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9.如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,AE平分$∠ BAC$,$∠ B=75°$,$∠ C=45°$,求$∠ DAE$与$∠ AEC$的度数.
答案
9.$\because∠ B+∠ C+∠ BAC=180°,∠ B=75°,∠ C=45°,$
$\therefore∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-75°-45°=60°.$
$\because AE$平分$∠ BAC,\therefore∠ BAE=∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°.$
$\because AD$是边$BC$上的高,$\therefore∠ B+∠ BAD=90°.$
$\therefore∠ BAD=90°-∠ B=15°.\therefore∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=30°-15°=15°.$
$\because∠ AEC$是$△ AEB$的外角，
$\therefore∠ AEC=∠ B+∠ BAE=75°+30°=105°.$
$\therefore∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-75°-45°=60°.$
$\because AE$平分$∠ BAC,\therefore∠ BAE=∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°.$
$\because AD$是边$BC$上的高,$\therefore∠ B+∠ BAD=90°.$
$\therefore∠ BAD=90°-∠ B=15°.\therefore∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=30°-15°=15°.$
$\because∠ AEC$是$△ AEB$的外角，
$\therefore∠ AEC=∠ B+∠ BAE=75°+30°=105°.$
解析
【分析】
要计算∠DAE与∠AEC的度数，可按如下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数，先求出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，由AE平分∠BAC得到∠BAE的度数；接着利用AD是BC边上的高，可知△ABD是直角三角形，两锐角互余，即可求出∠BAD的度数，∠DAE就是∠BAE与∠BAD的差；最后求∠AEC时，利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠AEC是△ABE的外角，直接用∠B加∠BAE即可快速算出结果。
【解析】
$\because∠ B+∠ C+∠ BAC=180°,∠ B=75°,∠ C=45°,$
$\therefore∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-75°-45°=60°.$
$\because AE$平分$∠ BAC,\therefore∠ BAE=∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°.$
$\because AD$是边$BC$上的高,$\therefore∠ B+∠ BAD=90°.$
$\therefore∠ BAD=90°-∠ B=15°.\therefore∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=30°-15°=15°.$
$\because∠ AEC$是$△ AEB$的外角，
$\therefore∠ AEC=∠ B+∠ BAE=75°+30°=105°.$
【答案】
$∠DAE=15°$，$∠AEC=105°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规基础题，综合考查了三角形高线、角平分线的性质与内角和、外角性质，解题关键是理清各角之间的数量关系，按顺序逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.8
要计算∠DAE与∠AEC的度数，可按如下思路推导：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数，先求出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，由AE平分∠BAC得到∠BAE的度数；接着利用AD是BC边上的高，可知△ABD是直角三角形，两锐角互余，即可求出∠BAD的度数，∠DAE就是∠BAE与∠BAD的差；最后求∠AEC时，利用三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，∠AEC是△ABE的外角，直接用∠B加∠BAE即可快速算出结果。
【解析】
$\because∠ B+∠ C+∠ BAC=180°,∠ B=75°,∠ C=45°,$
$\therefore∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-75°-45°=60°.$
$\because AE$平分$∠ BAC,\therefore∠ BAE=∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°.$
$\because AD$是边$BC$上的高,$\therefore∠ B+∠ BAD=90°.$
$\therefore∠ BAD=90°-∠ B=15°.\therefore∠ DAE=∠ BAE-∠ BAD=30°-15°=15°.$
$\because∠ AEC$是$△ AEB$的外角，
$\therefore∠ AEC=∠ B+∠ BAE=75°+30°=105°.$
【答案】
$∠DAE=15°$，$∠AEC=105°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规基础题，综合考查了三角形高线、角平分线的性质与内角和、外角性质，解题关键是理清各角之间的数量关系，按顺序逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.8
10.如图，$l_1 // l_2$，则下列式子中，代数式的值为$180°$的是(
A.$α + β + \gamma$
B.$α + β - \gamma$
C.$β + \gamma - α$
D.$α - β + \gamma$
B
).A.$α + β + \gamma$
B.$α + β - \gamma$
C.$β + \gamma - α$
D.$α - β + \gamma$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知$l_1// l_2$，首先想到利用平行线的性质得到角的等量或互补关系；再结合图中的三角形，利用三角形内角和定理建立角之间的等式，最后整理等式即可判断哪个代数式的值为$180°$。
【解析】
设斜线与$l_2$相交所形成的、位于$l_2$上方且在斜线左侧的角为$∠ 2$。
1. 根据平行线的性质：
∵ $l_1 // l_2$，
∴ $α + ∠ 2 = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
2. 根据三角形内角和定理：
在下方的三角形中，三个内角分别为$∠ 2$、$\gamma$、$180°-β$（$β$与相邻内角组成平角，因此该内角为$180°-β$），因此有：
$∠ 2 + \gamma + (180° - β) = 180°$
整理得：$∠ 2 = β - \gamma$。
3. 代入化简：
将$∠ 2 = β - \gamma$代入$α + ∠ 2 = 180°$，可得$α + β - \gamma = 180°$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是结合平行线的性质和三角形内角和建立角的关系，解题时要注意观察图形中平角、三角形内角等隐含条件，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，已知$l_1// l_2$，首先想到利用平行线的性质得到角的等量或互补关系；再结合图中的三角形，利用三角形内角和定理建立角之间的等式，最后整理等式即可判断哪个代数式的值为$180°$。
【解析】
设斜线与$l_2$相交所形成的、位于$l_2$上方且在斜线左侧的角为$∠ 2$。
1. 根据平行线的性质：
∵ $l_1 // l_2$，
∴ $α + ∠ 2 = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
2. 根据三角形内角和定理：
在下方的三角形中，三个内角分别为$∠ 2$、$\gamma$、$180°-β$（$β$与相邻内角组成平角，因此该内角为$180°-β$），因此有：
$∠ 2 + \gamma + (180° - β) = 180°$
整理得：$∠ 2 = β - \gamma$。
3. 代入化简：
将$∠ 2 = β - \gamma$代入$α + ∠ 2 = 180°$，可得$α + β - \gamma = 180°$。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，核心是结合平行线的性质和三角形内角和建立角的关系，解题时要注意观察图形中平角、三角形内角等隐含条件，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=α$,点$D$在$BC$的延长线上,$∠ ABC$与$∠ ACD$的平分线相交于点$A_1$,得到$∠ A_1$;$∠ A_1BC$与$∠ A_1CD$的平分线相交于点$A_2$,得到$∠ A_2$……$∠ A_{2025}BC$与$∠ A_{2025}CD$的平分线相交于点$A_{2026}$,得到$∠ A_{2026}$,则$∠ A_{2026}$的度数为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$（用含有$α$的式子表示）.
答案
11.$\frac{α}{2^{2026}}$
解析
【分析】
解题时先利用三角形外角性质和角平分线的定义，推导得到∠A₁与∠A的数量关系，再同理推导∠A₂与∠A₁的关系，归纳出角度变化的一般规律，最后代入n=2026即可求出∠A₂₀₂₆的度数。首先明确三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线可将角分为两个相等的角，先建立首个衍生角和原角的关系，再观察每次角平分后角度的变化规律即可。
【解析】
解：
∵ $BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$
∴ $∠ A_1BC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD=\frac{1}{2}∠ ACD$
根据三角形外角的性质可得：$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$，$∠ A_1CD=∠ A_1+∠ A_1BC$
将$∠ A_1BC$、$∠ A_1CD$代入第二个外角公式得：
$\frac{1}{2}∠ ACD=∠ A_1+\frac{1}{2}∠ ABC$
两边同乘2得：$∠ ACD=2∠ A_1+∠ ABC$
结合$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$，可得：
$∠ A+∠ ABC=2∠ A_1+∠ ABC$
消去$∠ ABC$后得$∠ A_1=\frac{1}{2}∠ A=\frac{α}{2}$
同理可证：$∠ A_2=\frac{1}{2}∠ A_1=\frac{α}{2^2}$，$∠ A_3=\frac{1}{2}∠ A_2=\frac{α}{2^3}$
……
归纳可得通用规律：$∠ A_n=\frac{α}{2^n}$
当$n=2026$时，$∠ A_{2026}=\frac{α}{2^{2026}}$
【答案】
$\frac{α}{2^{2026}}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题的核心是利用三角形外角性质和角平分线定义推导出相邻两个角的数量关系，再归纳得到通用规律，掌握基础几何性质是探究这类规律题的前提。
【难度系数】
0.6
解题时先利用三角形外角性质和角平分线的定义，推导得到∠A₁与∠A的数量关系，再同理推导∠A₂与∠A₁的关系，归纳出角度变化的一般规律，最后代入n=2026即可求出∠A₂₀₂₆的度数。首先明确三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，角平分线可将角分为两个相等的角，先建立首个衍生角和原角的关系，再观察每次角平分后角度的变化规律即可。
【解析】
解：
∵ $BA_1$平分$∠ ABC$，$CA_1$平分$∠ ACD$
∴ $∠ A_1BC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ A_1CD=\frac{1}{2}∠ ACD$
根据三角形外角的性质可得：$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$，$∠ A_1CD=∠ A_1+∠ A_1BC$
将$∠ A_1BC$、$∠ A_1CD$代入第二个外角公式得：
$\frac{1}{2}∠ ACD=∠ A_1+\frac{1}{2}∠ ABC$
两边同乘2得：$∠ ACD=2∠ A_1+∠ ABC$
结合$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$，可得：
$∠ A+∠ ABC=2∠ A_1+∠ ABC$
消去$∠ ABC$后得$∠ A_1=\frac{1}{2}∠ A=\frac{α}{2}$
同理可证：$∠ A_2=\frac{1}{2}∠ A_1=\frac{α}{2^2}$，$∠ A_3=\frac{1}{2}∠ A_2=\frac{α}{2^3}$
……
归纳可得通用规律：$∠ A_n=\frac{α}{2^n}$
当$n=2026$时，$∠ A_{2026}=\frac{α}{2^{2026}}$
【答案】
$\frac{α}{2^{2026}}$
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题的核心是利用三角形外角性质和角平分线定义推导出相邻两个角的数量关系，再归纳得到通用规律，掌握基础几何性质是探究这类规律题的前提。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C$，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，$∠ ADE=∠ AED$。
(1)若$∠ B=∠ BAD=50°$，求$∠ CDE$的度数。
(2)猜想$∠ BAD$与$∠ CDE$的数量关系并证明。
(1)若$∠ B=∠ BAD=50°$，求$∠ CDE$的度数。
(2)猜想$∠ BAD$与$∠ CDE$的数量关系并证明。
答案
12.(1) $\because∠ B=∠ C=∠ BAD=50°,$
$\therefore∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=80°,∠ DAE=30°.$
$\therefore∠ AED=∠ ADE=\frac{1}{2}（180°-30°）=75°,$
$∠ CDE=∠ AED-∠ C=25°.$
(2)$∠ BAD=2∠ CDE$,证明如下：
依题意,设$∠ B=∠ C=α,∠ ADE=∠ AED=β,$
则$∠ BAC=180°-2α,∠ DAE=180°-2β,$
$\therefore∠ BAD=∠ BAC-∠ DAE=(180°-2α)-(180°-2β)=2(β-α),$
$∠ CDE=∠ AED-∠ C=β-α.$
$\therefore∠ BAD=2∠ CDE.$
$\therefore∠ BAC=180°-∠ C-∠ B=80°,∠ DAE=30°.$
$\therefore∠ AED=∠ ADE=\frac{1}{2}（180°-30°）=75°,$
$∠ CDE=∠ AED-∠ C=25°.$
(2)$∠ BAD=2∠ CDE$,证明如下：
依题意,设$∠ B=∠ C=α,∠ ADE=∠ AED=β,$
则$∠ BAC=180°-2α,∠ DAE=180°-2β,$
$\therefore∠ BAD=∠ BAC-∠ DAE=(180°-2α)-(180°-2β)=2(β-α),$
$∠ CDE=∠ AED-∠ C=β-α.$
$\therefore∠ BAD=2∠ CDE.$
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据已知的∠B、∠C的度数，利用三角形内角和计算出△ABC的顶角∠BAC，再减去∠BAD得到∠DAE的度数；接着在△ADE中，利用∠ADE=∠AED的条件结合内角和算出∠AED的度数；最后根据三角形外角的性质，∠AED是△CDE的外角，等于∠C与∠CDE之和，作差即可求出∠CDE的度数。
(2) 解题思路：要推导∠BAD和∠CDE的数量关系，可通过设参数的方法，将相等的角用相同字母表示，分别用参数表示出∠BAD和∠CDE，化简后即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 解：$\because∠B=∠C=∠BAD=50°,$
$\therefore$在$△ ABC$中，$∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-50°-50°=80°,$
$\therefore∠DAE=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°,$
$\because∠ADE=∠AED,$
$\therefore$在$△ ADE$中，$∠AED=\frac{1}{2}(180°-∠DAE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°,$
$\because∠AED$是$△ CDE$的外角，
$\therefore∠AED=∠C+∠CDE,$
$\therefore∠CDE=∠AED-∠C=75°-50°=25°$。
(2) 猜想：$∠BAD=2∠CDE$，证明如下：
设$∠B=∠C=α,∠ADE=∠AED=β,$
在$△ ABC$中，$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2α,$
在$△ ADE$中，$∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-2β,$
$\therefore∠BAD=∠BAC-∠DAE=(180°-2α)-(180°-2β)=2(β-α),$
又$\because∠AED$是$△ CDE$的外角，
$\therefore∠CDE=∠AED-∠C=β-α,$
$\therefore∠BAD=2∠CDE$。
【答案】
(1) $\boxed{25°}$
(2) $\boxed{∠BAD=2∠CDE}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题时结合等腰三角形等边对等角的性质，灵活运用三角形内角和与外角性质进行角度推导，用设参数的方法处理角度关系问题更清晰便捷，能有效避免角度混淆。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：首先根据已知的∠B、∠C的度数，利用三角形内角和计算出△ABC的顶角∠BAC，再减去∠BAD得到∠DAE的度数；接着在△ADE中，利用∠ADE=∠AED的条件结合内角和算出∠AED的度数；最后根据三角形外角的性质，∠AED是△CDE的外角，等于∠C与∠CDE之和，作差即可求出∠CDE的度数。
(2) 解题思路：要推导∠BAD和∠CDE的数量关系，可通过设参数的方法，将相等的角用相同字母表示，分别用参数表示出∠BAD和∠CDE，化简后即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 解：$\because∠B=∠C=∠BAD=50°,$
$\therefore$在$△ ABC$中，$∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-50°-50°=80°,$
$\therefore∠DAE=∠BAC-∠BAD=80°-50°=30°,$
$\because∠ADE=∠AED,$
$\therefore$在$△ ADE$中，$∠AED=\frac{1}{2}(180°-∠DAE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°,$
$\because∠AED$是$△ CDE$的外角，
$\therefore∠AED=∠C+∠CDE,$
$\therefore∠CDE=∠AED-∠C=75°-50°=25°$。
(2) 猜想：$∠BAD=2∠CDE$，证明如下：
设$∠B=∠C=α,∠ADE=∠AED=β,$
在$△ ABC$中，$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-2α,$
在$△ ADE$中，$∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-2β,$
$\therefore∠BAD=∠BAC-∠DAE=(180°-2α)-(180°-2β)=2(β-α),$
又$\because∠AED$是$△ CDE$的外角，
$\therefore∠CDE=∠AED-∠C=β-α,$
$\therefore∠BAD=2∠CDE$。
【答案】
(1) $\boxed{25°}$
(2) $\boxed{∠BAD=2∠CDE}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题时结合等腰三角形等边对等角的性质，灵活运用三角形内角和与外角性质进行角度推导，用设参数的方法处理角度关系问题更清晰便捷，能有效避免角度混淆。
【难度系数】
0.7
13.已知$∠ MON$，点$A$，$B$分别在射线$ON$，$OM$上移动（不与点$O$重合），$AD$平分$∠ BAN$，$BC$平分$∠ ABM$，直线$AD$，$BC$相交于点$C$.
(1)如图①，若$∠ MON＝90°$，试猜想$∠ ACB$的度数，并直接写出结果.
(2)如图②，若$∠ MON＝α$，当点$A$，$B$在射线$ON$，$OM$上运动时，$∠ ACB$的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含$α$的式子表示）；若改变，请说明理由.
(3)如图③，若$∠ MON＝α$，$BC$平分$∠ ABO$，其他条件不改变，(2)中的结论是否仍然成立？请直接写出你的结论.
(1)如图①，若$∠ MON＝90°$，试猜想$∠ ACB$的度数，并直接写出结果.
(2)如图②，若$∠ MON＝α$，当点$A$，$B$在射线$ON$，$OM$上运动时，$∠ ACB$的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含$α$的式子表示）；若改变，请说明理由.
(3)如图③，若$∠ MON＝α$，$BC$平分$∠ ABO$，其他条件不改变，(2)中的结论是否仍然成立？请直接写出你的结论.
答案
13.(1)$∠ ACB=45°.$
(2)$∠ ACB$的度数不变,且$∠ ACB=90°-\frac{1}{2}α.$
(3)结论不成立,$∠ ACB=\frac{1}{2}α.$
(2)$∠ ACB$的度数不变,且$∠ ACB=90°-\frac{1}{2}α.$
(3)结论不成立,$∠ ACB=\frac{1}{2}α.$
解析
【分析】
本题是角平分线性质与三角形内外角关系的综合应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先利用三角形内角和求出△AOB中两个内角的和，再结合邻补角性质求出两个外角∠BAN、∠ABM的和，接着通过角平分线定义得到△ACB中两个内角的和，最后用三角形内角和定理计算∠ACB的度数。
2. 第(2)问：将∠MON的度数替换为α，沿用第(1)问的推导逻辑，即可得到∠ACB的通用表达式。
3. 第(3)问：注意此时BC平分的是∠ABO而非∠ABM，先利用三角形外角性质得到∠BAN与∠MON、∠ABO的关系，再结合角平分线定义和三角形外角性质推导∠ACB的度数，对比(2)的结论判断是否成立。
【解析】
(1)
∵∠MON=90°，
在△AOB中，∠OAB + ∠OBA = 180° - ∠MON = 90°，
∵∠BAN = 180° - ∠OAB，∠ABM = 180° - ∠OBA，
∴∠BAN + ∠ABM = 360° - (∠OAB + ∠OBA) = 270°，
∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAN$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABM$，
∴$∠ BAD+∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ BAN+∠ ABM)=135°$，
在△ACB中，$∠ ACB=180°-(∠ BAD+∠ ABC)=45°$。
(2) ∠ACB的度数不改变，推导如下：
在△AOB中，∠OAB + ∠OBA = 180° - α，
∴∠BAN + ∠ABM = 360° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° + α，
∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAN$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABM$，
∴$∠ BAD+∠ ABC=\frac{1}{2}(180°+α)=90°+\frac{1}{2}α$，
在△ACB中，$∠ ACB=180°-(90°+\frac{1}{2}α)=90°-\frac{1}{2}α$。
(3) (2)的结论不成立，推导如下：
∵∠BAN是△AOB的外角，
∴∠BAN = α + ∠ABO，
∵AD平分∠BAN，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAN=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}∠ ABO$，
∵BC平分∠ABO，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABO$，
∵∠BAD是△ABC的外角，
∴∠BAD = ∠ACB + ∠ABC，
代入得：$\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}∠ ABO=∠ ACB+\frac{1}{2}∠ ABO$，
化简得$∠ ACB=\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACB=45°}$
(2) $\boldsymbol{∠ACB}$的度数不变，$\boldsymbol{∠ACB=90°-\frac{1}{2}α}$
(3) 结论不成立，$\boldsymbol{∠ACB=\frac{1}{2}α}$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题侧重考查角的和差推导能力，解题核心是准确识别不同图形下的角的位置关系，注意区分被平分的角的范围，灵活运用三角形内外角性质即可求解。
【难度系数】
0.6
本题是角平分线性质与三角形内外角关系的综合应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先利用三角形内角和求出△AOB中两个内角的和，再结合邻补角性质求出两个外角∠BAN、∠ABM的和，接着通过角平分线定义得到△ACB中两个内角的和，最后用三角形内角和定理计算∠ACB的度数。
2. 第(2)问：将∠MON的度数替换为α，沿用第(1)问的推导逻辑，即可得到∠ACB的通用表达式。
3. 第(3)问：注意此时BC平分的是∠ABO而非∠ABM，先利用三角形外角性质得到∠BAN与∠MON、∠ABO的关系，再结合角平分线定义和三角形外角性质推导∠ACB的度数，对比(2)的结论判断是否成立。
【解析】
(1)
∵∠MON=90°，
在△AOB中，∠OAB + ∠OBA = 180° - ∠MON = 90°，
∵∠BAN = 180° - ∠OAB，∠ABM = 180° - ∠OBA，
∴∠BAN + ∠ABM = 360° - (∠OAB + ∠OBA) = 270°，
∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAN$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABM$，
∴$∠ BAD+∠ ABC=\frac{1}{2}(∠ BAN+∠ ABM)=135°$，
在△ACB中，$∠ ACB=180°-(∠ BAD+∠ ABC)=45°$。
(2) ∠ACB的度数不改变，推导如下：
在△AOB中，∠OAB + ∠OBA = 180° - α，
∴∠BAN + ∠ABM = 360° - (∠OAB + ∠OBA) = 180° + α，
∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAN$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABM$，
∴$∠ BAD+∠ ABC=\frac{1}{2}(180°+α)=90°+\frac{1}{2}α$，
在△ACB中，$∠ ACB=180°-(90°+\frac{1}{2}α)=90°-\frac{1}{2}α$。
(3) (2)的结论不成立，推导如下：
∵∠BAN是△AOB的外角，
∴∠BAN = α + ∠ABO，
∵AD平分∠BAN，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAN=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}∠ ABO$，
∵BC平分∠ABO，
∴$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABO$，
∵∠BAD是△ABC的外角，
∴∠BAD = ∠ACB + ∠ABC，
代入得：$\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}∠ ABO=∠ ACB+\frac{1}{2}∠ ABO$，
化简得$∠ ACB=\frac{1}{2}α$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACB=45°}$
(2) $\boldsymbol{∠ACB}$的度数不变，$\boldsymbol{∠ACB=90°-\frac{1}{2}α}$
(3) 结论不成立，$\boldsymbol{∠ACB=\frac{1}{2}α}$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题侧重考查角的和差推导能力，解题核心是准确识别不同图形下的角的位置关系，注意区分被平分的角的范围，灵活运用三角形内外角性质即可求解。
【难度系数】
0.6
