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3. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且$a ＞ b$.
(1)观察图形，把多项式$2a^2 + 5ab + 2b^2$进行因式分解；
(2)若这张大长方形纸板的周长为78 cm，图中空白部分的面积为120 cm²，求图中阴影部分的面积.
(1)观察图形，把多项式$2a^2 + 5ab + 2b^2$进行因式分解；
(2)若这张大长方形纸板的周长为78 cm，图中空白部分的面积为120 cm²，求图中阴影部分的面积.
答案
(1)
∵由题意得,大正方形的面积为$a^2 cm^2$,小正方形的面积为$b^2 cm^2$,小长方形的面积为$ab cm^2$,
∴$2a^2+5ab+2b^2$为大长方形的面积.
∵大长方形的长为$(2a+b) cm$,宽为$(2b+a) cm$,
∴大长方形的面积为$(2a+b)(2b+a) cm^2$,
∴$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(2b+a)$.
(2)
∵这张大长方形纸板的周长为78 cm,空白部分的面积为$120 cm^2$,
∴$5ab=120,2(2a+b+2b+a)=78$,
∴$ab=24,a+b=13$,
∴阴影部分的面积为:$2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)=2[(a+b)^2-2ab]=2×(13^2-2×24)=2×(169-48)=242(cm^2)$.
∵由题意得,大正方形的面积为$a^2 cm^2$,小正方形的面积为$b^2 cm^2$,小长方形的面积为$ab cm^2$,
∴$2a^2+5ab+2b^2$为大长方形的面积.
∵大长方形的长为$(2a+b) cm$,宽为$(2b+a) cm$,
∴大长方形的面积为$(2a+b)(2b+a) cm^2$,
∴$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(2b+a)$.
(2)
∵这张大长方形纸板的周长为78 cm,空白部分的面积为$120 cm^2$,
∴$5ab=120,2(2a+b+2b+a)=78$,
∴$ab=24,a+b=13$,
∴阴影部分的面积为:$2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)=2[(a+b)^2-2ab]=2×(13^2-2×24)=2×(169-48)=242(cm^2)$.
解析
【分析】
(1) 本题采用面积法完成因式分解：首先明确多项式$2a^2+5ab+2b^2$对应的是9块裁剪图形的总面积和，也就是大长方形的总面积；接下来从图形中确定大长方形的长和宽，用“长×宽”表示出大长方形的面积，即可得到该多项式因式分解的结果。(2) 第二问先从题干找等量关系：①根据大长方形的周长，代入长和宽的表达式化简可得到a+b的值；②根据空白部分是5个小长方形，由空白面积可求出ab的值；最后阴影部分为2个大正方形和2个小正方形的面积和，即$2a^2+2b^2$，利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入a+b和ab的值即可求出结果。【解析】(1) 由题意得：边长为a的大正方形面积为$a^2\ \mathrm{cm}^2$，边长为b的小正方形面积为$b^2\ \mathrm{cm}^2$，小长方形面积为$ab\ \mathrm{cm}^2$，因此$2a^2+5ab+2b^2$是大长方形的总面积。观察图形可知大长方形的长为$(2a+b)\ \mathrm{cm}$，宽为$(a+2b)\ \mathrm{cm}$，因此大长方形面积也可表示为$(2a+b)(a+2b)\ \mathrm{cm}^2$。所以$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$。(2) 根据题意列等式：①大长方形周长：2[(2a+b)+(a+2b)]=78，化简得6(a+b)=78，解得a+b=13；②空白部分为5个小长方形，因此5ab=120，解得ab=24。阴影部分面积为$2a^2+2b^2$，对其变形：$2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)=2[(a+b)^2-2ab]$将a+b=13，ab=24代入得：原式$=2×(13^2 - 2×24)=2×(169 - 48)=2×121=242(\mathrm{cm}^2)【$答案$】(1) 2a^2 + 5ab + 2b^2=(2a+b)(a+2b)(2) \boxed{242\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，长方形的周长与面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，既考查了因式分解的几何意义，也考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是准确从图形中提取边长、面积对应的代数式，熟练掌握公式变形即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 本题采用面积法完成因式分解：首先明确多项式$2a^2+5ab+2b^2$对应的是9块裁剪图形的总面积和，也就是大长方形的总面积；接下来从图形中确定大长方形的长和宽，用“长×宽”表示出大长方形的面积，即可得到该多项式因式分解的结果。(2) 第二问先从题干找等量关系：①根据大长方形的周长，代入长和宽的表达式化简可得到a+b的值；②根据空白部分是5个小长方形，由空白面积可求出ab的值；最后阴影部分为2个大正方形和2个小正方形的面积和，即$2a^2+2b^2$，利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入a+b和ab的值即可求出结果。【解析】(1) 由题意得：边长为a的大正方形面积为$a^2\ \mathrm{cm}^2$，边长为b的小正方形面积为$b^2\ \mathrm{cm}^2$，小长方形面积为$ab\ \mathrm{cm}^2$，因此$2a^2+5ab+2b^2$是大长方形的总面积。观察图形可知大长方形的长为$(2a+b)\ \mathrm{cm}$，宽为$(a+2b)\ \mathrm{cm}$，因此大长方形面积也可表示为$(2a+b)(a+2b)\ \mathrm{cm}^2$。所以$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$。(2) 根据题意列等式：①大长方形周长：2[(2a+b)+(a+2b)]=78，化简得6(a+b)=78，解得a+b=13；②空白部分为5个小长方形，因此5ab=120，解得ab=24。阴影部分面积为$2a^2+2b^2$，对其变形：$2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)=2[(a+b)^2-2ab]$将a+b=13，ab=24代入得：原式$=2×(13^2 - 2×24)=2×(169 - 48)=2×121=242(\mathrm{cm}^2)【$答案$】(1) 2a^2 + 5ab + 2b^2=(2a+b)(a+2b)(2) \boxed{242\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
因式分解，完全平方公式，长方形的周长与面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，既考查了因式分解的几何意义，也考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是准确从图形中提取边长、面积对应的代数式，熟练掌握公式变形即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
1. 对于一个各个数位上的数字均不为零的四位自然数 $ A = \overline{abcd} $（其中 $ 1 ≤ a,b,c,d ≤ 9 $，且 $ a,b,c,d $ 为整数），若满足 $ |a^2 - b^2| = \overline{cd} $，则称这个数为“幂差数”。如四位数6713，因为 $ |6^2 - 7^2| = 13 $，所以6713是“幂差数”。若 $ \overline{xy24} $（$ x＞y＞1 $ 且 $ x,y $ 为整数）是“幂差数”，则这个数是
7524
。答案
1. 7524
解析
【分析】首先根据“幂差数”的定义，明确$\overline{xy24}$满足$|x^2-y^2|=24$，结合$x＞y＞1$且$x,y$为1~9的整数，用平方差公式将$x^2-y^2$分解为$(x-y)(x+y)$，去掉绝对值后得到$(x-y)(x+y)=24$。再根据$x,y$是正整数的性质，可知$x+y$和$x-y$是24的正因数，且二者同奇偶，最后结合$y＞1$的限制筛选符合条件的因数对，求解即可得到$x,y$的值。
【解析】
因为$\overline{xy24}$是“幂差数”，根据定义可得：
$|x^2 - y^2| = 24$
由$x＞y$去掉绝对值得：
$x^2 - y^2 = 24$
利用平方差公式分解因式得：
$(x-y)(x+y) = 24$
已知$x＞y＞1$，且$x,y$为1~9的整数，因此$x+y$、$x-y$均为正整数，$x+y＞x-y$，又因为$x+y + (x-y)=2x$为偶数，所以$x+y$和$x-y$同奇同偶。
列出乘积为24的正整数因数对：$(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)$：
1. 因数对$(1,24)$：$x+y=24$不符合$x,y$是一位数的要求，排除；
2. 因数对$(3,8)$：两数奇偶性不同，排除；
3. 因数对$(2,12)$：联立$\begin{cases}x-y=2 \\x+y=12\end{cases}$，解得$x=7,y=5$，满足$y＞1$，符合条件；
4. 因数对$(4,6)$：联立$\begin{cases}x-y=4 \\x+y=6\end{cases}$，解得$x=5,y=1$，不符合$y＞1$的要求，排除。
因此$x=7,y=5$，对应四位数为7524。
【答案】7524
【知识点】平方差公式，新定义运算，二元一次方程组求解
【点评】本题属于新定义类题型，核心是准确理解新定义的运算规则，结合因式分解将等式变形，再根据整数的性质筛选符合条件的解，能很好地考察对新定义的理解能力和因式分解的应用能力。
【难度系数】0.65
【解析】
因为$\overline{xy24}$是“幂差数”，根据定义可得：
$|x^2 - y^2| = 24$
由$x＞y$去掉绝对值得：
$x^2 - y^2 = 24$
利用平方差公式分解因式得：
$(x-y)(x+y) = 24$
已知$x＞y＞1$，且$x,y$为1~9的整数，因此$x+y$、$x-y$均为正整数，$x+y＞x-y$，又因为$x+y + (x-y)=2x$为偶数，所以$x+y$和$x-y$同奇同偶。
列出乘积为24的正整数因数对：$(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)$：
1. 因数对$(1,24)$：$x+y=24$不符合$x,y$是一位数的要求，排除；
2. 因数对$(3,8)$：两数奇偶性不同，排除；
3. 因数对$(2,12)$：联立$\begin{cases}x-y=2 \\x+y=12\end{cases}$，解得$x=7,y=5$，满足$y＞1$，符合条件；
4. 因数对$(4,6)$：联立$\begin{cases}x-y=4 \\x+y=6\end{cases}$，解得$x=5,y=1$，不符合$y＞1$的要求，排除。
因此$x=7,y=5$，对应四位数为7524。
【答案】7524
【知识点】平方差公式，新定义运算，二元一次方程组求解
【点评】本题属于新定义类题型，核心是准确理解新定义的运算规则，结合因式分解将等式变形，再根据整数的性质筛选符合条件的解，能很好地考察对新定义的理解能力和因式分解的应用能力。
【难度系数】0.65
2. 阅读材料：
对于多项式$x^3 -5x^2 +x +10$，我们把$x=2$代入多项式，发现$x=2$能使多项式的值为0，由此可以断定多项式$x^3 -5x^2 +x +10$中有因式$(x-2)$[注：把$x=a$代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式$(x-a)$]，于是我们可以把多项式写成：$x^3 -5x^2 +x +10=(x-2)(x^2 +mx +n)$，分别求出$m,n$后代入，就可以把多项式$x^3 -5x^2 +x +10$因式分解。
解决问题：
(1)求式子中$m,n$的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式$x^3 +5x^2 +8x +4$。
对于多项式$x^3 -5x^2 +x +10$，我们把$x=2$代入多项式，发现$x=2$能使多项式的值为0，由此可以断定多项式$x^3 -5x^2 +x +10$中有因式$(x-2)$[注：把$x=a$代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式$(x-a)$]，于是我们可以把多项式写成：$x^3 -5x^2 +x +10=(x-2)(x^2 +mx +n)$，分别求出$m,n$后代入，就可以把多项式$x^3 -5x^2 +x +10$因式分解。
解决问题：
(1)求式子中$m,n$的值；
(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式$x^3 +5x^2 +8x +4$。
答案
(1)在等式$x^3-5x^2+x+10=(x-2)(x^2+mx+n)$中,分别令x=0,x=1,即可求出:m=-3,n=-5.
(2)把x=-1代入$x^3+5x^2+8x+4$,得其值为0,则多项式可分解为$(x+1)(x^2+ax+b)$的形式,用上述方法可求得:a=4,b=4,$\therefore x^3+5x^2+8x+4=(x+1)(x^2+4x+4)=(x+1)(x+2)^2$.
(2)把x=-1代入$x^3+5x^2+8x+4$,得其值为0,则多项式可分解为$(x+1)(x^2+ax+b)$的形式,用上述方法可求得:a=4,b=4,$\therefore x^3+5x^2+8x+4=(x+1)(x^2+4x+4)=(x+1)(x+2)^2$.
解析
【分析】
(1) 已知等式左右两个多项式恒等，即对任意x的值，左右两边计算结果都相等，我们可以通过展开右边式子后对应项系数相等，或代入特殊x值建立方程，求解得到m、n的值。
(2) 按照试根法的原理，先尝试代入常数项的正负整数因数，找到使多项式值为0的x值，确定对应的一次因式；再将多项式写成该一次因式与二次因式的乘积形式，通过对应系数相等求出二次因式的系数，最后检查二次因式是否可继续分解，直至分解彻底。
【解析】
(1) 方法1：对应系数相等法
将等式右侧展开：
$(x-2)(x^2+mx+n)=x^3+mx^2+nx-2x^2-2mx-2n=x^3+(m-2)x^2+(n-2m)x-2n$
由于等式对任意x成立，左右两边对应项系数相等：
① $x^2$项系数：$m-2=-5$，解得$m=-3$
② $x$项系数：$n-2m=1$，把$m=-3$代入得$n+6=1$，解得$n=-5$
验证常数项：$-2n=10$，与左侧常数项一致，结果正确。
方法2：特殊值代入法
等式对任意x成立：
令$x=0$，左侧$=10$，右侧$=-2n$，得$10=-2n$，解得$n=-5$
令$x=1$，左侧$=1-5+1+10=7$，右侧$=-(1+m+n)=4-m$，得$7=4-m$，解得$m=-3$
(2) ① 试根找一次因式：
多项式$x^3+5x^2+8x+4$的常数项为4，其整数因数为$\pm1、\pm2、\pm4$，代入尝试：
当$x=-1$时，原式$=(-1)^3+5×(-1)^2+8×(-1)+4=-1+5-8+4=0$，因此多项式含因式$(x+1)$。
② 求二次因式系数：
设$x^3+5x^2+8x+4=(x+1)(x^2+ax+b)$，展开右侧得：
$x^3+(a+1)x^2+(a+b)x+b$
对应系数相等得：$a+1=5$，$b=4$，解得$a=4，b=4$。
③ 分解彻底：
二次式$x^2+4x+4$符合完全平方公式，可分解为$(x+2)^2$。
【答案】
(1) $m=-3$，$n=-5$
(2) $x^3+5x^2+8x+4=(x+1)(x+2)^2$
【知识点】
1. 多项式恒等性质
2. 试根法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
解题的关键是理解试根法的原理，即若$x=a$代入多项式值为0，则多项式含因式$(x-a)$，再结合多项式恒等对应系数相等的性质求出未知系数，最后要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
(1) 已知等式左右两个多项式恒等，即对任意x的值，左右两边计算结果都相等，我们可以通过展开右边式子后对应项系数相等，或代入特殊x值建立方程，求解得到m、n的值。
(2) 按照试根法的原理，先尝试代入常数项的正负整数因数，找到使多项式值为0的x值，确定对应的一次因式；再将多项式写成该一次因式与二次因式的乘积形式，通过对应系数相等求出二次因式的系数，最后检查二次因式是否可继续分解，直至分解彻底。
【解析】
(1) 方法1：对应系数相等法
将等式右侧展开：
$(x-2)(x^2+mx+n)=x^3+mx^2+nx-2x^2-2mx-2n=x^3+(m-2)x^2+(n-2m)x-2n$
由于等式对任意x成立，左右两边对应项系数相等：
① $x^2$项系数：$m-2=-5$，解得$m=-3$
② $x$项系数：$n-2m=1$，把$m=-3$代入得$n+6=1$，解得$n=-5$
验证常数项：$-2n=10$，与左侧常数项一致，结果正确。
方法2：特殊值代入法
等式对任意x成立：
令$x=0$，左侧$=10$，右侧$=-2n$，得$10=-2n$，解得$n=-5$
令$x=1$，左侧$=1-5+1+10=7$，右侧$=-(1+m+n)=4-m$，得$7=4-m$，解得$m=-3$
(2) ① 试根找一次因式：
多项式$x^3+5x^2+8x+4$的常数项为4，其整数因数为$\pm1、\pm2、\pm4$，代入尝试：
当$x=-1$时，原式$=(-1)^3+5×(-1)^2+8×(-1)+4=-1+5-8+4=0$，因此多项式含因式$(x+1)$。
② 求二次因式系数：
设$x^3+5x^2+8x+4=(x+1)(x^2+ax+b)$，展开右侧得：
$x^3+(a+1)x^2+(a+b)x+b$
对应系数相等得：$a+1=5$，$b=4$，解得$a=4，b=4$。
③ 分解彻底：
二次式$x^2+4x+4$符合完全平方公式，可分解为$(x+2)^2$。
【答案】
(1) $m=-3$，$n=-5$
(2) $x^3+5x^2+8x+4=(x+1)(x+2)^2$
【知识点】
1. 多项式恒等性质
2. 试根法因式分解
3. 公式法因式分解
【点评】
解题的关键是理解试根法的原理，即若$x=a$代入多项式值为0，则多项式含因式$(x-a)$，再结合多项式恒等对应系数相等的性质求出未知系数，最后要注意因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
