离为该点到圆心的距离减半径，二者的差等于2倍半径，代入数值即可求出半径；（2）解决第二问需用到切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得△PAO为直角三角形，先求出点P到圆心的距离，再结合勾股定理即可求出切线长PA。
【解析】
（1）设$\odot O$的半径为$r$，点P到圆心O的距离为$d$。
∵P为$\odot O$外一点，
∴P到$\odot O$的最大距离为$d+r=18$，最小距离为$d-r=8$，
将两式相减得：$(d+r)-(d-r)=18-8$，
化简得$2r=10$，解得$r=5$。
（2）将$r=5$代入$d-r=8$，得$d=8+5=13$，即$PO=13$。
∵PA与$\odot O$相切于点A，根据切线的性质可得$OA⊥PA$，即$∠OAP=90°$，
在$Rt△ OAP$中，$OA=r=5$，$PO=13$，
由勾股定理得：$PA=\sqrt{PO^2 - OA^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
【答案】
（1）5；（2）12
【知识点】
点与圆的位置关系；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础类常考题，核心考查圆外点到圆的距离规律和切线性质的应用，解题的关键是理清圆外点到圆的最大、最小距离与半径、点到圆心距离的数量关系，结合直角三角形勾股定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
1.如图，OA交$\odot O$于点B，AC切$\odot O$于点C，D点在$\odot O$上，若$∠ D=24°$，则$∠ A$为（
A.$48°$
B.$60°$
C.$64°$
D.$42°$
D
）。A.$48°$
B.$60°$
C.$64°$
D.$42°$
答案
1.D
解析
【分析】
首先回忆切线的性质：切线与过切点的半径垂直，因此可以得到直角△OCA，要求∠A，只需要求出另一个锐角∠COB的度数即可；已知圆周角∠D的度数，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可直接求出圆心角∠COB的度数，再利用直角三角形两锐角互余就能算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，C为切点
∴OC⊥AC，即∠OCA=90°
∵∠D是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，∠COB=2∠D=2×24°=48°
在Rt△OCA中，∠A+∠COB=90°
∴∠A=90°-48°=42°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，先通过切线得到直角三角形，再结合圆周角定理求出对应圆心角，最后利用直角三角形的角度关系计算即可，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆切线的性质：切线与过切点的半径垂直，因此可以得到直角△OCA，要求∠A，只需要求出另一个锐角∠COB的度数即可；已知圆周角∠D的度数，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可直接求出圆心角∠COB的度数，再利用直角三角形两锐角互余就能算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，C为切点
∴OC⊥AC，即∠OCA=90°
∵∠D是弧BC所对的圆周角，∠COB是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，∠COB=2∠D=2×24°=48°
在Rt△OCA中，∠A+∠COB=90°
∴∠A=90°-48°=42°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，先通过切线得到直角三角形，再结合圆周角定理求出对应圆心角，最后利用直角三角形的角度关系计算即可，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2.如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为$\sqrt{3}$，则切线长PC为（
A.3
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
B
）。A.3
B.2
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
2.B
解析
【分析】
解题首先结合钟表表盘的特征：12个整点将圆周平均分为12份，每份对应圆心角为30°。第一步先确定点的位置关系：8时和2时的连线是表盘直径，再根据切线的性质得到直角三角形；第二步利用圆周角定理求出直角三角形中的锐角度数；最后通过解直角三角形计算切线长PC即可。
【解析】
设表盘圆心为O：
1. 相邻整点对应圆心角：$360° ÷ 12 = 30°$。
2. 点C对应8时、点B对应2时，二者相差6个整点，故B、O、C共线，BC为直径，长度$BC=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
3. 因为PC是过C的切线，由切线性质得$OC⊥ PC$，即$∠ PCB=90°$，$△ PCB$为直角三角形。
4. 点D对应10时，弧CD对应圆心角为$(10-8)×30°=60°$，由圆周角定理得：$∠ PBC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
5. 在$Rt△ PCB$中，$\tan∠ PBC=\frac{PC}{BC}$，代入数值得：
$PC=BC×\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题结合钟表背景考查圆的性质与直角三角形的计算，解题的关键是结合表盘特征找准角度和线段的数量关系，综合性适中。
【难度系数】
0.6
解题首先结合钟表表盘的特征：12个整点将圆周平均分为12份，每份对应圆心角为30°。第一步先确定点的位置关系：8时和2时的连线是表盘直径，再根据切线的性质得到直角三角形；第二步利用圆周角定理求出直角三角形中的锐角度数；最后通过解直角三角形计算切线长PC即可。
【解析】
设表盘圆心为O：
1. 相邻整点对应圆心角：$360° ÷ 12 = 30°$。
2. 点C对应8时、点B对应2时，二者相差6个整点，故B、O、C共线，BC为直径，长度$BC=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
3. 因为PC是过C的切线，由切线性质得$OC⊥ PC$，即$∠ PCB=90°$，$△ PCB$为直角三角形。
4. 点D对应10时，弧CD对应圆心角为$(10-8)×30°=60°$，由圆周角定理得：$∠ PBC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
5. 在$Rt△ PCB$中，$\tan∠ PBC=\frac{PC}{BC}$，代入数值得：
$PC=BC×\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，解直角三角形
【点评】
本题结合钟表背景考查圆的性质与直角三角形的计算，解题的关键是结合表盘特征找准角度和线段的数量关系，综合性适中。
【难度系数】
0.6
3.如图,在平面直角坐标系中,⊙M 的半径为1,点 M 的坐标为(-5,0),若将⊙M沿x轴正方向平移t个单位长度后与y轴相切,则t=
4或6
。答案
3.4或6
解析
【分析】
解题时先回忆直线与圆相切的判定条件：圆心到直线的距离等于半径。首先确定平移后圆心的坐标，再根据圆心到y轴的距离等于半径列方程求解，注意要考虑圆在y轴左侧相切和右侧相切两种情况，避免漏解。
【解析】
解：将⊙M沿x轴正方向平移t个单位长度后，圆心M的坐标变为$(-5 + t, 0)$。
∵ 平移后⊙M与y轴相切，
∴ 圆心到y轴的距离等于⊙M的半径1，即$|-5 + t| = 1$。
分两种情况求解：
① 当$-5 + t = 1$时，解得$t = 6$；
② 当$-5 + t = -1$时，解得$t = 4$。
综上，t的值为4或6。
【答案】
4或6
【知识点】
直线与圆相切的判定；点的平移坐标变化；绝对值方程求解
【点评】
本题考查直线与圆相切的性质应用，解题的关键是分类讨论圆与y轴相切的两种位置情况，易错点是容易只考虑其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆直线与圆相切的判定条件：圆心到直线的距离等于半径。首先确定平移后圆心的坐标，再根据圆心到y轴的距离等于半径列方程求解，注意要考虑圆在y轴左侧相切和右侧相切两种情况，避免漏解。
【解析】
解：将⊙M沿x轴正方向平移t个单位长度后，圆心M的坐标变为$(-5 + t, 0)$。
∵ 平移后⊙M与y轴相切，
∴ 圆心到y轴的距离等于⊙M的半径1，即$|-5 + t| = 1$。
分两种情况求解：
① 当$-5 + t = 1$时，解得$t = 6$；
② 当$-5 + t = -1$时，解得$t = 4$。
综上，t的值为4或6。
【答案】
4或6
【知识点】
直线与圆相切的判定；点的平移坐标变化；绝对值方程求解
【点评】
本题考查直线与圆相切的性质应用，解题的关键是分类讨论圆与y轴相切的两种位置情况，易错点是容易只考虑其中一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.7
