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3. 小梦通过如图甲所示滑轮组将水中物体匀速提升至空中，他所用拉力$ F $与绳子自由端移动的距离$ s $的关系图像如图乙所示。其中物体在空中匀速上升过程中滑轮组的机械效率为85%，每个滑轮等重，不计绳重、摩擦和水的阻力。求：
(1)物体在空中上升1 m，小梦做的功是多少？
(2)物体浸没在水中时所受的浮力是多少？
(3)物体在水中匀速上升过程中滑轮组的机械效率为多少？
(1)物体在空中上升1 m，小梦做的功是多少？
(2)物体浸没在水中时所受的浮力是多少？
(3)物体在水中匀速上升过程中滑轮组的机械效率为多少？
答案
(1)$800\ \mathrm{J}$
(2)$400\ \mathrm{N}$
(3)$70\%$
解析:(1)由图乙可知,绳子自由端移动的距离为0~4 m时,拉力为100 N不变,此时物体没有露出水面,4~6 m时物体开始逐渐露出水面,拉力不断增大,6~8 m时拉力为200 N不变,此时物体完全离开水面,故物体在空中匀速上升过程中受到的拉力 $F=200\ \mathrm{N}$;动滑轮与4股绳子接触,则有效绳子股数 $n=4$,故物体在空中上升1 m时,绳端移动距离为 $s=nh=4×1\ \mathrm{m}=4\ \mathrm{m}$,由图像可知在此期间拉力保持不变,则小梦的拉力做功为 $W_{\mathrm{总}}=Fs=200\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=800\ \mathrm{J}$。
(2)物体在空中匀速上升过程中,拉力 $F=200\ \mathrm{N}$,有效绳子股数 $n=4$,设动滑轮末端挂钩处绳子拉力为 $F_{\mathrm{拉}}$,不计绳重、摩擦,受力分析,有 $F_{\mathrm{拉}}+G_{\mathrm{动}}=nF=4×200\ \mathrm{N}=800\ \mathrm{N}···①$,物体浸没在水中时,拉力 $F_1=100\ \mathrm{N}$,设此时动滑轮末端挂钩处绳子拉力为 $F'_{\mathrm{拉}}$,不计绳重、摩擦和水的阻力,受力分析,有 $F'_{\mathrm{拉}}+G_{\mathrm{动}}=nF_1=4×100\ \mathrm{N}=400\ \mathrm{N}···②$,①-②,得 $(F_{\mathrm{拉}}+G_{\mathrm{动}})-(F'_{\mathrm{拉}}+G_{\mathrm{动}})=800\ \mathrm{N}-400\ \mathrm{N}=400\ \mathrm{N}$,分析题意可知,物体在空中匀速上升过程中,$F_{\mathrm{拉}}=G$,再根据称重法 $F_{\mathrm{浮}}=G-F_{\mathrm{示}}$ 可知物体浸没在水中时所受的浮力为 $F_{\mathrm{浮}}=G-F_{\mathrm{示}}=F_{\mathrm{拉}}-F'_{\mathrm{拉}}=400\ \mathrm{N}$。
(3)物体在空中匀速上升过程中滑轮组的机械效率为85%,则有$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}=\frac{Gh}{Fs}=\frac{Gh}{F× nh}=\frac{G}{nF}=\frac{G}{4×200\ \mathrm{N}}=85\%$,解得物体重力为 $G=680\ \mathrm{N}$,根据 $F=\frac{1}{n}(G+G_{\mathrm{动}})$,动滑轮重力为$G_{\mathrm{动}}=nF-G=4×200\ \mathrm{N}-680\ \mathrm{N}=120\ \mathrm{N}$,所以物体在水中匀速上升过程中滑轮组末端绳子拉力为$F'_{\mathrm{拉}}=nF_1-G_{\mathrm{动}}=4×100\ \mathrm{N}-120\ \mathrm{N}=280\ \mathrm{N}$,所以物体在水中匀速上升过程中滑轮组的机械效率为$\eta=\frac{W'_{\mathrm{有用}}}{W'_{\mathrm{总}}}=\frac{F'_{\mathrm{拉}}h}{F_1s}=\frac{F'_{\mathrm{拉}}h}{F_1× nh}=\frac{F'_{\mathrm{拉}}}{nF_1}=\frac{280\ \mathrm{N}}{4×100\ \mathrm{N}}=70\%$。
(2)$400\ \mathrm{N}$
(3)$70\%$
解析:(1)由图乙可知,绳子自由端移动的距离为0~4 m时,拉力为100 N不变,此时物体没有露出水面,4~6 m时物体开始逐渐露出水面,拉力不断增大,6~8 m时拉力为200 N不变,此时物体完全离开水面,故物体在空中匀速上升过程中受到的拉力 $F=200\ \mathrm{N}$;动滑轮与4股绳子接触,则有效绳子股数 $n=4$,故物体在空中上升1 m时,绳端移动距离为 $s=nh=4×1\ \mathrm{m}=4\ \mathrm{m}$,由图像可知在此期间拉力保持不变,则小梦的拉力做功为 $W_{\mathrm{总}}=Fs=200\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=800\ \mathrm{J}$。
(2)物体在空中匀速上升过程中,拉力 $F=200\ \mathrm{N}$,有效绳子股数 $n=4$,设动滑轮末端挂钩处绳子拉力为 $F_{\mathrm{拉}}$,不计绳重、摩擦,受力分析,有 $F_{\mathrm{拉}}+G_{\mathrm{动}}=nF=4×200\ \mathrm{N}=800\ \mathrm{N}···①$,物体浸没在水中时,拉力 $F_1=100\ \mathrm{N}$,设此时动滑轮末端挂钩处绳子拉力为 $F'_{\mathrm{拉}}$,不计绳重、摩擦和水的阻力,受力分析,有 $F'_{\mathrm{拉}}+G_{\mathrm{动}}=nF_1=4×100\ \mathrm{N}=400\ \mathrm{N}···②$,①-②,得 $(F_{\mathrm{拉}}+G_{\mathrm{动}})-(F'_{\mathrm{拉}}+G_{\mathrm{动}})=800\ \mathrm{N}-400\ \mathrm{N}=400\ \mathrm{N}$,分析题意可知,物体在空中匀速上升过程中,$F_{\mathrm{拉}}=G$,再根据称重法 $F_{\mathrm{浮}}=G-F_{\mathrm{示}}$ 可知物体浸没在水中时所受的浮力为 $F_{\mathrm{浮}}=G-F_{\mathrm{示}}=F_{\mathrm{拉}}-F'_{\mathrm{拉}}=400\ \mathrm{N}$。
(3)物体在空中匀速上升过程中滑轮组的机械效率为85%,则有$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}=\frac{Gh}{Fs}=\frac{Gh}{F× nh}=\frac{G}{nF}=\frac{G}{4×200\ \mathrm{N}}=85\%$,解得物体重力为 $G=680\ \mathrm{N}$,根据 $F=\frac{1}{n}(G+G_{\mathrm{动}})$,动滑轮重力为$G_{\mathrm{动}}=nF-G=4×200\ \mathrm{N}-680\ \mathrm{N}=120\ \mathrm{N}$,所以物体在水中匀速上升过程中滑轮组末端绳子拉力为$F'_{\mathrm{拉}}=nF_1-G_{\mathrm{动}}=4×100\ \mathrm{N}-120\ \mathrm{N}=280\ \mathrm{N}$,所以物体在水中匀速上升过程中滑轮组的机械效率为$\eta=\frac{W'_{\mathrm{有用}}}{W'_{\mathrm{总}}}=\frac{F'_{\mathrm{拉}}h}{F_1s}=\frac{F'_{\mathrm{拉}}h}{F_1× nh}=\frac{F'_{\mathrm{拉}}}{nF_1}=\frac{280\ \mathrm{N}}{4×100\ \mathrm{N}}=70\%$。
4. 小雯看见邻居正在装修新房,她了解到:建筑工人站在高台上,利用如图所示的滑轮组,用竖直向上的力F拉绳子自由端,将60 kg的建筑材料匀速提升3 m,此过程中建筑工人对高台的压强为14 800 Pa。滑轮的重力均为120 N,绳子A、B段能承受的最大拉力分别为920 N和460 N,建筑工人站立时与地面的接触面积为500 cm²,忽略绳重和机械之间的摩擦,求:(g取10 N/kg)
(1)此过程中建筑工人做的有用功;
(2)建筑工人受到的重力;
(3)此滑轮组的最大机械效率。
(1)此过程中建筑工人做的有用功;
(2)建筑工人受到的重力;
(3)此滑轮组的最大机械效率。
答案
(1)$1\ 800\ \mathrm{J}$
(2)$500\ \mathrm{N}$
(3)$90\%$
解析:(1)此过程中建筑工人做的有用功为克服建筑材料重力所做的功,则建筑工人做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=mgh=60\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}×3\ \mathrm{m}=1\ 800\ \mathrm{J}$。
(2)建筑工人对高台的压力$F=pS=14\ 800\ \mathrm{Pa}×500×10^{-4}\ \mathrm{m^2}=740\ \mathrm{N}$,由于滑轮组有3段绳子承担着物重,则绳子的拉力$F_{\mathrm{拉}}=\frac{G+G_{\mathrm{动}}}{n}=\frac{mg+G_{\mathrm{动}}}{n}=\frac{60\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+120\ \mathrm{N}}{3}=240\ \mathrm{N}$,因为建筑工人受到竖直向下的重力及绳子的拉力,竖直向上的支持力(大小等于压力),处于平衡状态,所以建筑工人的重力 $G_{\mathrm{人}}=F-F_{\mathrm{拉}}=740\ \mathrm{N}-240\ \mathrm{N}=500\ \mathrm{N}$。
(3)滑轮组的机械效率 $\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}}=\frac{Gh}{Gh+G_{\mathrm{动}}h}=\frac{G}{G+G_{\mathrm{动}}}$,当绳子A段能承受的最大拉力 $F_A=920\ \mathrm{N}$ 时,滑轮组的机械效率最大,对定滑轮进行受力分析,此时绳子B的拉力$F_B=\frac{F_A-G_{\mathrm{定}}}{2}=\frac{920\ \mathrm{N}-120\ \mathrm{N}}{2}=400\ \mathrm{N}＜460\ \mathrm{N}$,则最大物重 $G_{\mathrm{最大}}=3F_B-G_{\mathrm{动}}=3×400\ \mathrm{N}-120\ \mathrm{N}=1\ 080\ \mathrm{N}$,滑轮组的最大机械效率$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}}=\frac{Gh}{Gh+G_{\mathrm{动}}h}=\frac{G}{G+G_{\mathrm{动}}}=\frac{1\ 080\ \mathrm{N}}{1\ 080\ \mathrm{N}+120\ \mathrm{N}}=90\%$。
(2)$500\ \mathrm{N}$
(3)$90\%$
解析:(1)此过程中建筑工人做的有用功为克服建筑材料重力所做的功,则建筑工人做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=Gh=mgh=60\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}×3\ \mathrm{m}=1\ 800\ \mathrm{J}$。
(2)建筑工人对高台的压力$F=pS=14\ 800\ \mathrm{Pa}×500×10^{-4}\ \mathrm{m^2}=740\ \mathrm{N}$,由于滑轮组有3段绳子承担着物重,则绳子的拉力$F_{\mathrm{拉}}=\frac{G+G_{\mathrm{动}}}{n}=\frac{mg+G_{\mathrm{动}}}{n}=\frac{60\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}+120\ \mathrm{N}}{3}=240\ \mathrm{N}$,因为建筑工人受到竖直向下的重力及绳子的拉力,竖直向上的支持力(大小等于压力),处于平衡状态,所以建筑工人的重力 $G_{\mathrm{人}}=F-F_{\mathrm{拉}}=740\ \mathrm{N}-240\ \mathrm{N}=500\ \mathrm{N}$。
(3)滑轮组的机械效率 $\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}}=\frac{Gh}{Gh+G_{\mathrm{动}}h}=\frac{G}{G+G_{\mathrm{动}}}$,当绳子A段能承受的最大拉力 $F_A=920\ \mathrm{N}$ 时,滑轮组的机械效率最大,对定滑轮进行受力分析,此时绳子B的拉力$F_B=\frac{F_A-G_{\mathrm{定}}}{2}=\frac{920\ \mathrm{N}-120\ \mathrm{N}}{2}=400\ \mathrm{N}＜460\ \mathrm{N}$,则最大物重 $G_{\mathrm{最大}}=3F_B-G_{\mathrm{动}}=3×400\ \mathrm{N}-120\ \mathrm{N}=1\ 080\ \mathrm{N}$,滑轮组的最大机械效率$\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}}=\frac{Gh}{Gh+G_{\mathrm{动}}h}=\frac{G}{G+G_{\mathrm{动}}}=\frac{1\ 080\ \mathrm{N}}{1\ 080\ \mathrm{N}+120\ \mathrm{N}}=90\%$。
