一、选择题
1. 下列式子:①$\frac{2}{x}$,②$\frac{x+y}{5}$,③$\frac{1}{2-a}$,④$\frac{x}{π -1}$,是分式的有()

A.①②
B.③④
C.①③
D.①②③④

1. C

【分析】
要解答这道题，首先要明确分式的判定核心标准：判断一个式子是否为分式，关键看分母中是否含有字母，注意π是固定的常数，不属于字母。接下来我们逐个分析4个式子的分母构成，即可筛选出符合要求的分式。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式，我们逐一判断：
①$\frac{2}{x}$：分母为$x$，含有字母，属于分式；
②$\frac{x+y}{5}$：分母为5，是常数，属于整式，不是分式；
③$\frac{1}{2-a}$：分母为$2-a$，含有字母$a$，属于分式；
④$\frac{x}{π -1}$：分母中$π$是圆周率，属于固定常数，因此$π-1$是常数，该式属于整式，不是分式。
综上，属于分式的是①③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含字母”的判定要点，注意区分常数和字母，尤其不要误把π当成字母判断。
【难度系数】
0.8

2. 使分式$\frac{x}{x-1}$无意义，$x$的取值是()

A.0
B.1
C.-1
D.$\pm1$

2. B

【分析】
要确定使分式无意义的x的取值，首先需明确分式无意义的判定规则：当分式的分母等于0时，分式无意义。因此解题时先找到该分式的分母，令分母的表达式等于0，解出x的值即为所求结果。
【解析】
解：根据分式无意义的条件：分母为0时分式无意义。
分式$\frac{x}{x-1}$的分母为$x-1$，令$x-1=0$，
解得$x=1$。
即当$x=1$时，该分式无意义，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式无意义的条件；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式无意义的判定规则，解题时只需抓住“分母为0时分式无意义”这一核心要点列式计算即可，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.9

3. 下列各式中,无论x取何值,分式都有意义的是()

A.$\frac{1}{2x+1}$
B.$\frac{x}{2x+1}$
C.$\frac{3x+1}{x^2}$
D.$\frac{1}{2x^2+1}$

3. D

【分析】
要判断无论x取何值分式都有意义的选项，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此我们只需要逐个分析每个选项的分母，是否存在实数x使得分母等于0，若不存在这样的x，该选项即为正确答案。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，我们逐个分析选项：
A. 分母为$2x+1$，当$2x+1=0$即$x=-\frac{1}{2}$时，分母为0，分式无意义，不符合要求；
B. 分母为$2x+1$，同选项A，当$x=-\frac{1}{2}$时分母为0，分式无意义，不符合要求；
C. 分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分母为0，分式无意义，不符合要求；
D. 分母为$2x^2+1$，由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$2x^2+1≥1＞0$，无论x取何值分母都不为0，分式始终有意义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 平方的非负性
【点评】
本题是分式意义相关的基础常考题，解题的关键是掌握分式分母不为0的要求，结合平方的非负性即可快速判断，解题时注意不要漏了x=0这类特殊值的验证。
【难度系数】
0.8

4. 式子$\frac{a^2 + 2}{π}$是()

A.二次三项式
B.多项式
C.单项式
D.分式

4. B

【分析】
要判断该式子的类型，需先明确各类代数式的定义，再结合式子特征逐一排查选项：首先明确π是常数不是字母，先判断是否为分式；再根据单项式、多项式、二次三项式的定义依次判断，最终确定正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 排除D选项：分式的定义是分母中含有字母的代数式，本题分母为π，π是固定常数，不属于字母，因此该式不是分式。
2. 排除C选项：单项式是数与字母的乘积组成的代数式（单独的数或字母也是单项式），原式可变形为$\frac{1}{π}a^2 + \frac{2}{π}$，是两个单项式的和，因此不是单项式。
3. 排除A选项：二次三项式要求最高次数为2次，且一共有3个项，原式只有$\frac{1}{π}a^2$和$\frac{2}{π}$两个项，属于二次二项式，不是二次三项式。
4. 确定B选项：多项式的定义是几个单项式的和，原式符合多项式的特征，因此是多项式。
【答案】
B
【知识点】
代数式分类，多项式定义，分式定义
【点评】
本题考查代数式的分类判断，易错点是容易误将π当作字母，错判为分式，同时要注意准确计算多项式的项数，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.7

5. 分式$\frac{x+m}{2x+3}$中，当$x=-m$时，下列说法正确的是()

A.分式值为0
B.分式无意义
C.当$m≠\frac{3}{2}$时分式的值为0
D.分式的值不能确定

5. C

【分析】
要判断x=-m时分式的情况，首先需明确分式相关的核心规则：分式值为0需要同时满足两个条件，一是分子的值为0，二是分母的值不为0（分母为0时分式无意义）。解题时先代入x=-m计算分子的值，再验证分母是否可能为0，排除无意义的情况后即可得出正确结论。
【解析】
分式值为0的判定条件：①分子等于0；②分母不等于0，二者需同时满足。
1. 计算分子的值：将x=-m代入分子，得$x+m=-m+m=0$，满足分子为0的条件。
2. 验证分母：将x=-m代入分母$2x+3$，得$2×(-m)+3=3-2m$。
若分式有意义，则分母不能为0，即$3-2m≠0$，解得$m≠\frac{3}{2}$。
因此，当$m≠\frac{3}{2}$时，分子为0且分母不为0，分式的值为0。
逐一判断选项：
A选项未考虑分母可能为0的情况，错误；
B选项只有当$m=\frac{3}{2}$时分式才无意义，并非所有情况都无意义，错误；
C选项符合推导结论，正确；
D选项结论错误。
【答案】
C
【知识点】
分式值为0的条件；分式有意义的判定
【点评】
本题是分式概念的基础易错题，解题的关键是牢记分式值为0的两个必要条件，避免只验证分子为0、忽略分母不为0的前提导致出错。
【难度系数】
0.7

二、填空题
1. 小明每天早晨以平均每分钟$ x $米的速度步行上学.某日小明从家出发去学校3分钟后，爸爸发现他忘了带数学书，立即跑步追他，在他到校前离家$ y $米处追上.爸爸用了分钟追上小明.

1. $(\frac{y}{x}-3)$

【分析】
要计算爸爸追上小明的用时，首先要明确追及过程的时间关系：追上时小明走的总路程为y米，结合小明的步行速度可以先求出小明走y米的总时长，再减去小明提前出发的3分钟，就是爸爸的追及用时。
【解析】
已知小明步行速度为每分钟x米，根据“时间=路程÷速度”的基本关系，小明走y米的总时间为$\frac{y}{x}$分钟。
爸爸是在小明出发3分钟后才开始追赶，追上时两人走过的路程均为y米，说明爸爸的追及时间 = 小明走y米的总时间 - 小明提前走的3分钟，因此爸爸追上小明的用时为$(\frac{y}{x} - 3)$分钟。
【答案】
$(\frac{y}{x}-3)$
【知识点】
1. 行程问题基本关系
2. 列代数式
3. 分式的应用
【点评】
本题属于行程中的基础追及问题，解题核心是理清两人运动的时间差，结合路程、速度、时间的基本数量关系即可列出对应代数式，注意不要混淆时间的加减逻辑。
【难度系数】
0.7

2. 当$x=-3$时，分式$\frac{2x + 1}{6x -7}$的值为。

2. $\frac{1}{5}$

【分析】
本题考查分式求值的方法，解题思路如下：首先求分式值时要先验证代入自变量后分母不为0，确保分式有意义，再将给定的x的值分别代入分式的分子和分母，计算出分子、分母的结果，最后约分化简得到最终值即可。
【解析】
解：当$x=-3$时，
先计算分母：$6x - 7 = 6×(-3) -7 = -18 -7 = -25 ≠ 0$，分式有意义；
再计算分子：$2x + 1 = 2×(-3) +1 = -6 +1 = -5$；
因此分式的值为$\frac{2x+1}{6x-7}=\frac{-5}{-25}=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 分式求值 2. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握分式求值的基本步骤，计算时要注意正负号的运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.9

3. 当$a=$时，分式$\frac{a-3}{a^2+1}$的值是0.

3. 3

【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个要求：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（若分母为0，分式无意义）。我们可以先根据分子为0列方程求出a的可能取值，再代入分母验证是否满足分母不为0的条件，最终确定符合要求的a的值。
【解析】
要使分式$\frac{a-3}{a^2+1}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子的值为0：即$a-3=0$，解得$a=3$；
2. 分母的值不为0：即$a^2+1≠0$。
因为任意实数的平方都是非负数，所以$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1$，无论a取什么实数，分母$a^2+1$都不会等于0。
综上，当$a=3$时，该分式的值是0。
【答案】
3
【知识点】
分式值为零的条件、偶次幂的非负性
【点评】
本题是分式的基础考查题，解题的核心是牢记分式值为0需要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，不要忽略分母不为0的要求直接仅求解分子为0的方程。
【难度系数】
0.9

4*. 若分式$\frac{1}{x^2 - 2x + m}$不论x取任何实数总有意义，则m的取值范围是。

4. $m＞1$

【分析】
要解决这个问题，首先明确分式总有意义的核心条件：分母无论x取何实数都不能为0。接下来我们对分母的二次三项式用配方法转化为“完全平方+常数”的形式，再结合平方的非负性分析，只要保证变形后的式子恒大于0，就能满足分母永远不为0的要求，进而求出m的取值范围。
【解析】
解：分式$\frac{1}{x^2 - 2x + m}$不论x取何实数总有意义，即分母$x^2 - 2x + m ≠ 0$对任意实数x都成立。
对分母进行配方：
$x^2 - 2x + m = (x^2 - 2x + 1) + (m - 1) = (x-1)^2 + (m-1)$
根据平方的非负性可知，$(x-1)^2 ≥ 0$恒成立：
若$m-1 ＞ 0$，即$m ＞ 1$时，$(x-1)^2 + (m-1) ≥ m-1 ＞ 0$，此时分母恒大于0，满足要求；
若$m ≤ 1$时，存在x使得$(x-1)^2 = 1 - m$，此时分母为0，分式无意义，不符合题意。
因此m的取值范围是$m ＞ 1$。
【答案】
$m＞1$
【知识点】
分式有意义的条件；配方法的应用；平方的非负性
【点评】
本题是分式章节的典型常考题，将分式有意义的条件和非负数的性质结合，需要掌握二次三项式的配方转化方法，理解“恒成立”类问题的分析思路。
【难度系数】
0.65

三、解答题
1. 当$x$取什么值时，下列分式有意义？
(1) $\dfrac{2x - 1}{x^2}$
(2) $\dfrac{2x + 1}{6x - 7}$
(3) $\dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x - 1}$

1. (1)$x≠0$ (2)$x≠\frac{7}{6}$ (3)$x≠±1$

【分析】
要判断分式有意义，核心依据是分式的分母不能为0。解题时先找出每个式子中的所有分母，令各分母不等于0，解对应的不等式就能得到x的取值范围。如果是多个分式组成的式子，需要保证所有分式的分母都不为0，避免漏解。
【解析】
(1) 对于分式$\dfrac{2x - 1}{x^2}$，分母为$x^2$，要使分式有意义，则分母不为0：
$x^2≠0$，解得$x≠0$。
(2) 对于分式$\dfrac{2x + 1}{6x - 7}$，分母为$6x-7$，要使分式有意义，则分母不为0：
$6x-7≠0$，移项得$6x≠7$，解得$x≠\dfrac{7}{6}$。
(3) 式子$\dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x - 1}$由两个分式组成，两个分母分别为$x+1$和$x-1$，要使整个式子有意义，两个分母都不能为0：
$\begin{cases}x+1≠0 \\ x-1≠0\end{cases}$，分别解得$x≠-1$且$x≠1$，即$x≠\pm1$。
【答案】
1. (1)$x≠0$ (2)$x≠\frac{7}{6}$ (3)$x≠±1$
【知识点】
分式有意义的条件、一元一次不等式求解、多分式有意义判定
【点评】
本题是分式相关的基础题型，重点考察对分式有意义条件的掌握，解题时需注意单个分式只需保证自身分母不为0，多个分式组合的式子要逐一排查所有分母，避免漏看部分分母导致出错。
【难度系数】
0.8