1. 在比赛场地建设过程中,工人利用长度$L=3\ \mathrm{m}$的斜面把质量为$240\ \mathrm{kg}$的重物匀速推到$h=1\ \mathrm{m}$高处,如图所示,工人所用推力$F=1\ 000\ \mathrm{N}$。$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$。求：
(1)推力做的有用功；
(2)斜面的机械效率；
(3)工人将另一质量为$300\ \mathrm{kg}$的重物匀速推到同一高度,为了省力,换用长度为$5\ \mathrm{m}$的斜面,此时重物与斜面间的摩擦力与原来的摩擦力之比为$6:5$,共用时$20\ \mathrm{s}$,工人推力做功的功率。

1.(1)2 400 J (2)80% (3)210 W
解析:(1)推力做的有用功是
$W_{有用}=Gh=mgh=240\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}×1\ \mathrm{m}=2\ 400\ \mathrm{J}$。
(2)推力做的总功是$W_总=FL=1\ 000\ \mathrm{N}×3\ \mathrm{m}=3\ 000\ \mathrm{J}$,
斜面的机械效率为$\eta=\frac{W_{有用}}{W_总}=\frac{2\ 400\ \mathrm{J}}{3\ 000\ \mathrm{J}}=80\%$。
(3)原来斜面做的额外功为
$W_{额外}=W_总-W_{有用}=3\ 000\ \mathrm{J}-2\ 400\ \mathrm{J}=600\ \mathrm{J}$,
原来斜面的摩擦力为$f=\frac{W_{额外}}{L}=\frac{600\ \mathrm{J}}{3\ \mathrm{m}}=200\ \mathrm{N}$,
此时重物与斜面间的摩擦力与原来的摩擦力之比为6:5,则此时的摩擦力为$f'=f×\frac{6}{5}=200\ \mathrm{N}×\frac{6}{5}=240\ \mathrm{N}$,
此时斜面的长度为5 m,则额外功为
$W'_{额外}=f's=240\ \mathrm{N}×5\ \mathrm{m}=1\ 200\ \mathrm{J}$,
工人将另一质量为300 kg的重物匀速推到同一高度,做的有用功是
$W'_{有用}=m'gh=300\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}×1\ \mathrm{m}=3\ 000\ \mathrm{J}$,
此时的总功为$W'_总=W'_{额外}+W'_{有用}=1\ 200\ \mathrm{J}+3\ 000\ \mathrm{J}=4\ 200\ \mathrm{J}$,
工人推力做功的功率是$P=\frac{W'_总}{t}=\frac{4\ 200\ \mathrm{J}}{20\ \mathrm{s}}=210\ \mathrm{W}$。

2. 天门山盘山公路是网红打卡地，公路共计99道弯，似玉带环绕，层层叠起，直冲云霄，公路全长大约10 km，公路的海拔落差高度约1 000 m。天门山景区购置了一批新能源纯电动客车，客车满载时总质量为6 000 kg。现有一辆满载的新能源客车，以80 kW的恒定功率，4 m/s的速度沿盘山公路从山底匀速行驶至山顶。（行驶过程中客车所受重力和阻力大小恒定不变，g取10 N/kg）请回答下列问题：
（1）整个过程中，电动机对客车和游客所做的有用功为多少？
（2）盘山公路的机械效率为多少？
（3）整个过程中，电动机的牵引力为多少？汽车受到的阻力为多少？

2.(1)$6×10^7\ \mathrm{J}$ (2)30% (3)$2×10^4\ \mathrm{N}$ $1.4×10^4\ \mathrm{N}$
解析:(1)客车和游客的总重力
$G=mg=6\ 000\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=6×10^4\ \mathrm{N}$,
电动机对客车和游客所做的有用功
$W_{有用}=Gh=6×10^4\ \mathrm{N}×1\ 000\ \mathrm{m}=6×10^7\ \mathrm{J}$,
即电动机对客车和游客所做的有用功为$6×10^7\ \mathrm{J}$。
(2)由$v=\frac{s}{t}$可得,整个过程所用时间
$t=\frac{s}{v}=\frac{10×10^3\ \mathrm{m}}{4\ \mathrm{m/s}}=2.5×10^3\ \mathrm{s}$,
由$P=\frac{W}{t}$可得,总功$W_总=Pt=80×10^3\ \mathrm{W}×2.5×10^3\ \mathrm{s}=2×10^8\ \mathrm{J}$,
盘山公路的机械效率$\eta=\frac{W_{有用}}{W_总}=\frac{6×10^7\ \mathrm{J}}{2×10^8\ \mathrm{J}}=30\%$,
即盘山公路的机械效率为30%。
(3)由$P=\frac{W}{t}=\frac{Fs}{t}=Fv$可得,电动机的牵引力
$F=\frac{P}{v}=\frac{80×10^3\ \mathrm{W}}{4\ \mathrm{m/s}}=2×10^4\ \mathrm{N}$,
即电动机的牵引力为$2×10^4\ \mathrm{N}$;
额外功$W_{额外}=W_总-W_{有用}=2×10^8\ \mathrm{J}-6×10^7\ \mathrm{J}=1.4×10^8\ \mathrm{J}$,
由$W_{额外}=fs$可得,汽车受到的阻力
$f=\frac{W_{额外}}{s}=\frac{1.4×10^8\ \mathrm{J}}{10×10^3\ \mathrm{m}}=1.4×10^4\ \mathrm{N}$。