11.如图,点A,B,C在同一条线段上,M是线段AC的中点,N是线段BC的中点,且AM=5 cm,CN=3 cm,求线段AB的长。

11. 16 cm

【分析】
解题时首先回忆线段中点的性质：线段的中点将线段分成长度相等的两部分。已知M是AC中点、N是BC中点，我们可以先根据中点性质分别求出AC和BC的长度，再结合线段AB是AC与BC的和，将两段长度相加就能得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ M是线段AC的中点，AM=5 cm
∴ AC = 2AM = 2×5 = 10 cm
∵ N是线段BC的中点，CN=3 cm
∴ BC = 2CN = 2×3 = 6 cm
∵ 点A、B、C在同一条线段上，C在A、B之间
∴ AB = AC + BC = 10 + 6 = 16 cm
【答案】
16 cm
【知识点】
线段中点的性质、线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题关键是利用线段中点的性质求出对应线段的长度，再结合线段的和差关系计算所求线段长度即可。
【难度系数】
0.9

12.如图，直线AB，CD相交于点O，且$∠ BOC = 80°$，OE平分$∠ BOC$，OF为OE的反向延长线，求$∠ 2$和$∠ 3$的度数，并说明OF是不是$∠ AOD$的平分线。

12. 解:因为$∠BOC=80°$,OE平分$∠BOC$,
所以$∠1=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
又因为 CD 是直线,$∠BOC=80°$,
所以$∠2+∠BOC=180°$,
所以$∠2=180°-80°=100°$。
同理$∠2+∠AOD=180°,∠1+∠2+∠3=180°$,
所以$∠AOD=80°,∠3=40°$,
所以$∠3=\frac{1}{2}∠AOD$,
所以 OF 是$∠AOD$的平分线。

【分析】
解题时先从已知条件出发，第一步根据角平分线的定义，结合已知∠BOC的度数先求出∠1的度数；第二步利用邻补角和为180°的性质，计算∠2的度数；第三步根据平角为180°的性质，结合已求出的∠1、∠2的度数算出∠3的度数；最后通过对顶角相等求出∠AOD的度数，判断∠3是否为∠AOD的一半，即可确定OF是不是∠AOD的平分线。
【解析】
解：因为$∠BOC=80°$，OE平分$∠BOC$，
所以$∠1=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
又因为 CD 是直线，$∠BOC=80°$，
所以$∠2+∠BOC=180°$，
所以$∠2=180°-80°=100°$。
同理$∠2+∠AOD=180°,∠1+∠2+∠3=180°$，
所以$∠AOD=80°,∠3=40°$，
所以$∠3=\frac{1}{2}∠AOD$，
所以 OF 是$∠AOD$的平分线。
【答案】
$∠2=100°$，$∠3=40°$，OF是$∠AOD$的平分线。
【知识点】
角平分线的定义；邻补角互补；对顶角相等
【点评】
本题属于相交线相关的基础计算题，核心是准确识别不同角的位置关系，结合角的基本性质逐步推导即可求解，解题时要注意不要混淆各类角的性质。
【难度系数】
0.7

13. 如图,已知 O 是直线 AB 上的一点, $∠ COD=90°$,OE 平分$∠ BOC$。
(1)若$∠ AOC=40°$,则$∠ DOE=$;
(2)若$∠ AOC=α$,求$∠ DOE$的度数(用含$α$的代数式表示)。

13. 解:(1)$20°$
(2)因为 OE 平分$∠BOC,∠AOC=α$,
所以$∠COB=180°-∠AOC=180°-α$,
所以$∠COE=(180°-α)×\frac{1}{2}=90°-\frac{1}{2}α$。
因为$∠COD=90°$,
所以$∠DOE=∠COD-∠COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。

【分析】
解决这道题的核心是结合图形理清角之间的数量关系，用到平角、角平分线、直角的相关定义：1.看到直线AB，首先明确∠AOB是平角，度数为180°，因此∠AOC和∠BOC互补；2.OE平分∠BOC，说明∠COE等于∠BOC的一半；3.已知∠COD是直角90°，因此∠DOE=∠COD-∠COE，按照这个思路逐步推导即可。第一问代入具体数值计算，第二问把数值换成字母α，按照同样的逻辑推导表达式即可。
【解析】
(1) 因为O是直线AB上的点，所以$∠ AOB=180°$。
已知$∠ AOC=40°$，所以$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-40°=140°$。
因为OE平分$∠ BOC$，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$。
又因为$∠ COD=90°$，所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-70°=20°$。
(2) 因为O是直线AB上的点，所以$∠ AOB=180°$。
已知$∠ AOC=α$，所以$∠ BOC=180°-∠ AOC=180°-α$。
因为OE平分$∠ BOC$，所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$。
又因为$∠ COD=90°$，所以$∠ DOE=∠ COD-∠ COE=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $20°$；(2) $\frac{1}{2}α$
【知识点】
平角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算的常规题型，侧重对基础定义的应用，解题的关键是准确识别图形中角的和差关系，熟练掌握平角、角平分线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

14.如图,直线上的四个点A,B,C,D分别代表四个小区,其中A小区和B小区相距50 m,B小区和C小区相距200 m,C小区和D小区相距50 m。某公司的员工在A小区有30人,B小区有5人,C小区有20人,D小区有6人。现公司计划在A,B,C,D四个小区中选一个作为班车停靠点,为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小,那么停靠点的位置应设在哪个小区?试通过计算说明理由。

14. 解:停靠点的位置应设在 B 小区。
理由如下：
(1)当停靠点设置在 A 小区时,所有员工步行到停靠点的路程和为$5×50+20×(50+200)+6×(50+200+50)=7\ 050(\mathrm{m})$；
(2)当停靠点设置在 B 小区时,所有员工步行到停靠点的路程和为$30×50+20×200+6×(200+50)=7\ 000(\mathrm{m})$；
(3)当停靠点设置在 C 小区时,所有员工步行到停靠点的路程和为$30×(50+200)+5×200+6×50=8\ 800(\mathrm{m})$；
(4)当停靠点设置在 D 小区时,所有员工步行到停靠点的路程和为$30×(50+200+50)+5×(50+200)+20×50=11\ 250(\mathrm{m})$。
因为$7\ 000＜7\ 050＜8\ 800＜11\ 250$,
所以停靠点的位置应设在 B 小区。

【分析】
要确定使所有员工步行总路程最小的停靠点，我们可以采用枚举法，分别计算停靠点设在A、B、C、D四个小区时的总步行路程，再比较四个总路程的大小即可。计算总路程时，用每个小区的员工人数乘该小区到停靠点的距离，再把所有小区的计算结果相加，就是对应方案的总路程。
【解析】
我们分四种情况计算总步行路程：
(1) 当停靠点设置在A小区时：
总路程 = $5×50+20×(50+200)+6×(50+200+50)=7050(\mathrm{m})$
(2) 当停靠点设置在B小区时：
总路程 = $30×50+20×200+6×(200+50)=7000(\mathrm{m})$
(3) 当停靠点设置在C小区时：
总路程 = $30×(50+200)+5×200+6×50=8800(\mathrm{m})$
(4) 当停靠点设置在D小区时：
总路程 = $30×(50+200+50)+5×(50+200)+20×50=11250(\mathrm{m})$
对比四个总路程的大小：$7000＜7050＜8800＜11250$，因此停靠点设在B小区时所有员工的步行总路程最小。
【答案】
停靠点的位置应设在B小区。
【知识点】
有理数混合运算，最优方案选择，两点间距离计算
【点评】
本题结合生活实际场景，将实际问题转化为数学计算问题，通过枚举所有可能的方案并比较结果得到最优解，解题时需注意准确计算各小区到停靠点的距离，避免计算失误。
【难度系数】
0.8