3. 如图1，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E。其中能使$△ ABC ≌ △ AED$的条件有()

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

3. B

【分析】
首先由已知∠1=∠2，结合角的和差关系可推出△ABC和△AED的一组对应角∠CAB=∠DAE，再加上已知的对应边AC=AD，此时已有一组边相等、一组角相等，接下来结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐个验证给出的4个条件是否符合全等判定要求即可。
【解析】
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即$∠ CAB=∠ DAE$，已知$AC=AD$，逐一分析条件：
1. 增加条件①$AB=AE$：
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AC=AD（已知）\\∠ CAB=∠ DAE（已证）\\AB=AE（已知）\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ AED$（SAS），①符合要求；
2. 增加条件②$BC=ED$：
此时已知条件为$AC=AD$，$∠ CAB=∠ DAE$，$BC=ED$，属于“SSA”的情况，不能判定三角形全等，②不符合要求；
3. 增加条件③$∠ C=∠ D$：
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}∠ C=∠ D（已知）\\AC=AD（已知）\\∠ CAB=∠ DAE（已证）\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ AED$（ASA），③符合要求；
4. 增加条件④$∠ B=∠ E$：
在$△ ABC$和$△ AED$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ E（已知）\\∠ CAB=∠ DAE（已证）\\AC=AD（已知）\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ AED$（AAS），④符合要求。
综上，符合要求的条件有①③④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的判定，角的和差计算
【点评】
本题重点考查三角形全等判定定理的应用，解题的关键是先推导出一组对应角相等，再结合判定定理逐一验证条件，要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免误判。
【难度系数】
0.7

4. 如图2,在等腰直角$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,点$F$为$BC$上一点,连接$AF$,过点$C$,$B$分别作$CD⊥ AF$于点$D$,$BE⊥ AF$交$AF$的延长线于点$E$.若$CD=4$,$BE=1$,则$ED$的长为()



A.2
B.3
C.4
D.5

4. B

【分析】
解题时首先观察图形特征，结合已知的等腰直角三角形和两条垂直于AF的线段，可先通过直角三角形两个锐角互余的性质，推导得到一组相等的角；再结合AB=AC的条件，利用AAS判定△ABE和△CAD全等；最后根据全等三角形对应边相等，得到AE和AD的长度，作差即可求出ED的长。
【解析】
解：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE + ∠CAD = 90°，
∵CD⊥AF，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD + ∠ACD = 90°，
∴∠BAE = ∠ACD（同角的余角相等），
∵BE⊥AF，
∴∠E = ∠ADC = 90°，
在△ABE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠E = ∠ADC \\∠BAE = ∠ACD \\AB = AC\end{array} $
∴△ABE ≌ △CAD（AAS），
∴AE = CD = 4，AD = BE = 1，
∴ED = AE - AD = 4 - 1 = 3。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；余角的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题的核心是通过同角的余角相等推导对应角相等，进而证明三角形全等，再利用全等的性质转化线段长度求解，要求熟练掌握全等三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 如图，已知$AB=AC$，$∠ B=∠ C$，$AD$是$△ ABC$中$BC$边上的高，则直接判定$△ ABD≌△ ACD$的根据是。

1. AAS

【分析】
解题时首先明确要判定全等的两个三角形为△ABD和△ACD，先梳理已知和隐含的相等条件：1. 题目直接给出AB=AC、∠B=∠C；2. 由AD是BC边上的高，可得∠ADB=∠ADC=90°，即两个三角形有第二组角相等。接下来匹配全等判定定理：现有两组角对应相等，且相等的边AB、AC分别是∠ADB、∠ADC的对边，不属于两组角的夹边，因此对应两角及其中一角对边相等的判定定理即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC中BC边上的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠B=∠C（已知）\\∠ADB=∠ADC（已证）\\AB=AC（已知）\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（AAS）
【答案】
AAS
【知识点】
1. 三角形全等的AAS判定
2. 三角形高的性质
3. 直角的定义
【点评】
本题属于三角形全等判定的基础应用题，解题核心是准确梳理两个三角形的对应相等元素，注意区分AAS和ASA的适用条件：AAS是两角及其中一角的对边相等，ASA是两角及其夹边相等，避免混淆两种判定定理。
【难度系数】
0.8

2. 如图4,∠1=∠2.
(1)当BC=BD时,判定$△ ABC ≌ △ ABD$的依据是;
(2)当∠3=∠4时,判定$△ ABC ≌ △ ABD$的依据是.

2. (1)SAS (2)ASA

【分析】
本题考查三角形全等判定定理的应用，解题时首先要挖掘出图形的隐含条件：△ABC和△ABD有公共边AB，即AB=AB，再结合每小问给出的已知条件，匹配对应的全等判定定理即可。
(1)已知∠1=∠2、BC=BD，结合公共边AB，可判断是两边及其夹角对应相等，对应SAS判定规则；
(2)已知∠1=∠2、∠3=∠4，结合公共边AB，可判断是两角及其夹边对应相等，对应ASA判定规则。
【解析】
(1)在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases} BC=BD(\mathrm{已知}) \\ ∠1=∠2(\mathrm{已知}) \\ AB=AB(\mathrm{公共边}) \end{cases}$
满足两边及其夹角对应相等的全等判定规则，因此判定依据是SAS。
(2)在$△ ABC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases} ∠1=∠2(\mathrm{已知}) \\ AB=AB(\mathrm{公共边}) \\ ∠3=∠4(\mathrm{已知}) \end{cases}$
满足两角及其夹边对应相等的全等判定规则，因此判定依据是ASA。
【答案】
(1)SAS；(2)ASA
【知识点】
1. SAS判定定理；2. ASA判定定理
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，重点考查对全等判定定理的理解和简单应用，解题时要注意先挖掘图形中隐含的公共边、公共角等相等条件，再结合已知条件匹配对应判定规则即可。
【难度系数】
0.9

3. 已知在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中，$AB=A_1B_1$，$∠ A=∠ A_1$，要使$△ ABC ≌ △ A_1B_1C_1$，还需要添加一个条件，这个条件是。

3. (答案不唯一)∠B=∠B₁或∠C=∠C₁或AC=A₁C₁

【分析】
要判定两个三角形全等，已知一组对应边$AB=A_1B_1$，一组对应角$∠ A=∠ A_1$，可结合全等三角形的判定定理推导需补充的条件：①若用“SAS”判定，需补充已知角的另一组夹边相等；②若用“ASA”判定，需补充已知边的另一组邻角相等；③若用“AAS”判定，需补充第三组对应角相等。注意不能补充$BC=B_1C_1$，因为“SSA”无法判定三角形全等。
【解析】
已知在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中，$AB=A_1B_1$，$∠ A=∠ A_1$：
1. 若添加$AC=A_1C_1$：
在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中，$\begin{cases} AB=A_1B_1 \\ ∠ A=∠ A_1 \\ AC=A_1C_1 \end{cases}$，根据SAS判定定理，可得$△ ABC ≌ △ A_1B_1C_1$。
2. 若添加$∠ B=∠ B_1$：
在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中，$\begin{cases} ∠ A=∠ A_1 \\ AB=A_1B_1 \\ ∠ B=∠ B_1 \end{cases}$，根据ASA判定定理，可得$△ ABC ≌ △ A_1B_1C_1$。
3. 若添加$∠ C=∠ C_1$：
在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中，$\begin{cases} ∠ C=∠ C_1 \\ ∠ A=∠ A_1 \\ AB=A_1B_1 \end{cases}$，根据AAS判定定理，可得$△ ABC ≌ △ A_1B_1C_1$。
【答案】
(答案不唯一)$∠B=∠B₁$或$∠C=∠C₁$或$AC=A₁C₁$
【知识点】
全等三角形判定；SAS判定；ASA/AAS判定
【点评】
本题属于开放性试题，核心考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时需结合已给的边角条件匹配对应判定规则，注意规避无法判定全等的“SSA”类错误条件，符合判定要求即可。
【难度系数】
0.8

4. 如图5,甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是.

4. 乙、丙

【分析】
解题时先回忆三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），首先提取△ABC的边角信息：边长为a、c的两条边的夹角是50°，另有一个内角为72°。接下来逐个对比甲、乙、丙三个三角形：首先看边角是否对应相等，注意SAS要求角是两条边的夹角，不能是SSA的情况；对于丙可以先借助三角形内角和算出未知角，再看是否符合全等判定条件即可。
【解析】
首先明确△ABC的边角特征：两边长为a、c，两边的夹角为50°，另有一个内角为72°。
1. 对比甲三角形：甲的50°角的邻边不是a和c，即50°角不是a与c的夹角，不满足全等判定条件，故甲与△ABC不全等；
2. 对比乙三角形：乙的两边为a、c，夹角为50°，与△ABC的两边及其夹角完全对应相等，根据SAS（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）判定定理，乙与△ABC全等；
3. 对比丙三角形：先计算△ABC的第三个内角：$180°-50°-72°=58°$，丙三角形已知两个内角为50°和72°，因此第三个内角也为58°，且丙中72°角对应的边长为a，与△ABC中72°角的对边a对应相等，符合AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）判定定理，故丙与△ABC全等。
综上，和△ABC全等的是乙、丙。
【答案】
乙、丙
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形全等判定定理的实际应用，解题核心是找准边角的对应关系，尤其要注意SAS判定中角必须是两条对应边的夹角，避免因误用SSA导致判断错误。
【难度系数】
0.7

5. 如图6,AC与BD交于点O,AB//DC,补充一个条件,可推出△AOB≌△COD.

5. (答案不唯一)AB=CD或OA=OC或OB=OD

【分析】
首先根据已知AB//DC，可利用平行线的性质得到两组内错角相等，再加上对顶角相等，此时△AOB和△COD已经满足三组角对应相等，根据全等三角形的判定定理，只需补充任意一组对应边相等，即可证明两个三角形全等。
【解析】
∵ AB//DC
∴ ∠A = ∠C，∠B = ∠D（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠AOB = ∠COD（对顶角相等）
此时两个三角形已有三组角对应相等，结合全等三角形判定定理，补充一组对应边相等即可：
① 补充AB=CD时，可通过ASA（或AAS）判定△AOB≌△COD；
② 补充OA=OC时，可通过ASA判定△AOB≌△COD；
③ 补充OB=OD时，可通过AAS判定△AOB≌△COD。
【答案】
答案不唯一，如AB=CD或OA=OC或OB=OD
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题为开放性条件补充题，需先梳理已知条件推导得到的相等量，再结合全等三角形的判定规则补充缺失的条件，解题时需注意对应边要匹配，避免出现边不对应导致的错误。
【难度系数】
0.8

三、解答题
1. 如图7,点B,E,C,F在同一直线上,AB//DE,AC//DF,BE=CF.
求证:AB=DE.

1. 提示:证△ABC≌△DEF(ASA).

【分析】
要证明AB=DE，可通过证明AB、DE所在的△ABC和△DEF全等推导。首先从已知的平行条件入手，利用平行线的性质得到两组对应角相等；再根据BE=CF，通过线段和的关系推得两个三角形的一组对应边相等，即可凑齐ASA的全等判定条件，证明三角形全等后，利用全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
$\because BE=CF$
$\therefore BE+EC=CF+EC$，即$BC=EF$
$\because AB// DE$
$\therefore ∠ B=∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）
$\because AC// DF$
$\therefore ∠ ACB=∠ F$（两直线平行，同位角相等）
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}∠ B=∠ DEF \\BC=EF \\∠ ACB=∠ F\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{ASA})$
$\therefore AB=DE$（全等三角形的对应边相等）
【答案】
$AB=DE$，得证
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 全等三角形ASA判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，解题关键是结合已知的平行条件、线段相等条件推导得到三角形全等的判定要素，能有效巩固对ASA判定定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8