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8.设函数$y=-\dfrac{2}{x}$与$y=x+3$的图象的交点坐标为$(a,b)$，则$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$的值为
$-\frac{3}{2}$
。答案
8.$-\frac{3}{2}$
9.某商场销售一批散装坚果，进价为30元/千克，在销售时售货员发现坚果的日销量和每千克的利润正好成反比例关系，且价格调整为每千克50元时，当日销量为80千克，那么每日该坚果的销量y(单位：千克)与每千克价格x(单位：元)之间的函数表达式为
$y=\frac{1600}{x-30}$
。答案
9.$y=\frac{1600}{x-30}$
10. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,函数$y=\frac{k}{x}$($k$为大于0的常数,$x＞0$)图象上的两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,满足$x_2=2x_1$,$△ ABC$的边$AC// x$轴,边$BC// y$轴,若$△ OAB$的面积为6,则$△ ABC$的面积是
2
。答案
10.2
三、解答题(共40分)
11.(20分)(2025·宿迁宿豫区期末)我校的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时水温每分钟上升10 ℃,加热到100 ℃,停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系,直至水温降至20 ℃时自动开机加热,重复上述自动程序.若在水温为20 ℃时,接通电源后,水温 y(℃)和时间 x(min)的关系如图所示.
(1)求图中 y 关于 x 的函数表达式;
(2)在一次加热到降温的过程中,饮水机有多少时间能使水温保持在50 ℃及以上?
11.(20分)(2025·宿迁宿豫区期末)我校的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时水温每分钟上升10 ℃,加热到100 ℃,停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系,直至水温降至20 ℃时自动开机加热,重复上述自动程序.若在水温为20 ℃时,接通电源后,水温 y(℃)和时间 x(min)的关系如图所示.
(1)求图中 y 关于 x 的函数表达式;
(2)在一次加热到降温的过程中,饮水机有多少时间能使水温保持在50 ℃及以上?
答案
11.解:(1)
∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从20℃到100℃需要8分钟，
∴a=8.
设一次函数的表达式为$y=mx+b$，
把(0,20),(8,100)代入，得
$\begin{cases} b=20, \\ 8m+b=100, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=20, \\ m=10, \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=10x+20$.
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将(8,100)代入，得$k=800$，
∴$y=\frac{800}{x}$.
当$y=20$时，$x=\frac{800}{20}=40$.
综上所述，y关于x的函数表达式为
$y=\begin{cases} 10x+20(0≤ x≤ 8), \\ \frac{800}{x}(8＜ x≤ 40). \end{cases}$
(2)在$y=10x+20(0≤ x≤ 8)$中，
令$y=50$，解得$x=3$；
在$y=\frac{800}{x}$中，令$y=50$，解得$x=16$.
∵$16-3=13(\mathrm{min})$，
∴在一次加热到降温的过程中，饮水机有13 min能使水温保持在50℃及以上.
∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从20℃到100℃需要8分钟，
∴a=8.
设一次函数的表达式为$y=mx+b$，
把(0,20),(8,100)代入，得
$\begin{cases} b=20, \\ 8m+b=100, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=20, \\ m=10, \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=10x+20$.
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将(8,100)代入，得$k=800$，
∴$y=\frac{800}{x}$.
当$y=20$时，$x=\frac{800}{20}=40$.
综上所述，y关于x的函数表达式为
$y=\begin{cases} 10x+20(0≤ x≤ 8), \\ \frac{800}{x}(8＜ x≤ 40). \end{cases}$
(2)在$y=10x+20(0≤ x≤ 8)$中，
令$y=50$，解得$x=3$；
在$y=\frac{800}{x}$中，令$y=50$，解得$x=16$.
∵$16-3=13(\mathrm{min})$，
∴在一次加热到降温的过程中，饮水机有13 min能使水温保持在50℃及以上.
12.(20分)如图，A(1,6)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一个点，B(m,n)(m＞1)是该函数图象上一个动点，过点A分别作AD⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为D,C，过点B分别作BF⊥x轴，BE⊥y轴，垂足分别为F,E.设AD交BE于点G，连接AB.
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)证明：在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等；
(3)若△AGB的面积等于四边形ODGE的面积的一半，求点B的坐标.
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)证明：在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等；
(3)若△AGB的面积等于四边形ODGE的面积的一半，求点B的坐标.
答案
12.(1)解:
∵A(1,6)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一个点，
∴$k=1×6=6$，
∴此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)证明:
∵点A,B在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，$AD⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，$BF⊥ x$轴，$BE⊥ y$轴，
∴$S_{\mathrm{矩形}ADOC}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}=6$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ADOC}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ACEG}=S_{\mathrm{矩形}BGDF}$，
即在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等.
(3)解:
∵$A(1,6)$，$B(m,\frac{6}{m})$，$G(1,\frac{6}{m})$，
∴$AG=6-\frac{6}{m}$，$BG=m-1$.
∵$△AGB$的面积等于四边形ODGE的面积的一半，
∴$\frac{1}{2}AG· BG=\frac{1}{2}EG· DG$，即$(6-\frac{6}{m})(m-1)=1×\frac{6}{m}$，解得$m=2$.经检验，$m=2$是原方程的解，
∴点B的坐标为(2,3).
∵A(1,6)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一个点，
∴$k=1×6=6$，
∴此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)证明:
∵点A,B在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，$AD⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，$BF⊥ x$轴，$BE⊥ y$轴，
∴$S_{\mathrm{矩形}ADOC}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}=6$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ADOC}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ACEG}=S_{\mathrm{矩形}BGDF}$，
即在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等.
(3)解:
∵$A(1,6)$，$B(m,\frac{6}{m})$，$G(1,\frac{6}{m})$，
∴$AG=6-\frac{6}{m}$，$BG=m-1$.
∵$△AGB$的面积等于四边形ODGE的面积的一半，
∴$\frac{1}{2}AG· BG=\frac{1}{2}EG· DG$，即$(6-\frac{6}{m})(m-1)=1×\frac{6}{m}$，解得$m=2$.经检验，$m=2$是原方程的解，
∴点B的坐标为(2,3).
