1. 如图所示,工人利用滑轮提升重物。在40 s内,质量为27 kg的重物被匀速竖直提升10 m,此过程中,工人对绳端做功的功率为75 W。不计绳重与摩擦,g取10 N/kg,求:
(1)工人对绳端施加的拉力;
(2)滑轮受到的重力;
(3)此过程中,滑轮的机械效率。

(1)150 N
(2)30 N
(3)90%
解析:(1)已知在40 s内,物体竖直向上移动的距离是 10 m,则物体上升的速度为 $v=\frac{s}{t}=\frac{10\ \mathrm{m}}{40\ \mathrm{s}}=0.25\ \mathrm{m/s}$,由于是动滑轮,绳端移动速度是物体移动速度的2倍,即 $v_{\mathrm{绳}}=2v=2×0.25\ \mathrm{m/s}=0.5\ \mathrm{m/s}$,可得工人对绳端施加的拉力 $F=\frac{P}{v_{\mathrm{绳}}}=\frac{75\ \mathrm{W}}{0.5\ \mathrm{m/s}}=150\ \mathrm{N}$。
(2)不计绳重与摩擦,根据 $F=\frac{1}{2}(G+G_{\mathrm{动}})$ 可得,动滑轮的重力$G_{\mathrm{动}}=2F-G=2F-mg=2×150\ \mathrm{N}-27\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=30\ \mathrm{N}$。
(3)滑轮的机械效率 $\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}=\frac{Gh}{Fs}=\frac{Gh}{Fnh}=\frac{G}{nF}=\frac{27\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}}{2×150\ \mathrm{N}}=90\%$。

2. 工人师傅利用如图甲所示的滑轮组搬运石材。质量为$1.8×10^3\ \mathrm{kg}$的石材放在水平地面上，在拉力$F$的作用下沿水平方向做匀速直线运动，其路程随时间变化的图像如图乙所示。石材在水平方向上受到的阻力为石材重的0.1倍，滑轮组的机械效率为75%，滑轮组和绳子的自重不计。($g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)求：
(1)石材受到的阻力；
(2)在石材移动40 s过程中，工人做的有用功；
(3)在石材移动40 s过程中，工人作用在绳子自由端的拉力$F$。

(1)$1.8×10^3\ \mathrm{N}$
(2)$7.2×10^3\ \mathrm{J}$
(3)$800\ \mathrm{N}$
解析:(1)石材的重力 $G=mg=1.8×10^3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=1.8×10^4\ \mathrm{N}$,石材受到的阻力$F_{\mathrm{阻}}=0.1G=0.1×1.8×10^4\ \mathrm{N}=1.8×10^3\ \mathrm{N}$。
(2)由图乙可知 $t=10\ \mathrm{s}$ 时,$s=1.0\ \mathrm{m}$,石材运动的速度为 $v=\frac{s}{t}=\frac{1.0\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{s}}=0.1\ \mathrm{m/s}$,石材移动 $t_1=40\ \mathrm{s}$ 过程中,石材运动的距离$s_1=vt_1=0.1\ \mathrm{m/s}×40\ \mathrm{s}=4\ \mathrm{m}$,石材在水平面上做匀速直线运动,所以$F_1=F_{\mathrm{阻}}=1.8×10^3\ \mathrm{N}$,在石材移动40 s过程中,工人做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=F_1s_1=1.8×10^3\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{m}=7.2×10^3\ \mathrm{J}$。
(3)由 $\eta=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}$ 得,工人做的总功$W_{\mathrm{总}}=\frac{W_{\mathrm{有用}}}{\eta}=\frac{7.2×10^3\ \mathrm{J}}{75\%}=9.6×10^3\ \mathrm{J}$,由分析知,绳子段数 $n=3$,绳子自由端移动的距离 $s_{\mathrm{绳}}=ns_1=3×4\ \mathrm{m}=12\ \mathrm{m}$,由 $W=Fs$ 得,工人作用在绳子自由端的拉力$F=\frac{W_{\mathrm{总}}}{s_{\mathrm{绳}}}=\frac{9.6×10^3\ \mathrm{J}}{12\ \mathrm{m}}=800\ \mathrm{N}$。