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1.下列说法中,正确的是(
A.三角形的一个外角等于任意两个内角的和
B.三角形的一个外角小于它的一个内角
C.三角形的一个外角大于和它相邻的内角
D.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
D
).A.三角形的一个外角等于任意两个内角的和
B.三角形的一个外角小于它的一个内角
C.三角形的一个外角大于和它相邻的内角
D.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题首先需要回忆三角形外角的相关性质，再逐一分析每个选项的说法是否符合性质要求，注意区分“相邻内角”和“不相邻内角”的不同情况，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。我们逐个分析选项：
A选项：三角形的外角仅等于和它不相邻的两个内角的和，并非任意两个内角的和，说法错误；
B选项：外角的大小和内角的关系不是固定的，例如锐角三角形的外角大于和它相邻的内角，该说法过于绝对，错误；
C选项：当三角形的内角为钝角时，对应的外角是锐角，小于相邻的钝角；当内角为直角时，对应的外角等于相邻的直角，因此该说法错误；
D选项：符合三角形外角的性质，说法正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要抓住三角形外角性质中“不相邻”这一关键限定，避免因忽略限定条件错选其他选项。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要回忆三角形外角的相关性质，再逐一分析每个选项的说法是否符合性质要求，注意区分“相邻内角”和“不相邻内角”的不同情况，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。我们逐个分析选项：
A选项：三角形的外角仅等于和它不相邻的两个内角的和，并非任意两个内角的和，说法错误；
B选项：外角的大小和内角的关系不是固定的，例如锐角三角形的外角大于和它相邻的内角，该说法过于绝对，错误；
C选项：当三角形的内角为钝角时，对应的外角是锐角，小于相邻的钝角；当内角为直角时，对应的外角等于相邻的直角，因此该说法错误；
D选项：符合三角形外角的性质，说法正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要抓住三角形外角性质中“不相邻”这一关键限定，避免因忽略限定条件错选其他选项。
【难度系数】
0.8
2.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A等于（
A.35°
B.95°
C.85°
D.75°
C
）.A.35°
B.95°
C.85°
D.75°
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据角平分线的定义，由CE平分∠ACD、已知∠ACE的度数，先求出外角∠ACD的总度数；再利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将已知的∠B代入，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=2×60°=120°
又
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角性质
∴∠ACD=∠A+∠B
已知∠B=35°，代入得：
∠A=∠ACD - ∠B=120°-35°=85°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对三角形外角性质和角平分线定义的理解与应用，解题时先通过角平分线得到外角度数，再结合外角性质计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据角平分线的定义，由CE平分∠ACD、已知∠ACE的度数，先求出外角∠ACD的总度数；再利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将已知的∠B代入，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=2×60°=120°
又
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角性质
∴∠ACD=∠A+∠B
已知∠B=35°，代入得：
∠A=∠ACD - ∠B=120°-35°=85°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对三角形外角性质和角平分线定义的理解与应用，解题时先通过角平分线得到外角度数，再结合外角性质计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
3.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（
A.∠2＜∠5
B.∠2=∠3
C.∠1＞∠4+∠5
D.∠2=∠4+∠5
D
）.A.∠2＜∠5
B.∠2=∠3
C.∠1＞∠4+∠5
D.∠2=∠4+∠5
答案
3.D
解析
【分析】
解题时可结合对顶角的性质、三角形外角的性质逐个分析选项：首先明确三角形外角的两个性质，一是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，二是三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角；再结合对顶角相等的性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：∠2是△BOC的外角，根据三角形外角的性质，外角大于任意一个不相邻的内角，可得∠2＞∠5，故A错误；
B选项：∠2是△AOD的外角，根据外角性质可得∠2=∠A+∠3，因此∠2＞∠3，故B错误；
C选项：∠1与∠2是对顶角，因此∠1=∠2，又∠2是△BOC的外角，即∠2=∠4+∠5，所以∠1=∠4+∠5，故C错误；
D选项：∠2是△BOC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2=∠4+∠5，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.对顶角的性质 2.三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何题，重点考查对三角形外角性质、对顶角性质的理解与应用，解题关键是准确判断外角对应的不相邻内角，通过排除法即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.85
解题时可结合对顶角的性质、三角形外角的性质逐个分析选项：首先明确三角形外角的两个性质，一是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，二是三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角；再结合对顶角相等的性质，逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：∠2是△BOC的外角，根据三角形外角的性质，外角大于任意一个不相邻的内角，可得∠2＞∠5，故A错误；
B选项：∠2是△AOD的外角，根据外角性质可得∠2=∠A+∠3，因此∠2＞∠3，故B错误；
C选项：∠1与∠2是对顶角，因此∠1=∠2，又∠2是△BOC的外角，即∠2=∠4+∠5，所以∠1=∠4+∠5，故C错误；
D选项：∠2是△BOC的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2=∠4+∠5，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.对顶角的性质 2.三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何题，重点考查对三角形外角性质、对顶角性质的理解与应用，解题关键是准确判断外角对应的不相邻内角，通过排除法即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.85
4.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$AD$平分$△ ABC$的外角$∠ CAE$，交$BC$的延长线于点$D$，$∠ CAD=65°$，则$∠ D$等于（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
）.A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先从已知的角平分线条件入手，根据角平分线的定义可求出∠EAD的度数；再观察∠EAD的位置，发现它是△ABD的外角，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可建立∠EAD、∠B、∠D之间的数量关系，代入已知角度就能求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AD平分△ABC的外角∠CAE，∠CAD=65°，
∴∠EAD=∠CAD=65°。
∵∠EAD是△ABD的外角，
∴∠EAD=∠B+∠D。
又
∵∠B=30°，
∴∠D=∠EAD-∠B=65°-30°=35°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别三角形的外角，结合角平分线的性质找到角度之间的等量关系，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的角平分线条件入手，根据角平分线的定义可求出∠EAD的度数；再观察∠EAD的位置，发现它是△ABD的外角，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可建立∠EAD、∠B、∠D之间的数量关系，代入已知角度就能求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AD平分△ABC的外角∠CAE，∠CAD=65°，
∴∠EAD=∠CAD=65°。
∵∠EAD是△ABD的外角，
∴∠EAD=∠B+∠D。
又
∵∠B=30°，
∴∠D=∠EAD-∠B=65°-30°=35°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确识别三角形的外角，结合角平分线的性质找到角度之间的等量关系，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
5.如图,三个角的度数已标注,则α=
114
°.答案
5.114
解析
【分析】
本题可通过三角形内角和定理求解。首先利用大三角形的内角和求出两个底角的总度数，再减去已知的24°和32°，得到α所在三角形其余两个内角的和，最后再次借助三角形内角和即可算出α的度数。
【解析】
根据三角形内角和为$180°$：
1. 先求大三角形两个底角的度数和：
$180° - 58° = 122°$
2. 大三角形的两个底角分别被线段分为24°、一个小角和32°、另一个小角，因此两个小角的度数和为：
$122° - 24° - 32° = 66°$
3. 在α所在的三角形中，三个内角和为$180°$，因此：
$α = 180° - 66° = 114°$
【答案】
114
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心考查三角形内角和定理的灵活运用，解题的关键是理清图中各角之间的和差关系，熟练掌握内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题可通过三角形内角和定理求解。首先利用大三角形的内角和求出两个底角的总度数，再减去已知的24°和32°，得到α所在三角形其余两个内角的和，最后再次借助三角形内角和即可算出α的度数。
【解析】
根据三角形内角和为$180°$：
1. 先求大三角形两个底角的度数和：
$180° - 58° = 122°$
2. 大三角形的两个底角分别被线段分为24°、一个小角和32°、另一个小角，因此两个小角的度数和为：
$122° - 24° - 32° = 66°$
3. 在α所在的三角形中，三个内角和为$180°$，因此：
$α = 180° - 66° = 114°$
【答案】
114
【知识点】
三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心考查三角形内角和定理的灵活运用，解题的关键是理清图中各角之间的和差关系，熟练掌握内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.如图,在$△ ABC$中,点D在BC的延长线上,F是边AB上一点,延长CA到点E,连接EF,则$∠ 1,∠ 2,∠ 3$的大小关系是
∠1＞∠2＞∠3
.答案
6.$∠1＞∠2＞∠3$
解析
【分析】
要比较∠1、∠2、∠3的大小，可利用三角形外角的性质推导：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。首先判断∠2是△AEF的外角，∠3是该外角对应的不相邻内角，可先得到∠2与∠3的大小关系；再判断∠1是△ABC的外角，∠2是该外角对应的不相邻内角，得到∠1与∠2的大小关系，最后结合不等式的传递性即可得到三者的大小关系。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. ∠2是△AEF的外角，∠3是△AEF中与∠2不相邻的内角，因此$∠ 2 ＞ ∠ 3$；
2. ∠1是△ABC的外角，∠2是△ABC中与∠1不相邻的内角，因此$∠ 1 ＞ ∠ 2$；
结合上述结论可得：$∠ 1 ＞ ∠ 2 ＞ ∠ 3$。
【答案】
$∠ 1＞∠ 2＞∠ 3$
【知识点】
三角形外角的性质、角的大小比较
【点评】
本题属于基础的角度大小比较题型，解题核心是准确识别每个外角对应的三角形以及对应的不相邻内角，熟练掌握三角形外角性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要比较∠1、∠2、∠3的大小，可利用三角形外角的性质推导：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。首先判断∠2是△AEF的外角，∠3是该外角对应的不相邻内角，可先得到∠2与∠3的大小关系；再判断∠1是△ABC的外角，∠2是该外角对应的不相邻内角，得到∠1与∠2的大小关系，最后结合不等式的传递性即可得到三者的大小关系。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. ∠2是△AEF的外角，∠3是△AEF中与∠2不相邻的内角，因此$∠ 2 ＞ ∠ 3$；
2. ∠1是△ABC的外角，∠2是△ABC中与∠1不相邻的内角，因此$∠ 1 ＞ ∠ 2$；
结合上述结论可得：$∠ 1 ＞ ∠ 2 ＞ ∠ 3$。
【答案】
$∠ 1＞∠ 2＞∠ 3$
【知识点】
三角形外角的性质、角的大小比较
【点评】
本题属于基础的角度大小比较题型，解题核心是准确识别每个外角对应的三角形以及对应的不相邻内角，熟练掌握三角形外角性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
7.在$△ ABC$中，BD是边AC上的高，$∠ ABD=30°$，$∠ C=40°$，则$∠ ABC$的度数为
20°或80°
。答案
7.$20°$或$80°$
解析
【分析】
解题时首先明确BD是AC边上的高，可得∠ADB=90°，结合已知∠ABD=30°可先求出∠BAD的度数。需要注意：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需分两种情况讨论，分别结合三角形内角和定理计算∠ABC的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
① 当高BD在△ABC内部时：
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-30°=60°，
根据三角形内角和为180°，在△ABC中：
∠ABC=180°-∠BAD-∠C=180°-60°-40°=80°；
② 当高BD在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形，D在CA的延长线上）：
同理，在Rt△ABD中，∠BAD=180°-90°-30°=60°，
∴∠BAC=180°-∠BAD=180°-60°=120°，
根据三角形内角和为180°，在△ABC中：
∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-120°-40°=20°；
综上，∠ABC的度数为20°或80°。
【答案】
20°或80°
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 直角三角形两锐角互余
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略三角形的高可能在外部的情况，导致只算出80°这一个结果，解题时要注意结合三角形的形状分类讨论，熟练运用角度计算的相关定理求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确BD是AC边上的高，可得∠ADB=90°，结合已知∠ABD=30°可先求出∠BAD的度数。需要注意：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需分两种情况讨论，分别结合三角形内角和定理计算∠ABC的度数，避免漏解。
【解析】
分两种情况计算：
① 当高BD在△ABC内部时：
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-30°=60°，
根据三角形内角和为180°，在△ABC中：
∠ABC=180°-∠BAD-∠C=180°-60°-40°=80°；
② 当高BD在△ABC外部时（此时△ABC为钝角三角形，D在CA的延长线上）：
同理，在Rt△ABD中，∠BAD=180°-90°-30°=60°，
∴∠BAC=180°-∠BAD=180°-60°=120°，
根据三角形内角和为180°，在△ABC中：
∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-120°-40°=20°；
综上，∠ABC的度数为20°或80°。
【答案】
20°或80°
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 直角三角形两锐角互余
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略三角形的高可能在外部的情况，导致只算出80°这一个结果，解题时要注意结合三角形的形状分类讨论，熟练运用角度计算的相关定理求解。
【难度系数】
0.6
8.将一副三角板按如图所示叠放，则图中α的度数为
15°
.答案
8.$15°$
解析
【分析】
解题时首先要明确一副三角板的各个内角度数：等腰直角三角板的两个锐角均为45°，另一个直角三角板的两个锐角分别为30°和60°。观察图形可知，角α是45°角和30°角的差，只需用45°减去30°即可求出α的度数。
【解析】
已知一副三角板中，等腰直角三角板的锐角为45°，含30°角的直角三角板的较小锐角为30°，由图中角的位置关系可得：
α = 45° - 30° = 15°
【答案】
15°
【知识点】
三角板的角度特征、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角板固定角度的识记和简单的角的运算，熟练掌握三角板各内角度数是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确一副三角板的各个内角度数：等腰直角三角板的两个锐角均为45°，另一个直角三角板的两个锐角分别为30°和60°。观察图形可知，角α是45°角和30°角的差，只需用45°减去30°即可求出α的度数。
【解析】
已知一副三角板中，等腰直角三角板的锐角为45°，含30°角的直角三角板的较小锐角为30°，由图中角的位置关系可得：
α = 45° - 30° = 15°
【答案】
15°
【知识点】
三角板的角度特征、角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角板固定角度的识记和简单的角的运算，熟练掌握三角板各内角度数是解题的关键。
【难度系数】
0.9
