登录
2. 如果分式$\frac{|y|-3}{y^2 + 2y - 3}$的值为0,求y的值.
答案
2. $y=3$
解析
【分析】
分式的值为0需要同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先通过分子为0求出y的所有可能取值，再将这些取值代入分母验证，排除掉会使分母为0的y值，最终就能得到正确结果。
【解析】
解：分式的值为0需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，据此分步计算：
1. 求解分子为0时y的取值：
由$|y|-3=0$，可得$|y|=3$，解得$y=3$或$y=-3$。
2. 求解分母不为0时y的限制范围：
先对分母因式分解：$y^2+2y-3=(y+3)(y-1)$
要使分母不为0，即$(y+3)(y-1)≠0$，可得$y≠-3$且$y≠1$。
3. 综合两个条件筛选：
上述分子解出的$y=3$、$y=-3$中，$y=-3$会使分母为0，需排除，因此仅$y=3$符合要求。
【答案】
$y=3$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 绝对值方程求解
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题型，易错点是容易仅考虑分子为0的条件，忽略分母不为0的限制，导致错解为$y=\pm3$，解题时要养成验证分母的习惯，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
分式的值为0需要同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义），两个条件缺一不可。解题时先通过分子为0求出y的所有可能取值，再将这些取值代入分母验证，排除掉会使分母为0的y值，最终就能得到正确结果。
【解析】
解：分式的值为0需同时满足分子为0、分母不为0两个条件，据此分步计算：
1. 求解分子为0时y的取值：
由$|y|-3=0$，可得$|y|=3$，解得$y=3$或$y=-3$。
2. 求解分母不为0时y的限制范围：
先对分母因式分解：$y^2+2y-3=(y+3)(y-1)$
要使分母不为0，即$(y+3)(y-1)≠0$，可得$y≠-3$且$y≠1$。
3. 综合两个条件筛选：
上述分子解出的$y=3$、$y=-3$中，$y=-3$会使分母为0，需排除，因此仅$y=3$符合要求。
【答案】
$y=3$
【知识点】
1. 分式值为0的条件
2. 绝对值方程求解
3. 分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题型，易错点是容易仅考虑分子为0的条件，忽略分母不为0的限制，导致错解为$y=\pm3$，解题时要养成验证分母的习惯，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
3. 若分式$\dfrac{6 - 7x}{2x^2 + 15}$的值是负数，求$x$的取值范围.
答案
3. $x＞\frac{6}{7}$
解析
【分析】
要确定分式值为负数时x的取值范围，需依据分式正负性的判断规则：分式的分子与分母异号时，分式的值为负。首先观察分母的结构，结合平方的非负性可知2x²≥0，因此分母2x²+15恒大于0，无需分类讨论，只需让分子小于0，解对应的一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 对任意实数x，都有$x^2 ≥ 0$，
∴ $2x^2 ≥ 0$，
∴ $2x^2 + 15 ≥ 15 ＞ 0$，即分母恒为正数。
∵ 分式$\dfrac{6 - 7x}{2x^2 + 15}$的值为负数，
∴ 分子与分母异号，可得分子$6 - 7x ＜ 0$，
移项得：$-7x ＜ -6$，
不等式两边同时除以-7，不等号方向改变，得：$x ＞ \dfrac{6}{7}$。
【答案】
$x＞\frac{6}{7}$
【知识点】
分式值的符号判定、平方的非负性、解一元一次不等式
【点评】
本题解题的关键是先利用平方的非负性判断出分母恒为正，简化了问题，无需分情况讨论，解不等式时注意除以负数要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
要确定分式值为负数时x的取值范围，需依据分式正负性的判断规则：分式的分子与分母异号时，分式的值为负。首先观察分母的结构，结合平方的非负性可知2x²≥0，因此分母2x²+15恒大于0，无需分类讨论，只需让分子小于0，解对应的一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 对任意实数x，都有$x^2 ≥ 0$，
∴ $2x^2 ≥ 0$，
∴ $2x^2 + 15 ≥ 15 ＞ 0$，即分母恒为正数。
∵ 分式$\dfrac{6 - 7x}{2x^2 + 15}$的值为负数，
∴ 分子与分母异号，可得分子$6 - 7x ＜ 0$，
移项得：$-7x ＜ -6$，
不等式两边同时除以-7，不等号方向改变，得：$x ＞ \dfrac{6}{7}$。
【答案】
$x＞\frac{6}{7}$
【知识点】
分式值的符号判定、平方的非负性、解一元一次不等式
【点评】
本题解题的关键是先利用平方的非负性判断出分母恒为正，简化了问题，无需分情况讨论，解不等式时注意除以负数要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
4*. 海南正以其独特的自然风光、极具特色的民俗文化和蓬勃的自贸港活力，吸引着全世界的目光. 请构造一个具有海南当地人文特色的问题情景，使情景中的数量关系可以用分式$\frac{520}{h}$表示.
答案
4. 在海南黎族苗族传统节日“三月三”庆祝活动中,当地准备了520个用特色山兰米和芭蕉叶包裹的“三色粽”,要平均分给h个参加活动的村寨. 请问每个村寨可以分到多少个三色粽? 这个问题情景中,每个村寨分到的粽子数量可以用分式$\frac{520}{h}$来表示.（其他答案言之成理即可）
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步先明确分式$\frac{520}{h}$对应的数量关系，它可以表示“将总量为520的事物平均分成h份，每份的数量”，符合“总量÷份数=单量”的基本数量关系；第二步结合海南当地特色人文元素，比如黎族苗族“三月三”节日、三色粽、自贸港货运等，将520设为符合情景的总量，h设为对应份数，即可构造出合理的问题情景。
【解析】
1. 先梳理分式的数量逻辑：$\frac{520}{h}$中，520是总数量，h是平均分的份数，最终的分式表示每份的数量。
2. 选取海南本土特色素材：我们可以选用海南黎族苗族传统节日“三月三”、特色美食三色粽作为情景载体。
3. 构造对应情景：将520设定为三色粽的总数量，h设定为参与分配的村寨数量，提问每个村寨分到的粽子数，即可得到符合要求的问题。
【答案】
在海南黎族苗族传统节日“三月三”庆祝活动中,当地准备了520个用特色山兰米和芭蕉叶包裹的“三色粽”,要平均分给h个参加活动的村寨. 请问每个村寨可以分到多少个三色粽? 这个问题情景中,每个村寨分到的粽子数量可以用分式$\frac{520}{h}$来表示.（其他答案言之成理即可）
【知识点】
分式的实际意义；实际问题列分式
【点评】
本题是开放性试题，既考查了对分式基本含义的理解，又结合了地方人文特色，引导学生发现生活中的数学应用，只要构造的情景符合海南当地特色，且数量关系对应$\frac{520}{h}$均正确。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步思考：第一步先明确分式$\frac{520}{h}$对应的数量关系，它可以表示“将总量为520的事物平均分成h份，每份的数量”，符合“总量÷份数=单量”的基本数量关系；第二步结合海南当地特色人文元素，比如黎族苗族“三月三”节日、三色粽、自贸港货运等，将520设为符合情景的总量，h设为对应份数，即可构造出合理的问题情景。
【解析】
1. 先梳理分式的数量逻辑：$\frac{520}{h}$中，520是总数量，h是平均分的份数，最终的分式表示每份的数量。
2. 选取海南本土特色素材：我们可以选用海南黎族苗族传统节日“三月三”、特色美食三色粽作为情景载体。
3. 构造对应情景：将520设定为三色粽的总数量，h设定为参与分配的村寨数量，提问每个村寨分到的粽子数，即可得到符合要求的问题。
【答案】
在海南黎族苗族传统节日“三月三”庆祝活动中,当地准备了520个用特色山兰米和芭蕉叶包裹的“三色粽”,要平均分给h个参加活动的村寨. 请问每个村寨可以分到多少个三色粽? 这个问题情景中,每个村寨分到的粽子数量可以用分式$\frac{520}{h}$来表示.（其他答案言之成理即可）
【知识点】
分式的实际意义；实际问题列分式
【点评】
本题是开放性试题，既考查了对分式基本含义的理解，又结合了地方人文特色，引导学生发现生活中的数学应用，只要构造的情景符合海南当地特色，且数量关系对应$\frac{520}{h}$均正确。
【难度系数】
0.8
一、选择题
1. 下列各式一定成立的是(
A.$\dfrac{-a - 2b}{a + b}=-\dfrac{a - 2b}{a + b}$
B.$\dfrac{2b - 1}{2a - 1}=\dfrac{b - 1}{a - 1}$
C.$\dfrac{0.5a - b}{a - 0.5b}=\dfrac{5a - b}{a - 5b}$
D.$\dfrac{a - 0.5b}{0.5a - b}=\dfrac{2a - b}{a - 2b}$
1. 下列各式一定成立的是(
D
)A.$\dfrac{-a - 2b}{a + b}=-\dfrac{a - 2b}{a + b}$
B.$\dfrac{2b - 1}{2a - 1}=\dfrac{b - 1}{a - 1}$
C.$\dfrac{0.5a - b}{a - 0.5b}=\dfrac{5a - b}{a - 5b}$
D.$\dfrac{a - 0.5b}{0.5a - b}=\dfrac{2a - b}{a - 2b}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。接下来依次对每个选项进行验证：涉及符号变形时，注意给分子/分母的每一项都变号；涉及小数系数化整时，注意分子分母的每一项都要乘相同的非零数，不能漏乘任意一项，最终判断哪个选项符合分式基本性质即可。
【解析】
我们根据分式的基本性质逐一分析选项：
选项A：对分子提取负号可得$\dfrac{-a-2b}{a+b}=\dfrac{-(a+2b)}{a+b}=-\dfrac{a+2b}{a+b}$，和右边的$-\dfrac{a-2b}{a+b}$不相等，故A错误；
选项B：若将分子分母同除以2，可得$\dfrac{2b-1}{2a-1}=\dfrac{b-\dfrac{1}{2}}{a-\dfrac{1}{2}}$，和右边的$\dfrac{b-1}{a-1}$不相等，分子分母的常数项漏除以2，故B错误；
选项C：若将分子分母同乘10化去小数，可得$\dfrac{0.5a-b}{a-0.5b}=\dfrac{(0.5a-b)×10}{(a-0.5b)×10}=\dfrac{5a-10b}{10a-5b}$，和右边的$\dfrac{5a-b}{a-5b}$不相等，分子分母的一次项b漏乘10，故C错误；
选项D：将分子分母同乘2化去小数，可得$\dfrac{a-0.5b}{0.5a-b}=\dfrac{(a-0.5b)×2}{(0.5a-b)×2}=\dfrac{2a-b}{a-2b}$，和右边相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式系数化整
3.分式符号化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，易错点是在对分子分母做同乘除变形时漏乘某一项，或者提取负号时只给部分项变号，解题时需逐项核对每一项的变形是否正确，避免粗心失误。
【难度系数】
0.75
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：首先回忆分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。接下来依次对每个选项进行验证：涉及符号变形时，注意给分子/分母的每一项都变号；涉及小数系数化整时，注意分子分母的每一项都要乘相同的非零数，不能漏乘任意一项，最终判断哪个选项符合分式基本性质即可。
【解析】
我们根据分式的基本性质逐一分析选项：
选项A：对分子提取负号可得$\dfrac{-a-2b}{a+b}=\dfrac{-(a+2b)}{a+b}=-\dfrac{a+2b}{a+b}$，和右边的$-\dfrac{a-2b}{a+b}$不相等，故A错误；
选项B：若将分子分母同除以2，可得$\dfrac{2b-1}{2a-1}=\dfrac{b-\dfrac{1}{2}}{a-\dfrac{1}{2}}$，和右边的$\dfrac{b-1}{a-1}$不相等，分子分母的常数项漏除以2，故B错误；
选项C：若将分子分母同乘10化去小数，可得$\dfrac{0.5a-b}{a-0.5b}=\dfrac{(0.5a-b)×10}{(a-0.5b)×10}=\dfrac{5a-10b}{10a-5b}$，和右边的$\dfrac{5a-b}{a-5b}$不相等，分子分母的一次项b漏乘10，故C错误；
选项D：将分子分母同乘2化去小数，可得$\dfrac{a-0.5b}{0.5a-b}=\dfrac{(a-0.5b)×2}{(0.5a-b)×2}=\dfrac{2a-b}{a-2b}$，和右边相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式系数化整
3.分式符号化简
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，易错点是在对分子分母做同乘除变形时漏乘某一项，或者提取负号时只给部分项变号，解题时需逐项核对每一项的变形是否正确，避免粗心失误。
【难度系数】
0.75
2. 下列各式中,从左到右变形正确的是(
A.$\dfrac{a+x}{b+x}=\dfrac{a+1}{b+1}$
B.$\dfrac{y}{x}=\dfrac{y^2}{x^2}$
C.$\dfrac{n}{m}=\dfrac{na}{ma}$
D.$\dfrac{xy}{xy+y}=\dfrac{x}{x+1}$
D
)A.$\dfrac{a+x}{b+x}=\dfrac{a+1}{b+1}$
B.$\dfrac{y}{x}=\dfrac{y^2}{x^2}$
C.$\dfrac{n}{m}=\dfrac{na}{ma}$
D.$\dfrac{xy}{xy+y}=\dfrac{x}{x+1}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：首先明确分式基本性质的核心要求：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，需注意变形时要满足“乘/除的对象相同、对象不为0、是整式”三个条件，逐一排查每个选项的变形是否符合要求即可。
【解析】
我们根据分式的基本性质逐个分析选项：
A选项：$\dfrac{a+x}{b+x}$中$x$不是分子、分母的公因式，不能直接约去，变形不符合分式基本性质，故A错误；
B选项：变形时分子乘$y$、分母乘$x$，乘的不是同一个整式，不符合分式基本性质，例如$x=1,y=2$时，左边为$\dfrac{2}{1}=2$，右边为$\dfrac{4}{1}=4$，二者不相等，故B错误；
C选项：变形时分子分母同时乘$a$，但未说明$a≠0$，若$a=0$，则分母$ma=0$，分式无意义，变形不成立，故C错误；
D选项：先对左边分式的分母提取公因式$y$，可得$\dfrac{xy}{xy+y}=\dfrac{xy}{y(x+1)}$，原分式有意义则隐含$y≠0$、$x+1≠0$的条件，分子分母同时除以不为0的$y$，可得$\dfrac{x}{x+1}$，变形符合分式基本性质，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、提公因式法因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的基础考查题，易错点是忽略乘除的整式不能为0的前提，或误将分子分母的单独项直接约分，解题时需严格紧扣分式基本性质的要求判断变形是否成立。
【难度系数】
0.7
本题考查分式基本性质的应用，解题思路为：首先明确分式基本性质的核心要求：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，需注意变形时要满足“乘/除的对象相同、对象不为0、是整式”三个条件，逐一排查每个选项的变形是否符合要求即可。
【解析】
我们根据分式的基本性质逐个分析选项：
A选项：$\dfrac{a+x}{b+x}$中$x$不是分子、分母的公因式，不能直接约去，变形不符合分式基本性质，故A错误；
B选项：变形时分子乘$y$、分母乘$x$，乘的不是同一个整式，不符合分式基本性质，例如$x=1,y=2$时，左边为$\dfrac{2}{1}=2$，右边为$\dfrac{4}{1}=4$，二者不相等，故B错误；
C选项：变形时分子分母同时乘$a$，但未说明$a≠0$，若$a=0$，则分母$ma=0$，分式无意义，变形不成立，故C错误；
D选项：先对左边分式的分母提取公因式$y$，可得$\dfrac{xy}{xy+y}=\dfrac{xy}{y(x+1)}$，原分式有意义则隐含$y≠0$、$x+1≠0$的条件，分子分母同时除以不为0的$y$，可得$\dfrac{x}{x+1}$，变形符合分式基本性质，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、提公因式法因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式性质的基础考查题，易错点是忽略乘除的整式不能为0的前提，或误将分子分母的单独项直接约分，解题时需严格紧扣分式基本性质的要求判断变形是否成立。
【难度系数】
0.7
3. 将$\frac{3a}{a-b}$中的$a,b$都扩大3倍,则分式的值(
A.不变
B.扩大3倍
C.扩大9倍
D.扩大6倍
A
)A.不变
B.扩大3倍
C.扩大9倍
D.扩大6倍
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先要明确“a,b都扩大3倍”的含义，就是将原式中的a替换为3a，b替换为3b，再把替换后的表达式代入原分式，利用分式的基本性质化简，最后将化简结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的a换成3a，b换成3b，代入可得新的分式：
$\frac{3× 3a}{3a - 3b}$
对分母提取公因式3，得：
$\frac{9a}{3(a - b)}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的数3，约分后得：
$\frac{3a}{a - b}$
所得结果和原分式完全相同，因此分式的值不变。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，核心是理解“变量扩大n倍”的替换规则，熟练运用分式的基本性质进行约分计算，要注意分子和分母的所有项都要同步变化，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确“a,b都扩大3倍”的含义，就是将原式中的a替换为3a，b替换为3b，再把替换后的表达式代入原分式，利用分式的基本性质化简，最后将化简结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的a换成3a，b换成3b，代入可得新的分式：
$\frac{3× 3a}{3a - 3b}$
对分母提取公因式3，得：
$\frac{9a}{3(a - b)}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的数3，约分后得：
$\frac{3a}{a - b}$
所得结果和原分式完全相同，因此分式的值不变。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题是分式性质的基础应用题，核心是理解“变量扩大n倍”的替换规则，熟练运用分式的基本性质进行约分计算，要注意分子和分母的所有项都要同步变化，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.9
