登录
1.下列生活实物中,不是利用三角形的稳定性的是( 
).
).答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要掌握两个基本图形特性：三角形具有稳定性，四边形具有易变形的不稳定性。解题时逐一分析各选项的结构，判断其利用的是哪种图形的特性即可：若实物结构为三角形，利用固定形状的特点则是用到三角形稳定性；若用到可变形的特点，则不是利用三角形稳定性。
【解析】
三角形的特性是具有稳定性，边长固定时形状不会发生改变；四边形的特性是具有不稳定性，边长固定时形状仍可变化。
对各选项逐一分析：
A. 活动衣架由多个可活动的菱形（四边形）结构组成，可伸缩变形，利用的是四边形的不稳定性，不是三角形的稳定性；
B. 三脚架的结构中存在多个三角形，放置时稳固不易晃动，利用了三角形的稳定性；
C. 太阳能热水器的支架为三角形结构，可固定热水器避免变形倾倒，利用了三角形的稳定性；
D. 梯子加装拉杆后，拉杆与梯子两边构成三角形结构，使梯子使用时更稳固，利用了三角形的稳定性。
综上，符合题意的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题结合生活中的常见实物考查几何图形的基本特性，贴近生活，难度较低，解题的核心是准确区分三角形稳定性和四边形不稳定性的应用场景，平时多观察生活中的几何结构可以帮助我们更熟练掌握这类知识点。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要掌握两个基本图形特性：三角形具有稳定性，四边形具有易变形的不稳定性。解题时逐一分析各选项的结构，判断其利用的是哪种图形的特性即可：若实物结构为三角形，利用固定形状的特点则是用到三角形稳定性；若用到可变形的特点，则不是利用三角形稳定性。
【解析】
三角形的特性是具有稳定性，边长固定时形状不会发生改变；四边形的特性是具有不稳定性，边长固定时形状仍可变化。
对各选项逐一分析：
A. 活动衣架由多个可活动的菱形（四边形）结构组成，可伸缩变形，利用的是四边形的不稳定性，不是三角形的稳定性；
B. 三脚架的结构中存在多个三角形，放置时稳固不易晃动，利用了三角形的稳定性；
C. 太阳能热水器的支架为三角形结构，可固定热水器避免变形倾倒，利用了三角形的稳定性；
D. 梯子加装拉杆后，拉杆与梯子两边构成三角形结构，使梯子使用时更稳固，利用了三角形的稳定性。
综上，符合题意的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题结合生活中的常见实物考查几何图形的基本特性，贴近生活，难度较低，解题的核心是准确区分三角形稳定性和四边形不稳定性的应用场景，平时多观察生活中的几何结构可以帮助我们更熟练掌握这类知识点。
【难度系数】
0.9
2.如图,折叠一张钝角三角形纸片(∠A为钝角),不能成功折出的是(
A.边AB的中线
B.边AB上的高
C.∠A的平分线
D.边BC上的高
B
).A.边AB的中线
B.边AB上的高
C.∠A的平分线
D.边BC上的高
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确折叠的本质是折痕两侧的部分可以重合，其次回忆三角形的中线、高、角平分线的定义以及它们在钝角三角形中的位置特征，结合本题中∠A为钝角的条件，逐一判断每个选项对应的线段是否可以通过折叠该三角形纸片得到即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：折边AB的中线时，将点A和点B对折重合，折痕与AB的交点就是AB的中点，连接点C与该中点的折痕即为AB的中线，可成功折出，不符合题意。
2. 选项B：边AB上的高是过点C向AB所在直线作的垂线段，由于∠A是钝角，该高的垂足落在BA的延长线上，不在三角形纸片的AB边上，也不属于三角形纸片的区域，因此无法通过折叠该三角形纸片得到AB边上的高，符合题意。
3. 选项C：折∠A的平分线时，将AB边和AC边对折重合，得到的折痕就是∠A的平分线，在三角形内部，可成功折出，不符合题意。
4. 选项D：边BC上的高是过点A向BC作的垂线段，因为∠B和∠C都是锐角，垂足落在BC边上，可通过折叠让点A的对应点落在BC上、折痕垂直BC得到该高，可成功折出，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题考查三角形三类重要线段的位置特点，解题关键是明确钝角三角形有两条高落在三角形外部，无法仅通过折叠三角形本身得到，其余中线、角平分线以及最长边上的高都在三角形内部，可正常折出。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确折叠的本质是折痕两侧的部分可以重合，其次回忆三角形的中线、高、角平分线的定义以及它们在钝角三角形中的位置特征，结合本题中∠A为钝角的条件，逐一判断每个选项对应的线段是否可以通过折叠该三角形纸片得到即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：折边AB的中线时，将点A和点B对折重合，折痕与AB的交点就是AB的中点，连接点C与该中点的折痕即为AB的中线，可成功折出，不符合题意。
2. 选项B：边AB上的高是过点C向AB所在直线作的垂线段，由于∠A是钝角，该高的垂足落在BA的延长线上，不在三角形纸片的AB边上，也不属于三角形纸片的区域，因此无法通过折叠该三角形纸片得到AB边上的高，符合题意。
3. 选项C：折∠A的平分线时，将AB边和AC边对折重合，得到的折痕就是∠A的平分线，在三角形内部，可成功折出，不符合题意。
4. 选项D：边BC上的高是过点A向BC作的垂线段，因为∠B和∠C都是锐角，垂足落在BC边上，可通过折叠让点A的对应点落在BC上、折痕垂直BC得到该高，可成功折出，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高；三角形的中线；三角形的角平分线
【点评】
本题考查三角形三类重要线段的位置特点，解题关键是明确钝角三角形有两条高落在三角形外部，无法仅通过折叠三角形本身得到，其余中线、角平分线以及最长边上的高都在三角形内部，可正常折出。
【难度系数】
0.7
3.如图，在$△ ABC$中，D，E分别是BC，AD的中点.若$S_{△ ABC}=4$，则$△ ABE$的面积为(
A.0.5
B.2
C.1.5
D.1
D
).A.0.5
B.2
C.1.5
D.1
答案
D
解析
【分析】
解题时利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先D是BC的中点，可得AD是△ABC的中线，先求出△ABD的面积；再由E是AD的中点，可得BE是△ABD的中线，进而求出△ABE的面积即可。
【解析】
∵ D是BC的中点，
∴ AD是△ABC的中线，根据等底同高的三角形面积相等，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=4$，代入得$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2$。
又
∵ E是AD的中点，
∴ BE是△ABD的中线，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×2=1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 等底同高三角形面积关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握三角形中线将三角形分为面积相等的两部分这一性质，两次运用该性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。首先D是BC的中点，可得AD是△ABC的中线，先求出△ABD的面积；再由E是AD的中点，可得BE是△ABD的中线，进而求出△ABE的面积即可。
【解析】
∵ D是BC的中点，
∴ AD是△ABC的中线，根据等底同高的三角形面积相等，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=4$，代入得$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2$。
又
∵ E是AD的中点，
∴ BE是△ABD的中线，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×2=1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形中线的性质
2. 等底同高三角形面积关系
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握三角形中线将三角形分为面积相等的两部分这一性质，两次运用该性质即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，D为AB上一点，连接CD，$CE ⊥ AB$，垂足为E，则以CE为高的三角形有(
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
D
)。A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
D
解析
【分析】
解决本题首先要回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该三角形这条边上的高。已知CE⊥AB，说明CE垂直于AB所在直线，因此所有以C为顶点、底边在AB上的三角形，CE都是它们的高。接下来只需要数出AB边上共有多少条不同的线段，即可对应得到以CE为高的三角形的个数，计数时注意不重复、不遗漏。
【解析】
根据三角形高的定义可知：若一条线段是三角形的高，则这条线段垂直于三角形的一条边，且经过这条边所对的顶点。
已知CE⊥AB，因此只要三角形的一条边在直线AB上，且第三个顶点为C，CE就是该三角形的高。
直线AB上共有A、D、E、B4个点，可组成的线段有AD、AE、AB、DE、DB、EB，共6条，对应6个以C为顶点的三角形，分别为△ACD、△ACE、△ACB、△CDE、△CDB、△CEB，因此以CE为高的三角形有6个。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高、线段计数
【点评】
本题核心是对三角形高的概念的理解，解题时不要误以为只有锐角三角形内部的高才符合要求，只要满足高的定义即可，计数时按顺序数线段能有效避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该三角形这条边上的高。已知CE⊥AB，说明CE垂直于AB所在直线，因此所有以C为顶点、底边在AB上的三角形，CE都是它们的高。接下来只需要数出AB边上共有多少条不同的线段，即可对应得到以CE为高的三角形的个数，计数时注意不重复、不遗漏。
【解析】
根据三角形高的定义可知：若一条线段是三角形的高，则这条线段垂直于三角形的一条边，且经过这条边所对的顶点。
已知CE⊥AB，因此只要三角形的一条边在直线AB上，且第三个顶点为C，CE就是该三角形的高。
直线AB上共有A、D、E、B4个点，可组成的线段有AD、AE、AB、DE、DB、EB，共6条，对应6个以C为顶点的三角形，分别为△ACD、△ACE、△ACB、△CDE、△CDB、△CEB，因此以CE为高的三角形有6个。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高、线段计数
【点评】
本题核心是对三角形高的概念的理解，解题时不要误以为只有锐角三角形内部的高才符合要求，只要满足高的定义即可，计数时按顺序数线段能有效避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
5.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,3)，在x轴上有一点P，使△AOP的面积为3，则点P的坐标为
(2,0)或(-2,0)
。答案
(2,0)或(-2,0)
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确△AOP的顶点O为原点，点P在x轴上，因此边OP落在x轴上，OP边上的高就是点A到x轴的距离，即点A纵坐标的绝对值，为固定值3。接下来利用三角形面积公式求出OP的长度，最后注意点P既可以在x轴正半轴，也可以在x轴负半轴，分两种情况即可得到P点坐标，避免漏解。
【解析】
解：设点P的坐标为$(x,0)$，则线段$OP$的长度为$|x|$。
∵点A的坐标为$(2,3)$，
∴点A到x轴的距离为3，即△AOP中OP边上的高$h=3$。
根据三角形面积公式$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× 底× 高$，代入$S_{△ AOP}=3$得：
$\frac{1}{2}× |x|×3=3$
化简得$|x|=2$，解得$x=2$或$x=-2$。
因此点P的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
$(2,0)$或$(-2,0)$
【知识点】
点到坐标轴的距离、三角形面积计算、坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标与几何结合的基础题，解题核心是快速确定三角形的高，同时要注意x轴上的点存在原点左右两种位置，不能遗漏负半轴的解，主要考查学生对基础知识的应用能力和做题的细心程度。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确△AOP的顶点O为原点，点P在x轴上，因此边OP落在x轴上，OP边上的高就是点A到x轴的距离，即点A纵坐标的绝对值，为固定值3。接下来利用三角形面积公式求出OP的长度，最后注意点P既可以在x轴正半轴，也可以在x轴负半轴，分两种情况即可得到P点坐标，避免漏解。
【解析】
解：设点P的坐标为$(x,0)$，则线段$OP$的长度为$|x|$。
∵点A的坐标为$(2,3)$，
∴点A到x轴的距离为3，即△AOP中OP边上的高$h=3$。
根据三角形面积公式$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}× 底× 高$，代入$S_{△ AOP}=3$得：
$\frac{1}{2}× |x|×3=3$
化简得$|x|=2$，解得$x=2$或$x=-2$。
因此点P的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
$(2,0)$或$(-2,0)$
【知识点】
点到坐标轴的距离、三角形面积计算、坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标与几何结合的基础题，解题核心是快速确定三角形的高，同时要注意x轴上的点存在原点左右两种位置，不能遗漏负半轴的解，主要考查学生对基础知识的应用能力和做题的细心程度。
【难度系数】
0.7
6.如图，在$△ ABC$中，D为边BC的中点，E为AB上一点.$AB=12$，$AC=8$.若$△ BDE$的周长比四边形AEDC的周长少2，则AE的长为
3
.答案
3
解析
【分析】
解题时首先明确两个图形的周长组成，利用D是BC中点得到BD=DC，再观察发现两个周长的公共部分是DE，计算周长差时可以抵消掉相等的BD、DC和公共边DE，从而得到AE、AC、BE之间的等量关系，再结合AB=AE+BE的已知条件，设未知数列方程即可求出AE的长度。
【解析】
设AE的长为$ x $，则$ BE = AB - AE = 12 - x $。
∵ D是BC的中点，
∴ $ BD = CD $。
由题意得：$ C_{\mathrm{四边形}AEDC} - C_{△ BDE} = 2 $
展开周长表达式：
$ (AE + AC + CD + DE) - (BE + BD + DE) = 2 $
化简，抵消相等的$ CD $与$ BD $、公共边$ DE $后得：
$ AE + AC - BE = 2 $
代入$ AC=8 $，$ AE=x $，$ BE=12-x $：
$ x + 8 - (12 - x) = 2 $
解方程：
$ x + 8 - 12 + x = 2 $
$ 2x - 4 = 2 $
$ 2x = 6 $
$ x = 3 $
【答案】
3
【知识点】
线段中点性质，周长的计算，一元一次方程应用
【点评】
本题属于三角形线段计算的常规题型，解题的核心是通过分析周长的组成，抵消相同的线段，简化等量关系，避免了对未知线段长度的求解，降低了计算量。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个图形的周长组成，利用D是BC中点得到BD=DC，再观察发现两个周长的公共部分是DE，计算周长差时可以抵消掉相等的BD、DC和公共边DE，从而得到AE、AC、BE之间的等量关系，再结合AB=AE+BE的已知条件，设未知数列方程即可求出AE的长度。
【解析】
设AE的长为$ x $，则$ BE = AB - AE = 12 - x $。
∵ D是BC的中点，
∴ $ BD = CD $。
由题意得：$ C_{\mathrm{四边形}AEDC} - C_{△ BDE} = 2 $
展开周长表达式：
$ (AE + AC + CD + DE) - (BE + BD + DE) = 2 $
化简，抵消相等的$ CD $与$ BD $、公共边$ DE $后得：
$ AE + AC - BE = 2 $
代入$ AC=8 $，$ AE=x $，$ BE=12-x $：
$ x + 8 - (12 - x) = 2 $
解方程：
$ x + 8 - 12 + x = 2 $
$ 2x - 4 = 2 $
$ 2x = 6 $
$ x = 3 $
【答案】
3
【知识点】
线段中点性质，周长的计算，一元一次方程应用
【点评】
本题属于三角形线段计算的常规题型，解题的核心是通过分析周长的组成，抵消相同的线段，简化等量关系，避免了对未知线段长度的求解，降低了计算量。
【难度系数】
0.7
7.将三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，折痕为BD(点D在线段AC上且不与点A，C重合)，若AB=8，BC=6，AC=5.
(1)如图①，若点C落在边AB上的点E处，求△ADE的周长.
(2)如图②，若点C落在边AB下方的点E处，求△ADE周长的取值范围.
(1)如图①，若点C落在边AB上的点E处，求△ADE的周长.
(2)如图②，若点C落在边AB下方的点E处，求△ADE周长的取值范围.
答案
(1)依题意，$BE=BC=6$，$CD=DE$，$AE=8-6=2$，
$△ ADE$ 的周长为 $AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=5+2=7$.
(2)依题意，$CD=DE$，$BE=BC=6$，
在$△ ADE$ 中，$AD+DE=AD+CD=AC=5$.
$\because AE＜AD+DE,\therefore AE＜5$.
在$△ ABE$ 中，$AE＞AB-BE$，
$\therefore AE＞2$，即 $2＜AE＜5$，
$\therefore 7＜C_{△ ADE}＜10$.
$△ ADE$ 的周长为 $AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=5+2=7$.
(2)依题意，$CD=DE$，$BE=BC=6$，
在$△ ADE$ 中，$AD+DE=AD+CD=AC=5$.
$\because AE＜AD+DE,\therefore AE＜5$.
在$△ ABE$ 中，$AE＞AB-BE$，
$\therefore AE＞2$，即 $2＜AE＜5$，
$\therefore 7＜C_{△ ADE}＜10$.
解析
【分析】
(1) 遇到折叠问题首先利用折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得$BE=BC$、$DE=CD$。求$△ ADE$的周长时，观察其边长组成为$AD+DE+AE$，可将$DE$替换为$CD$，则$AD+CD=AC$，再计算出$AE=AB-BE$，代入即可求出周长。
(2) 同样先由折叠性质得$DE=CD$、$BE=BC$，可知$△ ADE$的周长中$AD+DE=AC=5$，因此周长可转化为$5+AE$，只需确定$AE$的取值范围即可。利用三角形三边关系：在$△ ABE$中$AE＞AB-BE$，在$△ ADE$中$AE＜AD+DE$，即可得到$AE$的范围，进而得到周长的取值范围。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知：$BE=BC=6$，$CD=DE$，
$\therefore AE=AB-BE=8-6=2$，
$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE$，
代入$AC=5$，$AE=2$，得周长$=5+2=7$。
(2) 由折叠的性质可知：$CD=DE$，$BE=BC=6$，
$\therefore AD+DE=AD+CD=AC=5$，则$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE=5+AE$。
根据三角形三边关系：
①在$△ ADE$中，两边之和大于第三边，$\therefore AE＜AD+DE=5$；
②在$△ ABE$中，两边之差小于第三边，$\therefore AE＞AB-BE=8-6=2$。
综上可得$2＜AE＜5$，
$\therefore 5+2＜5+AE＜5+5$，即$7＜C_{△ ADE}＜10$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$
(2) $\boxed{7＜△ ADE的周长＜10}$
【知识点】
折叠的性质，三角形周长计算，三角形三边关系
【点评】
本题是几何常见题型，核心是利用折叠的性质实现边长的等量转化，将所求周长转化为已知边长加未知边的形式，再结合三角形三边关系求解边长范围，解题时要注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
(1) 遇到折叠问题首先利用折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得$BE=BC$、$DE=CD$。求$△ ADE$的周长时，观察其边长组成为$AD+DE+AE$，可将$DE$替换为$CD$，则$AD+CD=AC$，再计算出$AE=AB-BE$，代入即可求出周长。
(2) 同样先由折叠性质得$DE=CD$、$BE=BC$，可知$△ ADE$的周长中$AD+DE=AC=5$，因此周长可转化为$5+AE$，只需确定$AE$的取值范围即可。利用三角形三边关系：在$△ ABE$中$AE＞AB-BE$，在$△ ADE$中$AE＜AD+DE$，即可得到$AE$的范围，进而得到周长的取值范围。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知：$BE=BC=6$，$CD=DE$，
$\therefore AE=AB-BE=8-6=2$，
$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE$，
代入$AC=5$，$AE=2$，得周长$=5+2=7$。
(2) 由折叠的性质可知：$CD=DE$，$BE=BC=6$，
$\therefore AD+DE=AD+CD=AC=5$，则$△ ADE$的周长$=AD+DE+AE=5+AE$。
根据三角形三边关系：
①在$△ ADE$中，两边之和大于第三边，$\therefore AE＜AD+DE=5$；
②在$△ ABE$中，两边之差小于第三边，$\therefore AE＞AB-BE=8-6=2$。
综上可得$2＜AE＜5$，
$\therefore 5+2＜5+AE＜5+5$，即$7＜C_{△ ADE}＜10$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$
(2) $\boxed{7＜△ ADE的周长＜10}$
【知识点】
折叠的性质，三角形周长计算，三角形三边关系
【点评】
本题是几何常见题型，核心是利用折叠的性质实现边长的等量转化，将所求周长转化为已知边长加未知边的形式，再结合三角形三边关系求解边长范围，解题时要注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.7
