8.在$△ ABC$中，$AB＝AC$，$CD$是$△ ABC$的高，$P$为直线$BC$上一点，$PE⊥ AB$，垂足为$E$，$PF⊥ AC$，垂足为$F$.
(1)如图①，若点$P$在线段$BC$上，证明$PE＋PF＝CD$.
(2)如图②，若点$P$在线段$BC$的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系.

(1)连接 $AP$，$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$，
即 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AB· PE+\frac{1}{2}AC· PF$.
$\because AB=AC$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AB· (PE+PF)$，即 $PE+PF=CD$.
(2)连接 $AP$.$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABP}-S_{△ ACP}$，
同理可证，$PE-PF=CD$.

【分析】
(1) 要证明PE+PF=CD，观察到三条线段均为对应三角形的高，且已知AB=AC，适合用等面积法求解。我们可以连接AP，将△ABC分割为△ABP和△ACP两个小三角形，利用“大三角形面积等于两个小三角形面积之和”建立等式，再结合AB=AC的条件消去公共项，即可推导出结论。
(2) 当点P在BC延长线上时，同样采用等面积法分析，此时△ABC的面积等于△ABP的面积减去△ACP的面积，代入面积公式后结合AB=AC化简，即可得到新的线段数量关系。
【解析】
(1) 证明：连接AP，
∵ $ S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP} $，
根据三角形面积公式可得：
$ \frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AB·PE+\frac{1}{2}AC·PF $，
∵ AB=AC，将等式两边同时乘2，提取公因式AB得：
$ AB·CD=AB·(PE+PF) $，
等式两边同时除以AB，即得 $ PE+PF=CD $。
(2) 原结论不成立，新的数量关系为 $ PE-PF=CD $。
证明：连接AP，
∵ $ S_{△ ABC}=S_{△ ABP}-S_{△ ACP} $，
根据三角形面积公式可得：
$ \frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AB·PE-\frac{1}{2}AC·PF $，
∵ AB=AC，将等式两边同时乘2，提取公因式AB得：
$ AB·CD=AB·(PE-PF) $，
等式两边同时除以AB，即得 $ PE-PF=CD $。
【答案】
(1) 证明成立，$ PE+PF=CD $；
(2) 原结论不成立，新的数量关系为$ PE-PF=CD $。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形面积计算、等面积法应用
【点评】
本题是等面积法的典型应用题型，解题的核心是通过添加辅助线构造三角形，准确分析不同位置下各三角形的面积关系，结合等腰三角形边相等的性质化简得到结论，能有效锻炼学生的图形分析和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6

9.如图，BD为$△ ABC$的中线，E为边AB上一点，连接CE交BD于点O.
(1)若E为AB的中点.
①有下列结论：$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$，$S_{△ ABD}=S_{△ AEC}$，$S_{△ DOC}=S_{△ BOC}$，其中正确的结论是.
②求证$BO=2DO$.
(2)若$AE=2BE$，$S_{△ BOE}=2$，直接写出$△ COD$的面积为.

(1)①$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD},S_{△ ABD}=S_{△ AEC}$
②连接 $AO$，因为 $BD$ 为$△ ABC$ 的中线，
E 为 AB 的中点，由等底共高三角形面积相等可知：
$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=S_{△ AEC},S_{△ AOD}=S_{△ COD},S_{△ AOE}=S_{△ BOE}$，
$\therefore S_{△ OBE}+S_{四边形AEOD}=S_{△ OCD}+S_{四边形AEOD}$.
$\therefore S_{△ OBE}=S_{△ OCD}$.
$\therefore S_{△ AOD}=S_{△ COD}=S_{△ AOE}=S_{△ BOE}$.
$\therefore S_{△ AOB}=2S_{△ AOD}$，故 $BO=2DO$.
(2)6

【分析】
(1)①判断三个结论是否正确，需用到三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，分别计算各三角形面积与$△ ABC$面积的关系即可逐一判断；②要证$BO=2DO$，可通过面积法推导，连接$AO$后，利用中线分等面积的性质得到多组面积相等的小三角形，再根据“同高三角形的底之比等于面积之比”即可得出底的比例关系。
(2)已知$AE=2BE$和$S_{△ BOE}=2$，结合中线分等面积、同高三角形面积与底的比例关系，设未知数列等式即可求解$△ COD$的面积。
【解析】
(1)①
$\because BD$是$△ ABC$的中线，$\therefore D$是$AC$中点，$△ ABD$和$△ BCD$等底（$AD=DC$）、共高（点$B$到$AC$的距离），$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，即$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$，第一个结论正确；
$\because E$是$AB$中点，同理可得$S_{△ AEC}=S_{△ BEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ AEC}$，第二个结论正确；
$△ DOC$和$△ BOC$共高（点$C$到$BD$的距离），若$S_{△ DOC}=S_{△ BOC}$则$OD=BO$，与后续结论$BO=2DO$矛盾，故第三个结论错误。
因此正确结论为$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD},S_{△ ABD}=S_{△ AEC}$。
②证明：连接$AO$，
$\because BD$为$△ ABC$的中线，$E$为$AB$的中点，由等底共高的三角形面积相等可知：
$S_{△ ABD}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=S_{△ AEC}$，$S_{△ AOD}=S_{△ COD}$，$S_{△ AOE}=S_{△ BOE}$，
$\therefore S_{△ OBE}+S_{四边形AEOD}=S_{△ OCD}+S_{四边形AEOD}$，
$\therefore S_{△ OBE}=S_{△ OCD}$，
$\therefore S_{△ AOD}=S_{△ COD}=S_{△ AOE}=S_{△ BOE}$，
$\therefore S_{△ AOB}=2S_{△ AOD}$，
$\because △ AOB$和$△ AOD$共高（点$A$到$BD$的距离），底之比等于面积之比，
$\therefore \frac{BO}{DO}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}=2$，即$BO=2DO$。
(2)解：连接$AO$，
$\because AE=2BE$，$△ AOE$和$△ BOE$共高（点$O$到$AB$的距离），$\therefore \frac{S_{△ AOE}}{S_{△ BOE}}=\frac{AE}{BE}=2$，
$\because S_{△ BOE}=2$，$\therefore S_{△ AOE}=4$，即$S_{△ AOB}=2+4=6$；
$\because BD$是$△ ABC$的中线，$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ BCD}$，且$S_{△ AOD}=S_{△ COD}$，设$S_{△ COD}=x$，则$S_{△ AOD}=x$，$S_{△ ABD}=6+x$，故$S_{△ BOC}=S_{△ BCD}-x=S_{△ ABD}-x=6$；
又$\because \frac{S_{△ AEC}}{S_{△ BEC}}=\frac{AE}{BE}=2$，$S_{△ AEC}=4+2x$，$S_{△ BEC}=2+6=8$，
$\therefore 4+2x=2×8$，解得$x=6$，即$S_{△ COD}=6$。
【答案】
(1)①$S_{△ ABC}=2S_{△ ABD},S_{△ ABD}=S_{△ AEC}$；②证明见上述解析；(2)$6$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，等积变换
【点评】
本题核心考查三角形中线的面积性质以及同高三角形面积与底的比例关系的应用，通过面积法推导线段比例是解题的关键，灵活运用等积变换可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.65