2. 如图8，BD=CE，∠B=∠C. 求证:BE=CD.

2. 提示:由“AAS”证△ACE≌△ABD得到AC=AB,AE=AD.

【分析】
要证明BE=CD，观察图形可得BE=AB-AE，CD=AC-AD，因此只需证明AB=AC、AE=AD即可。已知∠B=∠C，∠A是△ABD和△ACE的公共角，结合已知BD=CE，可通过"AAS"判定△ABD≌△ACE，再利用全等三角形对应边相等得到AB与AC、AE与AD的等量关系，最后通过等式性质推导得到BE=CD。
【解析】
证明：在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角相等}) \\∠ B=∠ C \quad (\mathrm{已知}) \\BD=CE \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore AB=AC,AD=AE$（全等三角形的对应边相等）
根据等式的性质可得：$AB-AE=AC-AD$
即$BE=CD$
【答案】
$BE=CD$，得证
【知识点】
AAS判定全等、全等三角形的性质、等式的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题的关键是结合图形找到待证线段和已知条件的关联，选择合适的三角形证明全等，再通过边的和差关系推导结论。
【难度系数】
0.8

3. 如图9,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥m,CE⊥m,垂足分别为点D,E. 求证:(1)△BDA≌△AEC;(2)DE=BD+CE.

3. 提示:(1)由BD⊥m,CE⊥m,证∠ADB=∠CEA=90°,则∠ABD+∠BAD=90°,由∠BAC=90°,可证∠BAD+∠CAE=90°,则∠ABD=∠CAE,又AB=AC,可证得△BDA≌△AEC. (2)由△BDA≌△AEC,可得BD=AE,AD=CE,可证得DE=DA+AE=BD+CE.

【分析】
（1）要证明△BDA≌△AEC，首先由BD、CE均垂直于直线m，可得两个三角形均含直角，有一组角相等；已知AB=AC，只需再找一组等角即可判定全等。结合∠BAC=90°和直角三角形两锐角互余的性质，可推出∠ABD和∠CAE都是∠BAD的余角，根据同角的余角相等即可得到这组等角，用AAS即可完成全等证明。
（2）要证明DE=BD+CE，观察线段DE的构成，DE=DA+AE，结合（1）中全等三角形的对应边相等，将DA、AE分别替换为CE、BD，通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：(1)
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D、E，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∴在Rt△BDA中，∠ABD + ∠BAD = 90°，
又
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD + ∠CAE = 180° - ∠BAC = 90°，
∴∠ABD = ∠CAE（同角的余角相等），
在△BDA和△AEC中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA \\∠ABD=∠CAE \\AB=AC\end{array} $
∴△BDA≌△AEC（AAS）。
(2) 由(1)中△BDA≌△AEC，根据全等三角形对应边相等可得：
BD=AE，AD=CE，
∵DE是直线m上的线段，可拆分为DE=DA + AE，
将DA替换为CE，AE替换为BD，可得：
DE=CE + BD，即DE=BD+CE。
【答案】
(1) 已证△BDA≌△AEC；
(2) 已证DE=BD+CE。
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 同角的余角相等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是“一线三垂直”几何模型的典型应用，核心考查全等三角形的判定与性质，解题关键是利用直角的性质推导等角，再结合全等对应边相等完成线段和的证明，是几何证明的基础经典题型。
【难度系数】
0.8

4. 如图10,在$△ ABC$中,D是边AB上一点,E是边AC的中点,作$CF// AB$交DE的延长线于点F.
(1)求证:$△ ADE≌△ CFE$;
(2)若$AB=AC$,$CE=6$,$CF=8$,求DB的长.

4. 提示:(1)根据点E是边AC的中点,得出AE=CE,又CF//AB,再根据平行线的性质得出∠A=∠ACF,∠ADE=∠F,即可证明△ADE≌△CFE. (2)根据△ADE≌△CFE得出AD=CF=8,进而得出AB=AC=2CE=12,根据线段的和差得出DB=AB-AD=12-8=4.

【分析】
(1)要证明△ADE≌△CFE，首先结合E是AC中点的条件得到一组相等的边AE=CE，再根据CF//AB的平行线性质，得到两组相等的内错角，最后选用AAS判定定理即可证明全等；
(2)先利用全等三角形对应边相等的性质得到AD的长度，再结合E是AC中点求出AC的长度，利用AB=AC得到AB的长度，最后通过线段和差关系计算DB的长度。
【解析】
(1)证明：
∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵CF//AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADE=∠ F\\ ∠ A=∠ ECF\\ AE=CE\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（AAS）。
(2)解：
∵△ADE≌△CFE，CF=8，
∴AD=CF=8，
∵E是AC的中点，CE=6，
∴AC=2CE=2×6=12，
又
∵AB=AC，
∴AB=12，
∴DB=AB-AD=12-8=4。
【答案】
(1)证明见解析；(2)DB的长为4。
【知识点】
全等三角形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题的核心是熟练掌握平行线的性质和三角形全等的判定、性质，通过已知条件找到全等所需的对应相等的边和角，再利用全等转化线段长度求解，是对三角形全等相关知识的常规考察。
【难度系数】
0.7

如图11,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,CD为AB边上的高,$AB=15\ \mathrm{cm}$,$CD=6\ \mathrm{cm}$,点F从点D出发,在直线CD上以3 cm/s的速度移动,过点F作BC的垂线交直线BC于点E. 当点F运动s时,$CE=AC$.

3或7

【分析】
解题第一步先找角的等量关系：利用同角的余角相等可推出∠A=∠ECF，结合已知CE=AC、两个直角相等，可通过ASA证明△ABC和△CFE全等，得到对应边CF=AB=15cm；第二步注意点F在直线CD上运动，需分两种情况讨论F的位置，分别计算DF的长度，再根据速度公式求出运动时间即可。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ECF+∠ACD=90°，
∴∠A=∠ECF。
∵FE⊥BC，
∴∠CEF=90°=∠ACB。
在△ABC和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ ECF\\ AC=CE\\ ∠ ACB=∠ CEF\end{array} $
∴△ABC≌△CFE（ASA），
∴CF=AB=15cm。
分两种情况讨论：
1. 当点F在CD的延长线上（D远离C的一侧）时：
$DF=CF-CD=15-6=9\mathrm{cm}$，
运动时间$t=9÷3=3\mathrm{s}$；
2. 当点F在DC的延长线上（C远离D的一侧）时：
$DF=CF+CD=15+6=21\mathrm{cm}$，
运动时间$t=21÷3=7\mathrm{s}$。
综上，点F运动时间为3s或7s。
【答案】
3或7
【知识点】
全等三角形的判定与性质，余角的性质，分类讨论思想
【点评】
本题属于几何动点问题，核心是通过全等三角形找到边的等量关系，解题时要注意“直线”和“线段”的区别，直线上的动点需要分不同位置讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6