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8.设函数$y=-\dfrac{2}{x}$与$y=x+3$的图象的交点坐标为$(a,b)$，则$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$的值为
$-\frac{3}{2}$
。答案
8.$-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
已知两个函数图象的交点坐标为$(a,b)$，则该点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可以先将交点坐标分别代入两个函数表达式，得到$ab$与$b-a$的值；再将所求代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$通分化简，最后把得到的$ab$和$b-a$的值整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
$\because$ 点$(a,b)$是函数$y=-\dfrac{2}{x}$与$y=x+3$的图象的交点，
$\therefore$ 将$(a,b)$代入$y=-\dfrac{2}{x}$，得：$b=-\dfrac{2}{a}$，整理得$ab=-2$；
将$(a,b)$代入$y=x+3$，得：$b=a+3$，整理得$b-a=3$。
对$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$通分化简：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}=\dfrac{b-a}{ab}$
将$ab=-2$，$b-a=3$代入上式，得：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
函数交点坐标特征；分式化简；整体代入求值
【点评】
本题是函数与代数式化简的综合题型，解题的关键是理解函数图象交点的坐标同时满足所有相交函数的解析式，通过对所求代数式合理变形，采用整体代入的方法可避免复杂的解方程运算，是代数综合题中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
已知两个函数图象的交点坐标为$(a,b)$，则该点坐标同时满足两个函数的解析式，因此可以先将交点坐标分别代入两个函数表达式，得到$ab$与$b-a$的值；再将所求代数式$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$通分化简，最后把得到的$ab$和$b-a$的值整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
$\because$ 点$(a,b)$是函数$y=-\dfrac{2}{x}$与$y=x+3$的图象的交点，
$\therefore$ 将$(a,b)$代入$y=-\dfrac{2}{x}$，得：$b=-\dfrac{2}{a}$，整理得$ab=-2$；
将$(a,b)$代入$y=x+3$，得：$b=a+3$，整理得$b-a=3$。
对$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$通分化简：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}=\dfrac{b-a}{ab}$
将$ab=-2$，$b-a=3$代入上式，得：
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}$
【答案】
$-\dfrac{3}{2}$
【知识点】
函数交点坐标特征；分式化简；整体代入求值
【点评】
本题是函数与代数式化简的综合题型，解题的关键是理解函数图象交点的坐标同时满足所有相交函数的解析式，通过对所求代数式合理变形，采用整体代入的方法可避免复杂的解方程运算，是代数综合题中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
9.某商场销售一批散装坚果，进价为30元/千克，在销售时售货员发现坚果的日销量和每千克的利润正好成反比例关系，且价格调整为每千克50元时，当日销量为80千克，那么每日该坚果的销量y(单位：千克)与每千克价格x(单位：元)之间的函数表达式为
$y=\frac{1600}{x-30}$
。答案
9.$y=\frac{1600}{x-30}$
解析
【分析】
解题时首先要明确题中的数量关系：每千克的利润=售价-进价，题目明确日销量y和每千克的利润成反比例，因此先表示出每千克的利润为(x-30)元，再利用反比例函数的定义设出函数解析式，最后将已知的x=50、y=80代入求出常数k，即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
第一步：表示每千克坚果的利润
已知坚果进价为30元/千克，售价为x元/千克，因此每千克的利润为$(x-30)$元。
第二步：根据反比例关系设函数解析式
由日销量y和每千克的利润成反比例，可设函数解析式为$y=\frac{k}{x-30}$（$k≠0$）。
第三步：代入已知条件求常数k
当售价$x=50$元时，当日销量$y=80$千克，将其代入解析式得：
$80=\frac{k}{50-30}$
计算分母得$80=\frac{k}{20}$，解得$k=80×20=1600$。
第四步：得到最终函数表达式
将$k=1600$代入所设解析式，可得$y=\frac{1600}{x-30}$。
【答案】
$y=\frac{1600}{x-30}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式；销售问题基本量关系
【点评】
本题属于反比例函数的实际应用类题目，解题的核心是准确识别成反比例的两个量，注意不要误将售价当作利润代入反比例关系，审题时要梳理清楚各个数量的含义，再结合待定系数法求解即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确题中的数量关系：每千克的利润=售价-进价，题目明确日销量y和每千克的利润成反比例，因此先表示出每千克的利润为(x-30)元，再利用反比例函数的定义设出函数解析式，最后将已知的x=50、y=80代入求出常数k，即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
第一步：表示每千克坚果的利润
已知坚果进价为30元/千克，售价为x元/千克，因此每千克的利润为$(x-30)$元。
第二步：根据反比例关系设函数解析式
由日销量y和每千克的利润成反比例，可设函数解析式为$y=\frac{k}{x-30}$（$k≠0$）。
第三步：代入已知条件求常数k
当售价$x=50$元时，当日销量$y=80$千克，将其代入解析式得：
$80=\frac{k}{50-30}$
计算分母得$80=\frac{k}{20}$，解得$k=80×20=1600$。
第四步：得到最终函数表达式
将$k=1600$代入所设解析式，可得$y=\frac{1600}{x-30}$。
【答案】
$y=\frac{1600}{x-30}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求函数解析式；销售问题基本量关系
【点评】
本题属于反比例函数的实际应用类题目，解题的核心是准确识别成反比例的两个量，注意不要误将售价当作利润代入反比例关系，审题时要梳理清楚各个数量的含义，再结合待定系数法求解即可。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,函数$y=\frac{k}{x}$($k$为大于0的常数,$x＞0$)图象上的两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,满足$x_2=2x_1$,$△ ABC$的边$AC// x$轴,边$BC// y$轴,若$△ OAB$的面积为6,则$△ ABC$的面积是
2
。答案
10.2
解析
【分析】
首先根据反比例函数图象上点的坐标满足解析式，可得A、B两点横纵坐标的乘积均等于k，结合$x_2=2x_1$可推出$y_1=2y_2$；再由AC平行x轴、BC平行y轴确定点C的坐标，可知$△ ABC$是直角三角形，其两条直角边的长度可分别用$x_1$、$y_1$表示；最后通过割补法将$△ OAB$的面积转化为梯形面积，用k表示后结合已知面积为6求出k的值，代入$△ ABC$的面积表达式即可得到结果。
【解析】
解：
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＞0$）的图象上，
∴$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$。
又
∵$x_2=2x_1$，代入得$2x_1· y_2=x_1· y_1$，
∵$x_1＞0$，两边同时除以$x_1$得$y_1=2y_2$，即$y_2=\frac{1}{2}y_1$。
∵$AC// x$轴，$BC// y$轴，
∴点$C$的横坐标与$B$相同为$x_2$，纵坐标与$A$相同为$y_1$，即$C(x_2,y_1)$，且$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$。
∴$AC=x_2-x_1=2x_1-x_1=x_1$，$BC=y_1-y_2=y_1-\frac{1}{2}y_1=\frac{1}{2}y_1$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· x_1· \frac{1}{2}y_1=\frac{x_1y_1}{4}=\frac{k}{4}$①。
过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$B$作$BF⊥ x$轴于点$F$，
则$S_{△ OAE}=\frac{1}{2}x_1y_1=\frac{k}{2}$，$S_{△ OBF}=\frac{1}{2}x_2y_2=\frac{k}{2}$，故$S_{△ OAE}=S_{△ OBF}$。
因此$S_{△ OAB}=S_{△ OAE}+S_{梯形AEFB}-S_{△ OBF}=S_{梯形AEFB}$，
其中$AE=y_1$，$BF=y_2=\frac{1}{2}y_1$，$EF=x_2-x_1=x_1$，
∴$S_{梯形AEFB}=\frac{1}{2}(AE+BF)· EF=\frac{1}{2}(y_1+\frac{1}{2}y_1)· x_1=\frac{3x_1y_1}{4}=\frac{3k}{4}$。
由题知$S_{△ OAB}=6$，
∴$\frac{3k}{4}=6$，解得$k=8$。
将$k=8$代入①式，得$S_{△ ABC}=\frac{8}{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题将反比例函数与几何图形面积计算结合，解题的关键是利用反比例函数上点的坐标特征得到点坐标的数量关系，通过割补法将不规则三角形面积转化为规则图形面积求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
首先根据反比例函数图象上点的坐标满足解析式，可得A、B两点横纵坐标的乘积均等于k，结合$x_2=2x_1$可推出$y_1=2y_2$；再由AC平行x轴、BC平行y轴确定点C的坐标，可知$△ ABC$是直角三角形，其两条直角边的长度可分别用$x_1$、$y_1$表示；最后通过割补法将$△ OAB$的面积转化为梯形面积，用k表示后结合已知面积为6求出k的值，代入$△ ABC$的面积表达式即可得到结果。
【解析】
解：
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＞0$）的图象上，
∴$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$。
又
∵$x_2=2x_1$，代入得$2x_1· y_2=x_1· y_1$，
∵$x_1＞0$，两边同时除以$x_1$得$y_1=2y_2$，即$y_2=\frac{1}{2}y_1$。
∵$AC// x$轴，$BC// y$轴，
∴点$C$的横坐标与$B$相同为$x_2$，纵坐标与$A$相同为$y_1$，即$C(x_2,y_1)$，且$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$。
∴$AC=x_2-x_1=2x_1-x_1=x_1$，$BC=y_1-y_2=y_1-\frac{1}{2}y_1=\frac{1}{2}y_1$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· x_1· \frac{1}{2}y_1=\frac{x_1y_1}{4}=\frac{k}{4}$①。
过点$A$作$AE⊥ x$轴于点$E$，过点$B$作$BF⊥ x$轴于点$F$，
则$S_{△ OAE}=\frac{1}{2}x_1y_1=\frac{k}{2}$，$S_{△ OBF}=\frac{1}{2}x_2y_2=\frac{k}{2}$，故$S_{△ OAE}=S_{△ OBF}$。
因此$S_{△ OAB}=S_{△ OAE}+S_{梯形AEFB}-S_{△ OBF}=S_{梯形AEFB}$，
其中$AE=y_1$，$BF=y_2=\frac{1}{2}y_1$，$EF=x_2-x_1=x_1$，
∴$S_{梯形AEFB}=\frac{1}{2}(AE+BF)· EF=\frac{1}{2}(y_1+\frac{1}{2}y_1)· x_1=\frac{3x_1y_1}{4}=\frac{3k}{4}$。
由题知$S_{△ OAB}=6$，
∴$\frac{3k}{4}=6$，解得$k=8$。
将$k=8$代入①式，得$S_{△ ABC}=\frac{8}{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题将反比例函数与几何图形面积计算结合，解题的关键是利用反比例函数上点的坐标特征得到点坐标的数量关系，通过割补法将不规则三角形面积转化为规则图形面积求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共40分)
11.(20分)(2025·宿迁宿豫区期末)我校的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时水温每分钟上升10 ℃,加热到100 ℃,停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系,直至水温降至20 ℃时自动开机加热,重复上述自动程序.若在水温为20 ℃时,接通电源后,水温 y(℃)和时间 x(min)的关系如图所示.
(1)求图中 y 关于 x 的函数表达式;
(2)在一次加热到降温的过程中,饮水机有多少时间能使水温保持在50 ℃及以上?
11.(20分)(2025·宿迁宿豫区期末)我校的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时水温每分钟上升10 ℃,加热到100 ℃,停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系,直至水温降至20 ℃时自动开机加热,重复上述自动程序.若在水温为20 ℃时,接通电源后,水温 y(℃)和时间 x(min)的关系如图所示.
(1)求图中 y 关于 x 的函数表达式;
(2)在一次加热到降温的过程中,饮水机有多少时间能使水温保持在50 ℃及以上?
答案
11.解:(1)
∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从20℃到100℃需要8分钟，
∴a=8.
设一次函数的表达式为$y=mx+b$，
把(0,20),(8,100)代入，得
$\begin{cases} b=20, \\ 8m+b=100, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=20, \\ m=10, \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=10x+20$.
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将(8,100)代入，得$k=800$，
∴$y=\frac{800}{x}$.
当$y=20$时，$x=\frac{800}{20}=40$.
综上所述，y关于x的函数表达式为
$y=\begin{cases} 10x+20(0≤ x≤ 8), \\ \frac{800}{x}(8＜ x≤ 40). \end{cases}$
(2)在$y=10x+20(0≤ x≤ 8)$中，
令$y=50$，解得$x=3$；
在$y=\frac{800}{x}$中，令$y=50$，解得$x=16$.
∵$16-3=13(\mathrm{min})$，
∴在一次加热到降温的过程中，饮水机有13 min能使水温保持在50℃及以上.
∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从20℃到100℃需要8分钟，
∴a=8.
设一次函数的表达式为$y=mx+b$，
把(0,20),(8,100)代入，得
$\begin{cases} b=20, \\ 8m+b=100, \end{cases}$解得$\begin{cases} b=20, \\ m=10, \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=10x+20$.
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，
将(8,100)代入，得$k=800$，
∴$y=\frac{800}{x}$.
当$y=20$时，$x=\frac{800}{20}=40$.
综上所述，y关于x的函数表达式为
$y=\begin{cases} 10x+20(0≤ x≤ 8), \\ \frac{800}{x}(8＜ x≤ 40). \end{cases}$
(2)在$y=10x+20(0≤ x≤ 8)$中，
令$y=50$，解得$x=3$；
在$y=\frac{800}{x}$中，令$y=50$，解得$x=16$.
∵$16-3=13(\mathrm{min})$，
∴在一次加热到降温的过程中，饮水机有13 min能使水温保持在50℃及以上.
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，分为加热升温和停止加热降温两个阶段求解：
1. 求函数表达式：首先计算加热到100℃所需时间得到a的值，0到a分钟是一次函数关系，用待定系数法代入两点即可求出一次函数解析式；a分钟之后降温阶段是反比例函数关系，代入(a,100)求出反比例系数，再计算水温降到20℃的时间确定反比例函数的定义域，最终写成分段函数形式。
2. 求水温≥50℃的时长：分别在一次函数和反比例函数中令y=50，求出对应的两个x值，两个值的差就是符合要求的时长。
【解析】
(1) 开机加热时水温每分钟上升10℃，从20℃加热到100℃所需时间为$\frac{100-20}{10}=8\ \mathrm{min}$，即$a=8$。
① 当$0\le x\le8$时，设一次函数表达式为$y=mx+b$，将$(0,20)$、$(8,100)$代入得：
$\begin{cases} b=20 \\ 8m+b=100 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=10 \\ b=20 \end{cases}$，
因此该阶段函数表达式为$y=10x+20$。
② 当$8＜x\le b$时，水温与时间成反比例关系，设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，将$(8,100)$代入得$k=8×100=800$，因此该阶段函数表达式为$y=\frac{800}{x}$。
当水温降至20℃时自动重启加热，令$y=20$，得$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，即$b=40$。
综上，y关于x的函数表达式为：
$y=\begin{cases} 10x+20&(0\le x\le8) \\ \dfrac{800}{x}&(8＜ x\le40) \end{cases}$
(2) 分别求解两个阶段水温为50℃对应的时间：
在一次函数$y=10x+20$中，令$y=50$，得$50=10x+20$，解得$x=3$；
在反比例函数$y=\frac{800}{x}$中，令$y=50$，得$50=\frac{800}{x}$，解得$x=16$。
因此水温保持在50℃及以上的时长为$16-3=13(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases} 10x+20&(0\le x\le8) \\ \dfrac{800}{x}&(8＜ x\le40) \end{cases}$
(2) $13\ \mathrm{min}$
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活中饮水机的水温变化场景考查函数的实际应用，解题核心是准确区分不同阶段的函数类型，熟练运用待定系数法求解函数解析式，同时要注意自变量的取值范围，避免因忽略定义域出现错误。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，分为加热升温和停止加热降温两个阶段求解：
1. 求函数表达式：首先计算加热到100℃所需时间得到a的值，0到a分钟是一次函数关系，用待定系数法代入两点即可求出一次函数解析式；a分钟之后降温阶段是反比例函数关系，代入(a,100)求出反比例系数，再计算水温降到20℃的时间确定反比例函数的定义域，最终写成分段函数形式。
2. 求水温≥50℃的时长：分别在一次函数和反比例函数中令y=50，求出对应的两个x值，两个值的差就是符合要求的时长。
【解析】
(1) 开机加热时水温每分钟上升10℃，从20℃加热到100℃所需时间为$\frac{100-20}{10}=8\ \mathrm{min}$，即$a=8$。
① 当$0\le x\le8$时，设一次函数表达式为$y=mx+b$，将$(0,20)$、$(8,100)$代入得：
$\begin{cases} b=20 \\ 8m+b=100 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m=10 \\ b=20 \end{cases}$，
因此该阶段函数表达式为$y=10x+20$。
② 当$8＜x\le b$时，水温与时间成反比例关系，设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，将$(8,100)$代入得$k=8×100=800$，因此该阶段函数表达式为$y=\frac{800}{x}$。
当水温降至20℃时自动重启加热，令$y=20$，得$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，即$b=40$。
综上，y关于x的函数表达式为：
$y=\begin{cases} 10x+20&(0\le x\le8) \\ \dfrac{800}{x}&(8＜ x\le40) \end{cases}$
(2) 分别求解两个阶段水温为50℃对应的时间：
在一次函数$y=10x+20$中，令$y=50$，得$50=10x+20$，解得$x=3$；
在反比例函数$y=\frac{800}{x}$中，令$y=50$，得$50=\frac{800}{x}$，解得$x=16$。
因此水温保持在50℃及以上的时长为$16-3=13(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases} 10x+20&(0\le x\le8) \\ \dfrac{800}{x}&(8＜ x\le40) \end{cases}$
(2) $13\ \mathrm{min}$
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活中饮水机的水温变化场景考查函数的实际应用，解题核心是准确区分不同阶段的函数类型，熟练运用待定系数法求解函数解析式，同时要注意自变量的取值范围，避免因忽略定义域出现错误。
【难度系数】
0.7
12.(20分)如图，A(1,6)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一个点，B(m,n)(m＞1)是该函数图象上一个动点，过点A分别作AD⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为D,C，过点B分别作BF⊥x轴，BE⊥y轴，垂足分别为F,E.设AD交BE于点G，连接AB.
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)证明：在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等；
(3)若△AGB的面积等于四边形ODGE的面积的一半，求点B的坐标.
(1)求此反比例函数的表达式；
(2)证明：在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等；
(3)若△AGB的面积等于四边形ODGE的面积的一半，求点B的坐标.
答案
12.(1)解:
∵A(1,6)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一个点，
∴$k=1×6=6$，
∴此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)证明:
∵点A,B在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，$AD⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，$BF⊥ x$轴，$BE⊥ y$轴，
∴$S_{\mathrm{矩形}ADOC}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}=6$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ADOC}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ACEG}=S_{\mathrm{矩形}BGDF}$，
即在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等.
(3)解:
∵$A(1,6)$，$B(m,\frac{6}{m})$，$G(1,\frac{6}{m})$，
∴$AG=6-\frac{6}{m}$，$BG=m-1$.
∵$△AGB$的面积等于四边形ODGE的面积的一半，
∴$\frac{1}{2}AG· BG=\frac{1}{2}EG· DG$，即$(6-\frac{6}{m})(m-1)=1×\frac{6}{m}$，解得$m=2$.经检验，$m=2$是原方程的解，
∴点B的坐标为(2,3).
∵A(1,6)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一个点，
∴$k=1×6=6$，
∴此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$.
(2)证明:
∵点A,B在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，$AD⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，$BF⊥ x$轴，$BE⊥ y$轴，
∴$S_{\mathrm{矩形}ADOC}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}=6$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ADOC}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ACEG}=S_{\mathrm{矩形}BGDF}$，
即在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等.
(3)解:
∵$A(1,6)$，$B(m,\frac{6}{m})$，$G(1,\frac{6}{m})$，
∴$AG=6-\frac{6}{m}$，$BG=m-1$.
∵$△AGB$的面积等于四边形ODGE的面积的一半，
∴$\frac{1}{2}AG· BG=\frac{1}{2}EG· DG$，即$(6-\frac{6}{m})(m-1)=1×\frac{6}{m}$，解得$m=2$.经检验，$m=2$是原方程的解，
∴点B的坐标为(2,3).
解析
【分析】
（1）求反比例函数表达式，只需将已知点A的坐标代入$y=\frac{k}{x}$，求出k值即可得到解析式。
（2）要证明两个四边形面积相等，先利用反比例函数k的几何意义，得到过双曲线上的点作坐标轴垂线形成的矩形面积都等于|k|，即矩形ADOC和矩形BFOE的面积均为6，两个矩形同时减去公共部分矩形ODGE的面积，剩余部分面积相等，即可得证。
（3）首先根据点A、B的坐标表示出交点G的坐标，再分别用含m的式子表示出AG、BG的长度，以及四边形ODGE的面积，根据题目给出的面积等量关系列方程，求解得到m的值，检验后即可求出点B的坐标。
【解析】
(1)解：
∵A(1,6)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一个点，
∴将A(1,6)代入解析式得$k=1×6=6$，
∴此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2)证明：
∵点A,B在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，$AD⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，$BF⊥ x$轴，$BE⊥ y$轴，
∴根据反比例函数k的几何意义可得$S_{\mathrm{矩形}ADOC}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}=6$，
两个矩形同时减去公共部分矩形ODGE的面积，可得：
$S_{\mathrm{矩形}ADOC}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ACEG}=S_{\mathrm{矩形}BGDF}$，
即在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等。
(3)解：
∵点B(m,n)在$y=\frac{6}{x}$上，
∴$n=\frac{6}{m}$，即$B(m,\frac{6}{m})$，
由题意可知G是AD与BE的交点，AD所在直线为x=1，BE所在直线为$y=\frac{6}{m}$，
∴$G(1,\frac{6}{m})$，
∴$AG=6-\frac{6}{m}$，$BG=m-1$，
四边形ODGE是矩形，其面积$S_{\mathrm{矩形}ODGE}=OD·OE=1×\frac{6}{m}=\frac{6}{m}$，
∵$△AGB$的面积等于四边形ODGE的面积的一半，
∴$\frac{1}{2}AG· BG=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ODGE}$，即$\frac{1}{2}(6-\frac{6}{m})(m-1)=\frac{1}{2}×\frac{6}{m}$，
两边同时乘2化简得$(6-\frac{6}{m})(m-1)=\frac{6}{m}$，解得$m=2$，经检验，$m=2$是原方程的解，
∴$n=\frac{6}{2}=3$，即点B的坐标为(2,3)。
【答案】
(1)$y=\frac{6}{x}$；(2)证明见上述解析；(3)$(2,3)$
【知识点】
1.反比例函数解析式的确定 2.反比例函数k的几何意义 3.反比例函数与几何综合
【点评】
本题围绕反比例函数设置梯度问题，基础层考查解析式求解的基本方法，中间层考查对k的几何意义的理解和应用，最后一层考查数形结合思想和方程思想的运用，能够有效考查学生对反比例函数相关知识的掌握程度和几何分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）求反比例函数表达式，只需将已知点A的坐标代入$y=\frac{k}{x}$，求出k值即可得到解析式。
（2）要证明两个四边形面积相等，先利用反比例函数k的几何意义，得到过双曲线上的点作坐标轴垂线形成的矩形面积都等于|k|，即矩形ADOC和矩形BFOE的面积均为6，两个矩形同时减去公共部分矩形ODGE的面积，剩余部分面积相等，即可得证。
（3）首先根据点A、B的坐标表示出交点G的坐标，再分别用含m的式子表示出AG、BG的长度，以及四边形ODGE的面积，根据题目给出的面积等量关系列方程，求解得到m的值，检验后即可求出点B的坐标。
【解析】
(1)解：
∵A(1,6)是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一个点，
∴将A(1,6)代入解析式得$k=1×6=6$，
∴此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2)证明：
∵点A,B在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，$AD⊥ x$轴，$AC⊥ y$轴，$BF⊥ x$轴，$BE⊥ y$轴，
∴根据反比例函数k的几何意义可得$S_{\mathrm{矩形}ADOC}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}=6$，
两个矩形同时减去公共部分矩形ODGE的面积，可得：
$S_{\mathrm{矩形}ADOC}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}=S_{\mathrm{矩形}BFOE}-S_{\mathrm{矩形}ODGE}$，
∴$S_{\mathrm{矩形}ACEG}=S_{\mathrm{矩形}BGDF}$，
即在点B运动过程中，四边形ACEG的面积与四边形BGDF的面积相等。
(3)解：
∵点B(m,n)在$y=\frac{6}{x}$上，
∴$n=\frac{6}{m}$，即$B(m,\frac{6}{m})$，
由题意可知G是AD与BE的交点，AD所在直线为x=1，BE所在直线为$y=\frac{6}{m}$，
∴$G(1,\frac{6}{m})$，
∴$AG=6-\frac{6}{m}$，$BG=m-1$，
四边形ODGE是矩形，其面积$S_{\mathrm{矩形}ODGE}=OD·OE=1×\frac{6}{m}=\frac{6}{m}$，
∵$△AGB$的面积等于四边形ODGE的面积的一半，
∴$\frac{1}{2}AG· BG=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ODGE}$，即$\frac{1}{2}(6-\frac{6}{m})(m-1)=\frac{1}{2}×\frac{6}{m}$，
两边同时乘2化简得$(6-\frac{6}{m})(m-1)=\frac{6}{m}$，解得$m=2$，经检验，$m=2$是原方程的解，
∴$n=\frac{6}{2}=3$，即点B的坐标为(2,3)。
【答案】
(1)$y=\frac{6}{x}$；(2)证明见上述解析；(3)$(2,3)$
【知识点】
1.反比例函数解析式的确定 2.反比例函数k的几何意义 3.反比例函数与几何综合
【点评】
本题围绕反比例函数设置梯度问题，基础层考查解析式求解的基本方法，中间层考查对k的几何意义的理解和应用，最后一层考查数形结合思想和方程思想的运用，能够有效考查学生对反比例函数相关知识的掌握程度和几何分析能力。
【难度系数】
0.7
