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1.(2025·宿迁沭阳期中)下列方程中,是关于x的一元二次方程的是 （
A.$3x -1=0$
B.$ax^2+bx+c=0$
C.$3x^2+1=0$
D.$x^2+\frac{1}{x}=0$
C
）A.$3x -1=0$
B.$ax^2+bx+c=0$
C.$3x^2+1=0$
D.$x^2+\frac{1}{x}=0$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判定条件：1.属于整式方程；2.只含有一个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时逐一用上述条件核对每个选项，排除不符合要求的选项即可得出答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
选项A：$3x-1=0$中未知数$x$的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
选项B：$ax^2+bx+c=0$未注明$a≠0$，若$a=0$则方程最高次数不是2，不符合一元二次方程的要求；
选项C：$3x^2+1=0$只含有一个未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程且二次项系数$3≠0$，符合一元二次方程的定义；
选项D：$x^2+\frac{1}{x}=0$的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程判定；分式方程识别
【点评】
本题是基础概念考察题，易错点在于容易忽略B选项中二次项系数不为0的隐含要求，以及D选项中整式方程的限制，熟练掌握一元二次方程的定义要素即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
要判断是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的三个核心判定条件：1.属于整式方程；2.只含有一个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时逐一用上述条件核对每个选项，排除不符合要求的选项即可得出答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
选项A：$3x-1=0$中未知数$x$的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求；
选项B：$ax^2+bx+c=0$未注明$a≠0$，若$a=0$则方程最高次数不是2，不符合一元二次方程的要求；
选项C：$3x^2+1=0$只含有一个未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程且二次项系数$3≠0$，符合一元二次方程的定义；
选项D：$x^2+\frac{1}{x}=0$的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程判定；分式方程识别
【点评】
本题是基础概念考察题，易错点在于容易忽略B选项中二次项系数不为0的隐含要求，以及D选项中整式方程的限制，熟练掌握一元二次方程的定义要素即可快速准确解题。
【难度系数】
0.7
2.把方程$(3x-2)(x+1)=8$化为$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的形式为
$3x^2+x-10=0$
.答案
2.$3x^2+x-10=0$
解析
【分析】
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，解题思路分为三步：第一步先利用多项式乘多项式的法则去掉方程左边的括号，第二步将等号右侧的常数项移到方程左侧，第三步合并同类项，最终整理成$a＞0$的标准形式即可。
【解析】
第一步：展开方程左侧的乘积：
根据多项式乘多项式法则，$(3x-2)(x+1)=3x· x + 3x·1 -2· x -2·1 = 3x^2 + 3x - 2x - 2 = 3x^2 + x - 2$
此时原方程变为：$3x^2 + x - 2 = 8$
第二步：移项，将右侧的8移到左侧，变号得：
$3x^2 + x - 2 - 8 = 0$
第三步：合并同类项：
常数项$-2-8=-10$，因此整理得$3x^2 + x - 10 = 0$，此时二次项系数$3＞0$，符合要求。
【答案】
$3x^2+x-10=0$
【知识点】
多项式乘多项式，一元二次方程的一般形式，合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础题型，核心考察整式乘法运算与方程变形的基本能力，掌握多项式乘法规则和移项合并的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a＞0)$，解题思路分为三步：第一步先利用多项式乘多项式的法则去掉方程左边的括号，第二步将等号右侧的常数项移到方程左侧，第三步合并同类项，最终整理成$a＞0$的标准形式即可。
【解析】
第一步：展开方程左侧的乘积：
根据多项式乘多项式法则，$(3x-2)(x+1)=3x· x + 3x·1 -2· x -2·1 = 3x^2 + 3x - 2x - 2 = 3x^2 + x - 2$
此时原方程变为：$3x^2 + x - 2 = 8$
第二步：移项，将右侧的8移到左侧，变号得：
$3x^2 + x - 2 - 8 = 0$
第三步：合并同类项：
常数项$-2-8=-10$，因此整理得$3x^2 + x - 10 = 0$，此时二次项系数$3＞0$，符合要求。
【答案】
$3x^2+x-10=0$
【知识点】
多项式乘多项式，一元二次方程的一般形式，合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础题型，核心考察整式乘法运算与方程变形的基本能力，掌握多项式乘法规则和移项合并的方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
3. (2025·达州)已知关于$x$的方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根是1，则$m$的值为
$2$
.答案
3.2
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解。方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根x=1代入原方程，即可得到只含有未知数m的一元一次方程，解该方程就能求出m的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + m - 3 = 0$
移项计算得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对“方程的根满足对应方程”这一性质的应用，代入求值的思路是求解这类含参数方程问题的常用方法，计算难度低，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
本题可根据一元二次方程根的定义求解。方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知根x=1代入原方程，即可得到只含有未知数m的一元一次方程，解该方程就能求出m的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + m - 3 = 0$
移项计算得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对“方程的根满足对应方程”这一性质的应用，代入求值的思路是求解这类含参数方程问题的常用方法，计算难度低，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
4.(2025·宿城期末)若关于x的方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$的一个根是a，则代数式$6a^2 - 4a + 10$的值为
$12$
。答案
4.12
解析
【分析】
解题思路：首先根据一元二次方程根的定义，把根a代入原方程可得到关于a的等式，再观察目标代数式的结构，发现其可以变形为包含上述等式左边部分的形式，通过整体代入的方法就能求出代数式的值，不需要解出a的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵a是方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$3a^2 - 2a - 1 = 0$，
整理得：$3a^2 - 2a = 1$。
对目标代数式变形可得：
$6a^2 - 4a + 10 = 2(3a^2 - 2a) + 10$，
将$3a^2 - 2a =1$代入上式得：
原式$= 2×1 +10 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的根的定义，整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是灵活运用整体代入思想，无需求解a的具体值，通过对已知等式和目标代数式变形后直接代入计算，可有效简化运算，避免解一元二次方程的繁琐步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据一元二次方程根的定义，把根a代入原方程可得到关于a的等式，再观察目标代数式的结构，发现其可以变形为包含上述等式左边部分的形式，通过整体代入的方法就能求出代数式的值，不需要解出a的具体数值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵a是方程$3x^2 - 2x - 1 = 0$的一个根，
∴将$x=a$代入方程得：$3a^2 - 2a - 1 = 0$，
整理得：$3a^2 - 2a = 1$。
对目标代数式变形可得：
$6a^2 - 4a + 10 = 2(3a^2 - 2a) + 10$，
将$3a^2 - 2a =1$代入上式得：
原式$= 2×1 +10 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程的根的定义，整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是灵活运用整体代入思想，无需求解a的具体值，通过对已知等式和目标代数式变形后直接代入计算，可有效简化运算，避免解一元二次方程的繁琐步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5.已知3个完全相同的正方形的面积之和为75，若设正方形的边长为x，根据题意可列方程为 .
答案
5.$3x^2=75$
解析
【分析】
解题时先提取题目的等量关系：3个正方形的面积之和=75。首先根据正方形面积公式，用含边长x的式子表示出单个正方形的面积，再计算3个正方形的总面积，最后将总面积和已知的面积和75用等号连接，即可得到所求方程。
【解析】
解：设正方形的边长为x，根据正方形面积公式，单个正方形的面积为$x^2$。
3个完全相同的正方形的面积之和为$3x^2$，结合题目给出的面积之和为75，可列方程：$3x^2=75$。
【答案】
$3x^2=75$
【知识点】
正方形面积计算；根据实际问题列一元二次方程
【点评】
本题是基础应用题，核心考查等量关系的提取与几何图形面积公式的应用，找准面积和的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先提取题目的等量关系：3个正方形的面积之和=75。首先根据正方形面积公式，用含边长x的式子表示出单个正方形的面积，再计算3个正方形的总面积，最后将总面积和已知的面积和75用等号连接，即可得到所求方程。
【解析】
解：设正方形的边长为x，根据正方形面积公式，单个正方形的面积为$x^2$。
3个完全相同的正方形的面积之和为$3x^2$，结合题目给出的面积之和为75，可列方程：$3x^2=75$。
【答案】
$3x^2=75$
【知识点】
正方形面积计算；根据实际问题列一元二次方程
【点评】
本题是基础应用题，核心考查等量关系的提取与几何图形面积公式的应用，找准面积和的等量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.(2025·宿迁泗洪期中)若关于$x$的一元二次方程$(m+3)x^2 -4x +mx +|m| +3=0$的常数项是6,则它的一次项是（
A.$-x$
B.$-1$
C.$x$
D.$1$
A
）A.$-x$
B.$-1$
C.$x$
D.$1$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的两个核心要求：一是二次项系数不能为0，二是各项的定义（常数项是不含未知数的项，一次项是含未知数一次幂的项）。首先根据题目给出的“常数项为6”的条件列方程求解m的可能值，再结合二次项系数不为0的限制筛选出正确的m值，最后代入计算一次项系数即可得到结果。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的标准形式：
$(m+3)x^2 + (m-4)x + (|m|+3) = 0$
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即：
$m+3 ≠ 0$，解得$m ≠ -3$
2. 已知常数项为6，即常数项$|m|+3=6$，解绝对值方程：
$|m|=3$，得$m=3$或$m=-3$
3. 结合$m ≠ -3$的限制，可得$m=3$
4. 将$m=3$代入一次项系数$m-4$，得一次项系数为$3-4=-1$，因此一次项为$-x$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值运算，整式项的识别
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制，误取$m=-3$导致计算错误，解题时要注意对概念的完整把握。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确一元二次方程的两个核心要求：一是二次项系数不能为0，二是各项的定义（常数项是不含未知数的项，一次项是含未知数一次幂的项）。首先根据题目给出的“常数项为6”的条件列方程求解m的可能值，再结合二次项系数不为0的限制筛选出正确的m值，最后代入计算一次项系数即可得到结果。
【解析】
先将原方程整理为一元二次方程的标准形式：
$(m+3)x^2 + (m-4)x + (|m|+3) = 0$
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0，即：
$m+3 ≠ 0$，解得$m ≠ -3$
2. 已知常数项为6，即常数项$|m|+3=6$，解绝对值方程：
$|m|=3$，得$m=3$或$m=-3$
3. 结合$m ≠ -3$的限制，可得$m=3$
4. 将$m=3$代入一次项系数$m-4$，得一次项系数为$3-4=-1$，因此一次项为$-x$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值运算，整式项的识别
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题型，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含限制，误取$m=-3$导致计算错误，解题时要注意对概念的完整把握。
【难度系数】
0.7
7.(1)若$(a-1)x^2+\sqrt{a+1}x=2$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的取值范围为________；
(2)关于$x$的方程$(m-1)x^{|m+1|}+3x-2=0$是一元二次方程，则$m$的值为________。
(2)关于$x$的方程$(m-1)x^{|m+1|}+3x-2=0$是一元二次方程，则$m$的值为________。
答案
7.(1)$a≥-1$且$a≠1$ (2)$-3$
解析
【分析】
解题的核心依据是一元二次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程且二次项系数不为0。第(1)题还涉及二次根式，需额外保证被开方数非负：先根据二次项系数不为0列不等式，再结合二次根式有意义的条件，联立两个不等式得到a的取值范围。第(2)题先根据最高次数为2列绝对值方程求出m的可能值，再排除二次项系数为0的情况，即可得到m的取值。
【解析】
(1)
∵ $(a-1)x^2+\sqrt{a+1}x=2$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $a-1≠0$，解得 $a≠1$
又
∵ 二次根式$\sqrt{a+1}$有意义，被开方数非负
∴ $a+1≥0$，解得 $a≥-1$
联立得a的取值范围为 $a≥-1$且$a≠1$
(2)
∵ 方程$(m-1)x^{|m+1|}+3x-2=0$是一元二次方程
∴ 未知数最高次数为2，即 $|m+1|=2$
去绝对值得：$m+1=2$ 或 $m+1=-2$
解得 $m=1$ 或 $m=-3$
又
∵ 二次项系数不为0，即 $m-1≠0$，解得 $m≠1$
舍去$m=1$，得 $m=-3$
【答案】
(1)$a≥-1$且$a≠1$ (2)$-3$
【知识点】
一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，绝对值方程求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，遇到含根式、绝对值的情况要注意分类讨论后排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.75
解题的核心依据是一元二次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程且二次项系数不为0。第(1)题还涉及二次根式，需额外保证被开方数非负：先根据二次项系数不为0列不等式，再结合二次根式有意义的条件，联立两个不等式得到a的取值范围。第(2)题先根据最高次数为2列绝对值方程求出m的可能值，再排除二次项系数为0的情况，即可得到m的取值。
【解析】
(1)
∵ $(a-1)x^2+\sqrt{a+1}x=2$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $a-1≠0$，解得 $a≠1$
又
∵ 二次根式$\sqrt{a+1}$有意义，被开方数非负
∴ $a+1≥0$，解得 $a≥-1$
联立得a的取值范围为 $a≥-1$且$a≠1$
(2)
∵ 方程$(m-1)x^{|m+1|}+3x-2=0$是一元二次方程
∴ 未知数最高次数为2，即 $|m+1|=2$
去绝对值得：$m+1=2$ 或 $m+1=-2$
解得 $m=1$ 或 $m=-3$
又
∵ 二次项系数不为0，即 $m-1≠0$，解得 $m≠1$
舍去$m=1$，得 $m=-3$
【答案】
(1)$a≥-1$且$a≠1$ (2)$-3$
【知识点】
一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，绝对值方程求解
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础考查题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，遇到含根式、绝对值的情况要注意分类讨论后排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.75
8.(2025·六安霍邱县月考)已知实数a是一元二次方程$x^2 -2025x +1=0$的一个根，则代数式$a^2 -2024a - \frac{a^2 +1}{2025}$的值为
$-1$
。答案
8.$-1$
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=a代入方程可得到关于a的等式，再对等式进行变形，得到a²与a²+1的表达式，最后将其代入所求代数式，通过降次、合并同类项即可求出结果，无需直接求解a的值，采用整体代入的思路简化计算。
【解析】
∵ 实数a是一元二次方程$x^2 -2025x +1=0$的一个根，
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 -2025a +1=0$，
变形可得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$。
将上述两个式子代入代数式$a^2 -2024a - \frac{a^2 +1}{2025}$中：
$\begin{aligned}原式&=(2025a - 1) - 2024a - \frac{2025a}{2025}\\&=2025a -1 -2024a -a\\&=(2025a -2024a -a) -1\\&=0 -1\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是利用一元二次方程根的定义得到相关等式，通过降次和整体代入的方法简化运算，避免了求解方程根的复杂计算，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，将x=a代入方程可得到关于a的等式，再对等式进行变形，得到a²与a²+1的表达式，最后将其代入所求代数式，通过降次、合并同类项即可求出结果，无需直接求解a的值，采用整体代入的思路简化计算。
【解析】
∵ 实数a是一元二次方程$x^2 -2025x +1=0$的一个根，
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 -2025a +1=0$，
变形可得：$a^2 = 2025a - 1$，$a^2 + 1 = 2025a$。
将上述两个式子代入代数式$a^2 -2024a - \frac{a^2 +1}{2025}$中：
$\begin{aligned}原式&=(2025a - 1) - 2024a - \frac{2025a}{2025}\\&=2025a -1 -2024a -a\\&=(2025a -2024a -a) -1\\&=0 -1\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式整体代入求值
【点评】
本题解题的核心是利用一元二次方程根的定义得到相关等式，通过降次和整体代入的方法简化运算，避免了求解方程根的复杂计算，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
9.用方程描述下列问题中的数量关系：
(1)长度为三个连续偶数的直角三角形，求最短边长m；
(2)三个连续奇数的平方和为251，求中间的奇数x；
(3)在某篮球邀请赛中，有x个队参赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场。
(1)长度为三个连续偶数的直角三角形，求最短边长m；
(2)三个连续奇数的平方和为251，求中间的奇数x；
(3)在某篮球邀请赛中，有x个队参赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场。
答案
9.解:(1)$m^2+(m+2)^2=(m+4)^2$.
(2)$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=251$.
(3)$\frac{1}{2}x(x-1)=36$.
(2)$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=251$.
(3)$\frac{1}{2}x(x-1)=36$.
解析
【分析】
(1) 连续偶数之间相差2，最短边长为m，则另外两条边长分别为m+2、m+4；直角三角形中斜边最长，因此最长边m+4为斜边，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列方程。
(2) 连续奇数之间相差2，中间奇数为x，则另外两个奇数分别为x-2、x+2，根据“三个数的平方和为251”的等量关系直接列方程即可。
(3) 单循环比赛中，每个参赛队要和其余(x-1)个队各赛1场，直接计算x(x-1)会把每场比赛重复计算2次，因此总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合总场次为36即可列方程。
【解析】
(1) 三个连续偶数的边长分别为m、$m+2$、$m+4$，其中最长边$m+4$为直角三角形的斜边，由勾股定理可得：
$m^2+(m+2)^2=(m+4)^2$
(2) 三个连续奇数分别为$x-2$、x、$x+2$，由三者平方和为251可得：
$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=251$
(3) x个队单循环比赛的总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，已知总场次为36，可得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
【答案】
(1)$m^2+(m+2)^2=(m+4)^2$
(2)$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=251$
(3)$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
【知识点】
列一元二次方程；勾股定理；单循环场次计算
【点评】
本题属于列方程的基础题型，解题核心是准确表示相关未知量，找准题目中的等量关系，需注意连续奇/偶数的差值为2、直角三角形斜边最长、单循环比赛场次需去重这些易错点。
【难度系数】
0.8
(1) 连续偶数之间相差2，最短边长为m，则另外两条边长分别为m+2、m+4；直角三角形中斜边最长，因此最长边m+4为斜边，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列方程。
(2) 连续奇数之间相差2，中间奇数为x，则另外两个奇数分别为x-2、x+2，根据“三个数的平方和为251”的等量关系直接列方程即可。
(3) 单循环比赛中，每个参赛队要和其余(x-1)个队各赛1场，直接计算x(x-1)会把每场比赛重复计算2次，因此总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合总场次为36即可列方程。
【解析】
(1) 三个连续偶数的边长分别为m、$m+2$、$m+4$，其中最长边$m+4$为直角三角形的斜边，由勾股定理可得：
$m^2+(m+2)^2=(m+4)^2$
(2) 三个连续奇数分别为$x-2$、x、$x+2$，由三者平方和为251可得：
$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=251$
(3) x个队单循环比赛的总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$，已知总场次为36，可得：
$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
【答案】
(1)$m^2+(m+2)^2=(m+4)^2$
(2)$(x-2)^2+x^2+(x+2)^2=251$
(3)$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
【知识点】
列一元二次方程；勾股定理；单循环场次计算
【点评】
本题属于列方程的基础题型，解题核心是准确表示相关未知量，找准题目中的等量关系，需注意连续奇/偶数的差值为2、直角三角形斜边最长、单循环比赛场次需去重这些易错点。
【难度系数】
0.8
10.已知$m$是关于$x$的一元二次方程$x^{|k|-1}-x-2=0$的一个实数根.
(1)求$k$的值；
(2)不解方程，求代数式$(m^2 - m)(m - \frac{2}{m} + 1)$的值.
(1)求$k$的值；
(2)不解方程，求代数式$(m^2 - m)(m - \frac{2}{m} + 1)$的值.
答案
10.解:(1)由题意,得$|k|-1=2$,解得$k=\pm3$.
(2)由题意,得$m^2 - m - 2=0$,
$\therefore m^2 - m=2$,
$\therefore$ 原式 $= 2 × \frac{m^2 + m - 2}{m} = \frac{2(m^2 - m + 2m - 2)}{m} = \frac{2(2 + 2m - 2)}{m} = \frac{4m}{m}=4$.
(2)由题意,得$m^2 - m - 2=0$,
$\therefore m^2 - m=2$,
$\therefore$ 原式 $= 2 × \frac{m^2 + m - 2}{m} = \frac{2(m^2 - m + 2m - 2)}{m} = \frac{2(2 + 2m - 2)}{m} = \frac{4m}{m}=4$.
解析
【分析】
(1) 求k的值需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程的未知数最高次数为2，本题中x的最高次项次数为|k|-1，因此令|k|-1=2即可求解k的取值。
(2) 求代数式的值无需解方程，利用方程根的性质即可：m是方程的根，将x=m代入方程可得到m满足的等式，推导得出m²-m=2，再将所求代数式变形，把m²-m作为整体代入化简，就能快速得到结果，避免解出m具体值的复杂运算。
【解析】
(1) 由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，因此：
$|k|-1=2$
解得$|k|=3$，即$k=\pm3$。
(2) $\because m$是方程$x^2-x-2=0$的实数根，将$x=m$代入方程得：
$m^2 - m - 2=0$
$\therefore m^2 - m=2$，且$m≠0$（若$m=0$，代入方程左边为$-2≠0$，故$m$可作分母）
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{m^2 - 2 + m}{m}\\&=\frac{2[(m^2 - m) + 2m - 2]}{m}\\&=\frac{2(2 + 2m - 2)}{m}\\&=\frac{4m}{m}\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $k=\pm3$；(2) $4$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的意义；整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念和代数式化简的技巧，第一问需抓住一元二次方程最高次次数为2的核心条件，第二问运用整体代换的思想可大幅简化计算，是代数求值中常用的技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 求k的值需结合一元二次方程的定义思考：一元二次方程的未知数最高次数为2，本题中x的最高次项次数为|k|-1，因此令|k|-1=2即可求解k的取值。
(2) 求代数式的值无需解方程，利用方程根的性质即可：m是方程的根，将x=m代入方程可得到m满足的等式，推导得出m²-m=2，再将所求代数式变形，把m²-m作为整体代入化简，就能快速得到结果，避免解出m具体值的复杂运算。
【解析】
(1) 由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，因此：
$|k|-1=2$
解得$|k|=3$，即$k=\pm3$。
(2) $\because m$是方程$x^2-x-2=0$的实数根，将$x=m$代入方程得：
$m^2 - m - 2=0$
$\therefore m^2 - m=2$，且$m≠0$（若$m=0$，代入方程左边为$-2≠0$，故$m$可作分母）
对所求代数式变形：
$\begin{aligned}原式&=2×\frac{m^2 - 2 + m}{m}\\&=\frac{2[(m^2 - m) + 2m - 2]}{m}\\&=\frac{2(2 + 2m - 2)}{m}\\&=\frac{4m}{m}\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $k=\pm3$；(2) $4$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的意义；整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念和代数式化简的技巧，第一问需抓住一元二次方程最高次次数为2的核心条件，第二问运用整体代换的思想可大幅简化计算，是代数求值中常用的技巧。
【难度系数】
0.7
