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2. 如图9，AD，BE分别是△ABC的高，AC=5，BC=12，BE=9，求AD的长.
图9
图9答案
2.
∵AD,BE分别是△ABC的高,
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2} BC·AD = \frac{1}{2} AC·BE,∴ BC·AD = AC·BE. ∵AC=5,BC=12,BE=9,∴ 12AD=5×9,∴ AD=\frac{15}{4}.$
∵AD,BE分别是△ABC的高,
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2} BC·AD = \frac{1}{2} AC·BE,∴ BC·AD = AC·BE. ∵AC=5,BC=12,BE=9,∴ 12AD=5×9,∴ AD=\frac{15}{4}.$
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，已知三角形的两条高和两条边的长度，要求另一条高的长度，我们可以利用“同一个三角形的面积是固定值”这一特点思考：三角形的面积可以用任意一组底和对应高的乘积的一半来计算，因此我们可以分别以BC为底、AD为高，和以AC为底、BE为高写出△ABC的两个面积表达式，两个表达式相等，代入已知数值就能求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AD，BE分别是△ABC的高，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2} BC·AD = \frac{1}{2} AC·BE$，
等式两边同时乘2得：$BC·AD = AC·BE$，
将AC=5，BC=12，BE=9代入上式得：
$12AD = 5×9$，
解得：$AD=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
三角形高的定义，三角形面积公式，等积法
【点评】
本题是三角形面积的基础应用题型，核心是利用等积法建立等式求解未知线段，解题关键是抓住同一个三角形面积恒定，通过不同的底和对应高表示面积建立等量关系，这种方法在求解几何线段长度的问题中经常用到，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目条件，已知三角形的两条高和两条边的长度，要求另一条高的长度，我们可以利用“同一个三角形的面积是固定值”这一特点思考：三角形的面积可以用任意一组底和对应高的乘积的一半来计算，因此我们可以分别以BC为底、AD为高，和以AC为底、BE为高写出△ABC的两个面积表达式，两个表达式相等，代入已知数值就能求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AD，BE分别是△ABC的高，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2} BC·AD = \frac{1}{2} AC·BE$，
等式两边同时乘2得：$BC·AD = AC·BE$，
将AC=5，BC=12，BE=9代入上式得：
$12AD = 5×9$，
解得：$AD=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
三角形高的定义，三角形面积公式，等积法
【点评】
本题是三角形面积的基础应用题型，核心是利用等积法建立等式求解未知线段，解题关键是抓住同一个三角形面积恒定，通过不同的底和对应高表示面积建立等量关系，这种方法在求解几何线段长度的问题中经常用到，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
3. 如图10,已知AE,AD分别是△ABC的边BC上的中线和高,AB=12 cm,AC=16 cm,BC=20 cm,∠BAC=90°.
(1)求△ACE和△ABE的周长之差;
(2)求AD的长;
(3)求△ABE的面积.
(1)求△ACE和△ABE的周长之差;
(2)求AD的长;
(3)求△ABE的面积.
答案
3. (1)
∵AE为BC边上的中线,
∴BE=CE,
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=16-12=4(cm),即△ACE和△ABE的周长的差是4 cm. (2)
∵∠BAC=90°,AD是边BC上的高,
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2} AB·AC = \frac{1}{2} BC·AD$,
∴$AD = \frac{AB·AC}{BC} = \frac{12×16}{20} = 9.6(cm)$,即AD=9.6 cm. (3)
∵AE是边BC的中线,BC=20 cm,
∴$BE=EC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×20=10(cm)$. 由(2)可知AD=9.6 cm,
∴$S_{△ABE} = \frac{1}{2} BE·AD = \frac{1}{2}×10×9.6=48(cm^2)$,
∴△ABE的面积是48 $cm^2$.
∵AE为BC边上的中线,
∴BE=CE,
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=16-12=4(cm),即△ACE和△ABE的周长的差是4 cm. (2)
∵∠BAC=90°,AD是边BC上的高,
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2} AB·AC = \frac{1}{2} BC·AD$,
∴$AD = \frac{AB·AC}{BC} = \frac{12×16}{20} = 9.6(cm)$,即AD=9.6 cm. (3)
∵AE是边BC的中线,BC=20 cm,
∴$BE=EC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×20=10(cm)$. 由(2)可知AD=9.6 cm,
∴$S_{△ABE} = \frac{1}{2} BE·AD = \frac{1}{2}×10×9.6=48(cm^2)$,
∴△ABE的面积是48 $cm^2$.
解析
【分析】
(1)求解两个三角形的周长差时，先观察两个三角形的边的关系：AE是两个三角形的公共边，又因为AE是BC边上的中线，可得BE=CE，因此两个三角形的周长差实际就是AC与AB的边长差，可直接代入数值计算，无需计算所有边长。
(2)求解AD的长度时，△ABC是直角三角形，面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高再除以2计算，利用两种面积计算方法结果相等的等面积法，即可列等式求出AD的长度。
(3)求解△ABE的面积时，先根据中线的性质得出BE的长度，再以BE为底、AD为高，代入三角形面积公式计算即可；也可利用中线将三角形分成面积相等的两部分的性质，直接取△ABC面积的一半得到结果。
【解析】
(1)
∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=(AC+AE+CE)-(AB+BE+AE)=AC-AB=16-12=4(cm)。
(2)
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2} AB·AC = \frac{1}{2} BC·AD$，
∴$AD = \frac{AB·AC}{BC} = \frac{12×16}{20} = 9.6(cm)$。
(3)
∵AE是边BC的中线，BC=20 cm，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×20=10(cm)$，
由(2)可知AD=9.6 cm，
∴$S_{△ABE} = \frac{1}{2} BE·AD = \frac{1}{2}×10×9.6=48(cm^2)$。
【答案】
(1)4 cm；(2)9.6 cm；(3)48 $cm^2$
【知识点】
三角形中线的性质，等面积法，三角形周长与面积计算
【点评】
本题围绕三角形的高和中线设置考点，解题核心是熟练掌握中线平分对边、平分三角形面积的性质，以及直角三角形的等面积法，解题时可利用公共边、等长线段简化计算，减少运算量。
【难度系数】
0.8
(1)求解两个三角形的周长差时，先观察两个三角形的边的关系：AE是两个三角形的公共边，又因为AE是BC边上的中线，可得BE=CE，因此两个三角形的周长差实际就是AC与AB的边长差，可直接代入数值计算，无需计算所有边长。
(2)求解AD的长度时，△ABC是直角三角形，面积既可以用两直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高再除以2计算，利用两种面积计算方法结果相等的等面积法，即可列等式求出AD的长度。
(3)求解△ABE的面积时，先根据中线的性质得出BE的长度，再以BE为底、AD为高，代入三角形面积公式计算即可；也可利用中线将三角形分成面积相等的两部分的性质，直接取△ABC面积的一半得到结果。
【解析】
(1)
∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=(AC+AE+CE)-(AB+BE+AE)=AC-AB=16-12=4(cm)。
(2)
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2} AB·AC = \frac{1}{2} BC·AD$，
∴$AD = \frac{AB·AC}{BC} = \frac{12×16}{20} = 9.6(cm)$。
(3)
∵AE是边BC的中线，BC=20 cm，
∴$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×20=10(cm)$，
由(2)可知AD=9.6 cm，
∴$S_{△ABE} = \frac{1}{2} BE·AD = \frac{1}{2}×10×9.6=48(cm^2)$。
【答案】
(1)4 cm；(2)9.6 cm；(3)48 $cm^2$
【知识点】
三角形中线的性质，等面积法，三角形周长与面积计算
【点评】
本题围绕三角形的高和中线设置考点，解题核心是熟练掌握中线平分对边、平分三角形面积的性质，以及直角三角形的等面积法，解题时可利用公共边、等长线段简化计算，减少运算量。
【难度系数】
0.8
【拓展思考】
探究课题:三角形重心性质的探究.
课本重现:三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心.如图11,取一块质地均匀的三角形纸板ABC,如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来,那么纸板就会处于水平状态.
提出问题:探究$\frac{AO}{DO}$的值是多少.
老师为了让同学们更好地解决提出的问题,设置了以下2个任务,请同学们通过完成以下任务解决提出的问题.
解决问题:
任务1:若$△ AOC$的面积为6,求$△ BOC$的面积;
任务2:求$\frac{AO}{DO}$的值.
结论应用:如图12,F是$△ ABC$的重心,连接AF并延长AF交BC于D点,连接BF并延长BF交AC于E点.
(1)若$△ ABF$的面积是4,请直接写出四边形DCEF的面积;
(2)若AD=4,BE=6,求$△ ABC$面积的最大值.
探究课题:三角形重心性质的探究.
课本重现:三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心.如图11,取一块质地均匀的三角形纸板ABC,如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来,那么纸板就会处于水平状态.
提出问题:探究$\frac{AO}{DO}$的值是多少.
老师为了让同学们更好地解决提出的问题,设置了以下2个任务,请同学们通过完成以下任务解决提出的问题.
解决问题:
任务1:若$△ AOC$的面积为6,求$△ BOC$的面积;
任务2:求$\frac{AO}{DO}$的值.
结论应用:如图12,F是$△ ABC$的重心,连接AF并延长AF交BC于D点,连接BF并延长BF交AC于E点.
(1)若$△ ABF$的面积是4,请直接写出四边形DCEF的面积;
(2)若AD=4,BE=6,求$△ ABC$面积的最大值.
答案
任务1:
∵点O为△ABC的重心,
∴D,E,F分别是BC,AB,AC边上的中点,
∴$S_{△ACE}=S_{△CBE},S_{△OAE}=S_{△OBE}$,
∴$S_{△AOC}+S_{△OAE}=S_{△BOC}+S_{△OBE}$,
∴$S_{△BOC}=S_{△AOC}=6$. 任务2:由题意可知$S_{△OCD}=S_{△OBD}=\frac{1}{2}S_{△BOC}$. 又$S_{△AOC}=S_{△BOC}$.
∴$\frac{S_{△AOC}}{S_{△OCD}}=\frac{S_{△BOC}}{\frac{1}{2}S_{△BOC}}=2$ .
∵△AOC与△OCD同高,
∴$\frac{S_{△AOC}}{S_{△OCD}}=\frac{AO}{DO}=2$,即$\frac{AO}{DO}=2$. 结论应用:(1)4 (2)16
∵点O为△ABC的重心,
∴D,E,F分别是BC,AB,AC边上的中点,
∴$S_{△ACE}=S_{△CBE},S_{△OAE}=S_{△OBE}$,
∴$S_{△AOC}+S_{△OAE}=S_{△BOC}+S_{△OBE}$,
∴$S_{△BOC}=S_{△AOC}=6$. 任务2:由题意可知$S_{△OCD}=S_{△OBD}=\frac{1}{2}S_{△BOC}$. 又$S_{△AOC}=S_{△BOC}$.
∴$\frac{S_{△AOC}}{S_{△OCD}}=\frac{S_{△BOC}}{\frac{1}{2}S_{△BOC}}=2$ .
∵△AOC与△OCD同高,
∴$\frac{S_{△AOC}}{S_{△OCD}}=\frac{AO}{DO}=2$,即$\frac{AO}{DO}=2$. 结论应用:(1)4 (2)16
解析
【分析】
本题以三角形重心的探究为背景，核心依据是三角形中线平分所在三角形的面积。任务1：利用AB边上的中线分△ABC和△OAB为面积相等的两部分，作差即可得到△AOC与△BOC面积相等；任务2：先由BC边上的中线得△OCD和△OBD面积相等，再结合同高三角形的面积比等于对应底的比，即可求出AO与DO的比值；结论应用(1)：根据重心性质可知重心分三角形为6个面积相等的小三角形，结合△ABF的面积即可推出四边形的面积；(2)：先由重心分中线为2:1的比例求出AF、BF的长度，再根据两边固定时两边垂直三角形面积最大，求出△ABF的最大面积，进而得到△ABC的最大面积。
【解析】
任务1
∵点O为△ABC的重心，三角形重心是三条中线的交点，
∴CE是AB边上的中线，
∴$S_{△ACE}=S_{△CBE}$，$S_{△OAE}=S_{△OBE}$，
两式作差得：$S_{△ACE}-S_{△OAE}=S_{△CBE}-S_{△OBE}$，
即$S_{△BOC}=S_{△AOC}$，
∵$S_{△AOC}=6$，
∴$S_{△BOC}=6$。
任务2
∵D是BC边的中点，AD是BC边上的中线，
∴$S_{△OCD}=S_{△OBD}=\frac{1}{2}S_{△BOC}$，
由任务1知$S_{△AOC}=S_{△BOC}$，
∴$\frac{S_{△AOC}}{S_{△OCD}}=\frac{S_{△BOC}}{\frac{1}{2}S_{△BOC}}=2$，
∵△AOC和△OCD共高（以C为顶点，AD所在直线为底），
∴同高三角形的面积比等于对应底的比，即$\frac{S_{△AOC}}{S_{△OCD}}=\frac{AO}{DO}=2$，
故$\frac{AO}{DO}=2$。
结论应用
(1) 由重心性质可知，重心将△ABC分为6个面积相等的小三角形，$S_{△ABF}$包含2个小三角形，
已知$S_{△ABF}=4$，则每个小三角形的面积为$4÷2=2$，
四边形DCEF包含2个小三角形，故面积为$2×2=4$。
(2)
∵F是△ABC的重心，重心分中线的比为2:1，
∴$AF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}$，$BF=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}×6=4$，
将AF看作△ABF的底，当$BF⊥AF$时，点B到直线AF的距离最大，最大值为BF的长度，此时△ABF的面积最大，
最大面积为$\frac{1}{2}×AF×BF=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×4=\frac{16}{3}$，
由重心性质得$S_{△ABC}=3S_{△ABF}$，
因此△ABC面积的最大值为$3×\frac{16}{3}=16$。
【答案】
任务1：$\boxed{6}$；任务2：$\boxed{2}$；结论应用(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
三角形重心性质、三角形中线的面积性质、三角形面积最值
【点评】
本题由浅入深探究三角形重心的性质，既考查了中线平分三角形面积的基础知识点，又通过面积比推导重心分中线的比例，最后拓展到面积最值的应用，有助于提升对三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题以三角形重心的探究为背景，核心依据是三角形中线平分所在三角形的面积。任务1：利用AB边上的中线分△ABC和△OAB为面积相等的两部分，作差即可得到△AOC与△BOC面积相等；任务2：先由BC边上的中线得△OCD和△OBD面积相等，再结合同高三角形的面积比等于对应底的比，即可求出AO与DO的比值；结论应用(1)：根据重心性质可知重心分三角形为6个面积相等的小三角形，结合△ABF的面积即可推出四边形的面积；(2)：先由重心分中线为2:1的比例求出AF、BF的长度，再根据两边固定时两边垂直三角形面积最大，求出△ABF的最大面积，进而得到△ABC的最大面积。
【解析】
任务1
∵点O为△ABC的重心，三角形重心是三条中线的交点，
∴CE是AB边上的中线，
∴$S_{△ACE}=S_{△CBE}$，$S_{△OAE}=S_{△OBE}$，
两式作差得：$S_{△ACE}-S_{△OAE}=S_{△CBE}-S_{△OBE}$，
即$S_{△BOC}=S_{△AOC}$，
∵$S_{△AOC}=6$，
∴$S_{△BOC}=6$。
任务2
∵D是BC边的中点，AD是BC边上的中线，
∴$S_{△OCD}=S_{△OBD}=\frac{1}{2}S_{△BOC}$，
由任务1知$S_{△AOC}=S_{△BOC}$，
∴$\frac{S_{△AOC}}{S_{△OCD}}=\frac{S_{△BOC}}{\frac{1}{2}S_{△BOC}}=2$，
∵△AOC和△OCD共高（以C为顶点，AD所在直线为底），
∴同高三角形的面积比等于对应底的比，即$\frac{S_{△AOC}}{S_{△OCD}}=\frac{AO}{DO}=2$，
故$\frac{AO}{DO}=2$。
结论应用
(1) 由重心性质可知，重心将△ABC分为6个面积相等的小三角形，$S_{△ABF}$包含2个小三角形，
已知$S_{△ABF}=4$，则每个小三角形的面积为$4÷2=2$，
四边形DCEF包含2个小三角形，故面积为$2×2=4$。
(2)
∵F是△ABC的重心，重心分中线的比为2:1，
∴$AF=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×4=\frac{8}{3}$，$BF=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}×6=4$，
将AF看作△ABF的底，当$BF⊥AF$时，点B到直线AF的距离最大，最大值为BF的长度，此时△ABF的面积最大，
最大面积为$\frac{1}{2}×AF×BF=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×4=\frac{16}{3}$，
由重心性质得$S_{△ABC}=3S_{△ABF}$，
因此△ABC面积的最大值为$3×\frac{16}{3}=16$。
【答案】
任务1：$\boxed{6}$；任务2：$\boxed{2}$；结论应用(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
三角形重心性质、三角形中线的面积性质、三角形面积最值
【点评】
本题由浅入深探究三角形重心的性质，既考查了中线平分三角形面积的基础知识点，又通过面积比推导重心分中线的比例，最后拓展到面积最值的应用，有助于提升对三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
