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2.如图，$△ ABC$是一张三角形的纸片，$\odot O$是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知$AD=10\ \mathrm{cm}$，小明准备用剪刀沿着与$\odot O$相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（$△ AMN$），则剪下的$△ AMN$的周长为（
A.20 cm
B.15 cm
C.10 cm
D.随直线MN的变化而变化
A
）。A.20 cm
B.15 cm
C.10 cm
D.随直线MN的变化而变化
答案
2.A
解析
【分析】
本题可利用切线长定理求解，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。解题思路是先找到点A到内切圆的两条切线，确定其长度相等，再将剪下的△AMN的周长通过切线长相等进行等量代换，转化为已知长度的线段和即可。
【解析】
设AC边与⊙O的切点为E，直线MN与⊙O的切点为F。
根据切线长定理可得：
1. 从点A引⊙O的两条切线长相等，即$AD = AE = 10\ \mathrm{cm}$；
2. 从点M引⊙O的两条切线长相等，即$MD = MF$；
3. 从点N引⊙O的两条切线长相等，即$NE = NF$。
△AMN的周长为：
$C_{△ AMN}=AM+MN+AN=AM+MF+FN+AN$
将$MF=MD$、$FN=NE$代入上式，可得：
$C_{△ AMN}=AM+MD+NE+AN=(AM+MD)+(AN+NE)=AD+AE=10+10=20\ \mathrm{cm}$
因此剪下的△AMN的周长为20cm，与直线MN的位置无关。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是通过切线长相等的性质，将未知三角形的周长转化为已知长度的线段和，无需计算各边具体长度，通过等量代换即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
本题可利用切线长定理求解，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。解题思路是先找到点A到内切圆的两条切线，确定其长度相等，再将剪下的△AMN的周长通过切线长相等进行等量代换，转化为已知长度的线段和即可。
【解析】
设AC边与⊙O的切点为E，直线MN与⊙O的切点为F。
根据切线长定理可得：
1. 从点A引⊙O的两条切线长相等，即$AD = AE = 10\ \mathrm{cm}$；
2. 从点M引⊙O的两条切线长相等，即$MD = MF$；
3. 从点N引⊙O的两条切线长相等，即$NE = NF$。
△AMN的周长为：
$C_{△ AMN}=AM+MN+AN=AM+MF+FN+AN$
将$MF=MD$、$FN=NE$代入上式，可得：
$C_{△ AMN}=AM+MD+NE+AN=(AM+MD)+(AN+NE)=AD+AE=10+10=20\ \mathrm{cm}$
因此剪下的△AMN的周长为20cm，与直线MN的位置无关。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题核心是通过切线长相等的性质，将未知三角形的周长转化为已知长度的线段和，无需计算各边具体长度，通过等量代换即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
3.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，AC是$\odot O$的直径，若$∠ P = 26°$，则$∠ BAC$的度数为________。
答案
3.$13°$
解析
【分析】
解题可按照以下思路推导：①看到圆的切线，首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得PA垂直于直径AC，即∠PAC=90°；②根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此PA=PB，△PAB为等腰三角形；③已知等腰△PAB的顶角∠P=26°，可计算出底角∠PAB的度数；④用∠PAC的度数减去∠PAB的度数，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB，PA⊥AC（切线长定理、切线的性质）
∴△PAB为等腰三角形，∠PAC=90°
∵∠P=26°
∴∠PAB=(180°-∠P)÷2=(180°-26°)÷2=77°
∴∠BAC=∠PAC - ∠PAB=90°-77°=13°
【答案】
13°
【知识点】
切线的性质；切线长定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是熟练掌握切线相关定理，结合等腰三角形的角度计算规则即可快速得出结果，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题可按照以下思路推导：①看到圆的切线，首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得PA垂直于直径AC，即∠PAC=90°；②根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此PA=PB，△PAB为等腰三角形；③已知等腰△PAB的顶角∠P=26°，可计算出底角∠PAB的度数；④用∠PAC的度数减去∠PAB的度数，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB，PA⊥AC（切线长定理、切线的性质）
∴△PAB为等腰三角形，∠PAC=90°
∵∠P=26°
∴∠PAB=(180°-∠P)÷2=(180°-26°)÷2=77°
∴∠BAC=∠PAC - ∠PAB=90°-77°=13°
【答案】
13°
【知识点】
切线的性质；切线长定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是熟练掌握切线相关定理，结合等腰三角形的角度计算规则即可快速得出结果，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
4.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，$∠ CAB=60°$,若量出$AD=6\ \mathrm{cm}$,则圆形螺母的外直径是
$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
。答案
4.$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先结合切线的相关性质构造直角三角形：先设圆形螺母的外圆圆心为O，连接OD、OA。由切线长定理可知，OA平分点A处两条切线的夹角，结合已知∠CAB=60°先求出切线夹角的度数，得到直角三角形中锐角的度数，再利用三角函数求出外圆半径，最终计算得到外直径。
【解析】
设圆形螺母的外圆圆心为O，连接OD、OA：
1. 因为AD、AB都是⊙O的切线，D是切点，根据切线的性质得$OD⊥ AD$；根据切线长定理，OA平分$∠ DAB$。
2. 已知$∠ CAB=60°$，因此$∠ DAB=180°-∠ CAB=120°$，可得$∠ OAD=\frac{1}{2}∠ DAB=60°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ODA$中，$∠ ODA=90°$，$AD=6\ \mathrm{cm}$，由正切的定义：$\tan∠ OAD=\frac{OD}{AD}$，代入$\tan60°=\sqrt{3}$，得$OD=AD·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 外圆直径为$2OD=2×6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的切线相关知识，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，需要注意准确计算切线的夹角，避免误认角度导致计算错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合切线的相关性质构造直角三角形：先设圆形螺母的外圆圆心为O，连接OD、OA。由切线长定理可知，OA平分点A处两条切线的夹角，结合已知∠CAB=60°先求出切线夹角的度数，得到直角三角形中锐角的度数，再利用三角函数求出外圆半径，最终计算得到外直径。
【解析】
设圆形螺母的外圆圆心为O，连接OD、OA：
1. 因为AD、AB都是⊙O的切线，D是切点，根据切线的性质得$OD⊥ AD$；根据切线长定理，OA平分$∠ DAB$。
2. 已知$∠ CAB=60°$，因此$∠ DAB=180°-∠ CAB=120°$，可得$∠ OAD=\frac{1}{2}∠ DAB=60°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ODA$中，$∠ ODA=90°$，$AD=6\ \mathrm{cm}$，由正切的定义：$\tan∠ OAD=\frac{OD}{AD}$，代入$\tan60°=\sqrt{3}$，得$OD=AD·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
4. 外圆直径为$2OD=2×6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的切线相关知识，解题核心是正确作出辅助线构造直角三角形，需要注意准确计算切线的夹角，避免误认角度导致计算错误。
【难度系数】
0.6
5.如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，A，B是切点，若$∠ APB = 60°$，则$∠ OPB$等于
$30°$
。答案
5.$30°$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：PA、PB是⊙O的两条切线，P为圆外一点，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，圆心与该点的连线平分两条切线的夹角，因此OP是∠APB的角平分线，要求∠OPB，只需用∠APB的度数除以2即可得到结果。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴根据切线长定理，OP平分∠APB，
∴$∠ OPB=\frac{1}{2}∠ APB$，
又
∵$∠ APB=60°$，
∴$∠ OPB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
切线长定理，角度计算
【点评】
本题是对切线长定理的基础应用考查，属于圆章节的基础常考题，只要牢记切线长定理的内容，结合已知角度即可快速算出结果。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知条件：PA、PB是⊙O的两条切线，P为圆外一点，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，圆心与该点的连线平分两条切线的夹角，因此OP是∠APB的角平分线，要求∠OPB，只需用∠APB的度数除以2即可得到结果。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，
∴根据切线长定理，OP平分∠APB，
∴$∠ OPB=\frac{1}{2}∠ APB$，
又
∵$∠ APB=60°$，
∴$∠ OPB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
切线长定理，角度计算
【点评】
本题是对切线长定理的基础应用考查，属于圆章节的基础常考题，只要牢记切线长定理的内容，结合已知角度即可快速算出结果。
【难度系数】
0.9
6.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，CD切$\odot O$于点E，$△ PCD$的周长为12，$∠ APB=60°$。求：
(1)PA的长；
(2)$∠ COD$的度数。
(1)PA的长；
(2)$∠ COD$的度数。
答案
6.(1)$PA=6$;(2)$∠ COD=60°$。
解析
【分析】
本题可根据切线的相关性质求解：
(1) 要求PA的长，先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。可得CA=CE，DE=DB，PA=PB，观察△PCD的周长可转化为PA+PB=2PA，结合已知周长即可求出PA的长度。
(2) 要求∠COD的度数，先连接OA、OB、OE，根据切线的性质可知切线与半径垂直，结合四边形内角和先求出∠AOB的度数，再根据切线长定理可知OC平分∠AOE、OD平分∠BOE，即可推出∠COD是∠AOB的一半，进而求解。
【解析】
(1)
∵PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，
根据切线长定理可得：$CA=CE$，$DE=DB$，$PA=PB$，
∴$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA$，
已知$△ PCD$的周长为12，
∴$2PA=12$，解得$PA=6$。
(2) 连接OA、OB、OE，
∵PA、PB、CD均为⊙O的切线，
根据切线的性质可得：$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，$OE⊥CD$，即$∠OAP=∠OBP=90°$，
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，已知$∠APB=60°$，
∴$∠AOB=360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠APB = 360° -90° -90° -60°=120°$，
又根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，该点和圆心的连线平分两条切线的夹角，
∴OC平分$∠AOE$，OD平分$∠BOE$，即$∠COE=\frac{1}{2}∠AOE$，$∠DOE=\frac{1}{2}∠BOE$，
∴$∠COD=∠COE+∠DOE=\frac{1}{2}(∠AOE+∠BOE)=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
(1)$PA=6$；(2)$∠COD=60°$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是利用切线长定理完成线段和角的等量转化，只要熟练掌握切线相关性质，就能快速找到解题思路。
【难度系数】
0.7
本题可根据切线的相关性质求解：
(1) 要求PA的长，先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。可得CA=CE，DE=DB，PA=PB，观察△PCD的周长可转化为PA+PB=2PA，结合已知周长即可求出PA的长度。
(2) 要求∠COD的度数，先连接OA、OB、OE，根据切线的性质可知切线与半径垂直，结合四边形内角和先求出∠AOB的度数，再根据切线长定理可知OC平分∠AOE、OD平分∠BOE，即可推出∠COD是∠AOB的一半，进而求解。
【解析】
(1)
∵PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，
根据切线长定理可得：$CA=CE$，$DE=DB$，$PA=PB$，
∴$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA$，
已知$△ PCD$的周长为12，
∴$2PA=12$，解得$PA=6$。
(2) 连接OA、OB、OE，
∵PA、PB、CD均为⊙O的切线，
根据切线的性质可得：$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，$OE⊥CD$，即$∠OAP=∠OBP=90°$，
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，已知$∠APB=60°$，
∴$∠AOB=360° - ∠OAP - ∠OBP - ∠APB = 360° -90° -90° -60°=120°$，
又根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，该点和圆心的连线平分两条切线的夹角，
∴OC平分$∠AOE$，OD平分$∠BOE$，即$∠COE=\frac{1}{2}∠AOE$，$∠DOE=\frac{1}{2}∠BOE$，
∴$∠COD=∠COE+∠DOE=\frac{1}{2}(∠AOE+∠BOE)=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
(1)$PA=6$；(2)$∠COD=60°$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是利用切线长定理完成线段和角的等量转化，只要熟练掌握切线相关性质，就能快速找到解题思路。
【难度系数】
0.7
7.如图①，AB是$\odot O$的直径，弦CD与AB相交于点E，$∠ C+∠ D=90°$，$BF// CD$。
(1)求证：BF是$\odot O$的切线；
(2)延长AC交直线FB于点P(如图②)，若E为OB中点，$CD=6$，求PC的长。
(1)求证：BF是$\odot O$的切线；
(2)延长AC交直线FB于点P(如图②)，若E为OB中点，$CD=6$，求PC的长。
答案
7.(1)略 (2)$PC=2$。
解析
【分析】
(1) 要证BF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明BF垂直于直径AB即可。已知$BF// CD$，因此先证$AB⊥ CD$：利用同弧所对圆周角相等将$∠ D$转化为$∠ A$，结合已知$∠ C+∠ D=90°$，可得$∠ A+∠ C=90°$，推出$AB⊥ CD$，进而得到$AB⊥ BF$，完成证明。
(2) 先由垂径定理得$CE=\frac{CD}{2}=3$，设$\odot O$半径为$r$，根据E是OB中点得$OE=\frac{r}{2}$，在$Rt△ OCE$中用勾股定理求出半径$r$，再计算AC的长度，最后通过证明$△ AEC∽△ ABP$，利用相似三角形对应边成比例求出AP的长，用$PC=AP-AC$即可得结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧BC所对的圆周角相等，
∴ $∠ A=∠ D$，
已知$∠ C+∠ D=90°$，
∴ $∠ A+∠ C=90°$，
在$△ AEC$中，$∠ AEC=180°-(∠ A+∠ C)=90°$，
∴ $AB⊥ CD$，
又
∵ $BF// CD$，
∴ $AB⊥ BF$，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ BF是$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵ $AB⊥ CD$，AB是直径，由垂径定理得：$CE=DE=\frac{CD}{2}=3$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OB=r$，
∵ E是OB中点，
∴ $OE=\frac{OB}{2}=\frac{r}{2}$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：$OC^2=OE^2+CE^2$，
即 $r^2=(\frac{r}{2})^2+3^2$，
解得$r=2\sqrt{3}$（$r＞0$），
∴ $AB=2r=4\sqrt{3}$，$OE=\sqrt{3}$，$AE=AO+OE=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
在$Rt△ ACE$中，$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=6$，
∵ $BF// CD$，
∴ $∠ ACE=∠ P$，
又
∵ $∠ A$是公共角，$∠ AEC=∠ ABP=90°$，
∴ $△ AEC∽△ ABP$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AP}$，
代入数值：$\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{6}{AP}$，解得$AP=8$，
∴ $PC=AP-AC=8-6=2$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{PC=2}$
【知识点】
切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆的基本性质、切线判定、相似三角形结合考查，解题的核心是利用垂径定理得到垂直关系和线段等量关系，再结合相似三角形建立边长比例求解。
【难度系数】
0.65
(1) 要证BF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明BF垂直于直径AB即可。已知$BF// CD$，因此先证$AB⊥ CD$：利用同弧所对圆周角相等将$∠ D$转化为$∠ A$，结合已知$∠ C+∠ D=90°$，可得$∠ A+∠ C=90°$，推出$AB⊥ CD$，进而得到$AB⊥ BF$，完成证明。
(2) 先由垂径定理得$CE=\frac{CD}{2}=3$，设$\odot O$半径为$r$，根据E是OB中点得$OE=\frac{r}{2}$，在$Rt△ OCE$中用勾股定理求出半径$r$，再计算AC的长度，最后通过证明$△ AEC∽△ ABP$，利用相似三角形对应边成比例求出AP的长，用$PC=AP-AC$即可得结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 同弧BC所对的圆周角相等，
∴ $∠ A=∠ D$，
已知$∠ C+∠ D=90°$，
∴ $∠ A+∠ C=90°$，
在$△ AEC$中，$∠ AEC=180°-(∠ A+∠ C)=90°$，
∴ $AB⊥ CD$，
又
∵ $BF// CD$，
∴ $AB⊥ BF$，
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ BF是$\odot O$的切线。
(2) 解：
∵ $AB⊥ CD$，AB是直径，由垂径定理得：$CE=DE=\frac{CD}{2}=3$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OB=r$，
∵ E是OB中点，
∴ $OE=\frac{OB}{2}=\frac{r}{2}$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：$OC^2=OE^2+CE^2$，
即 $r^2=(\frac{r}{2})^2+3^2$，
解得$r=2\sqrt{3}$（$r＞0$），
∴ $AB=2r=4\sqrt{3}$，$OE=\sqrt{3}$，$AE=AO+OE=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
在$Rt△ ACE$中，$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=6$，
∵ $BF// CD$，
∴ $∠ ACE=∠ P$，
又
∵ $∠ A$是公共角，$∠ AEC=∠ ABP=90°$，
∴ $△ AEC∽△ ABP$，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{AC}{AP}$，
代入数值：$\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{6}{AP}$，解得$AP=8$，
∴ $PC=AP-AC=8-6=2$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{PC=2}$
【知识点】
切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，将圆的基本性质、切线判定、相似三角形结合考查，解题的核心是利用垂径定理得到垂直关系和线段等量关系，再结合相似三角形建立边长比例求解。
【难度系数】
0.65
