变式训练
3. 多项式$-\frac{1}{2}x + 3x^2 -5$的各项分别为，次数最高的项是，次数是，常数项是。

3.$-\frac{1}{2}x,3x^2,-5$ $3x^2$ $2$ $-5$

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆多项式的相关基础概念：1. 多项式的项是组成多项式的每个单项式，注意要包含项前面的正负符号；2. 单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，多项式里次数最高的项就是最高次项；3. 多项式的次数等于最高次项的次数；4. 常数项是多项式中不含字母的项。接下来我们按照概念逐个对应分析给出的多项式即可。
【解析】
首先拆分多项式$-\frac{1}{2}x + 3x^2 -5$的组成项，注意每项带前面的符号，可得各项分别为$-\frac{1}{2}x$、$3x^2$、$-5$；
接下来计算每个项的次数：
$-\frac{1}{2}x$中字母$x$的指数是1，次数为1；
$3x^2$中字母$x$的指数是2，次数为2；
$-5$不含字母，次数为0。
对比可知次数最高的项是$3x^2$，该多项式的次数就是最高次项的次数2；其中不含字母的常数项为$-5$。
【答案】
$-\frac{1}{2}x,3x^2,-5$；$3x^2$；$2$；$-5$
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题考查多项式的基础概念，属于基础题型，解题的核心是注意多项式的项需要连带前面的正负号一同判断，牢记相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.85

【例3】用多项式填空，并指出它们的项和次数.
(1)比 m 的 2 倍与 n 的 2 倍的和大 3 的数是.
(2)有理数 a 的相反数与 6 的差是.
(3)小明今年 x 岁，爸爸的年龄是小明的 2 倍，妈妈比爸爸小 3 岁，则妈妈今年岁.
【规律方法】
用多项式表示问题中的
数量关系的注意事项
(1)要辨析词语意义:应认真审题,仔细辨析语言叙述中的关键词语所代表的意义.
(2)要分清数量关系:先分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分关系,再列多项式.
变式训练
4.用多项式填空,并指出它的项和次数.
已知一个正方形的边长为 a cm,一个长方形的长和宽分别是 b cm 和 c cm,则正方形的面积比长方形的面积多cm².
知识建构

(1)$2m+2n+3$ 它的项分别是$2m,2n,3$,次数是1.
(2)$-a-6$ 它的项分别是$-a,-6$,次数是1.
(3)$(2x-3)$ 它的项分别是$2x,-3$,次数是1.
4.解:$a^2-bc$ 它的项分别为$a^2,-bc$,次数是2.

【分析】
解题时先根据题干描述的数量关系，按照“先梳理和差倍分逻辑，再列代数式”的原则推导式子，再结合多项式的相关概念判断项和次数：①多项式的项是组成多项式的每个单项式，注意要带项前面的符号；②多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。
逐题思考路径：
(1)先求m的2倍为2m、n的2倍为2n，二者求和得2m+2n，再加3即可得到目标代数式，再分析项和次数；
(2)先求a的相反数为-a，再求与6的差即可得到代数式，再分析项和次数；
(3)先求爸爸的年龄为2x，再减3得到妈妈的年龄，再分析项和次数；
(4)先分别计算正方形面积为$a^2$、长方形面积为$bc$，求差得到代数式，再分析项和次数。
【解析】
(1) m的2倍是$2m$，n的2倍是$2n$，二者的和为$2m+2n$，比这个和大3的数为$2m+2n+3$。该多项式由$2m、2n、3$三个单项式组成，最高次项的次数为1。
(2) a的相反数是$-a$，与6的差为$-a-6$。该多项式由$-a、-6$两个单项式组成，最高次项的次数为1。
(3) 爸爸的年龄是$2x$岁，妈妈比爸爸小3岁，因此妈妈年龄为$2x-3$岁。该多项式由$2x、-3$两个单项式组成，最高次项的次数为1。
(4) 正方形面积为$a^2\ \mathrm{cm}^2$，长方形面积为$bc\ \mathrm{cm}^2$，因此正方形面积比长方形多$(a^2-bc)\ \mathrm{cm}^2$。该多项式由$a^2、-bc$两个单项式组成，$a^2$次数为2，$-bc$次数为$1+1=2$，因此最高次项次数为2。
【答案】
(1)$2m+2n+3$ 它的项分别是$2m,2n,3$,次数是1.
(2)$-a-6$ 它的项分别是$-a,-6$,次数是1.
(3)$(2x-3)$ 它的项分别是$2x,-3$,次数是1.
4.$a^2-bc$ 它的项分别为$a^2,-bc$,次数是2.
【知识点】
列代数式，多项式的项，多项式的次数
【点评】
本题侧重考查根据实际场景梳理数量关系、列多项式的能力，以及对多项式基础概念的掌握，解题关键是准确理解题干关键词的含义，牢记多项式项和次数的判定规则，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

1. 下列代数式$\frac{1}{x},2x+y,\frac{1}{3}a^2b,\frac{x-y}{π},\frac{5y}{4x},0.5$中，整式有()

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

1.B

【分析】
拿到这道题首先明确考点是整式的判定，第一步要回忆整式的定义：单项式和多项式统称为整式，整式和分式的核心区别是整式的分母中不含有字母，还要特别注意π是常数，不属于字母，不会出现在分母的字母范畴里。接下来我们只需要逐个分析题干中的每个代数式是否符合整式的要求，统计符合的个数就能选出正确选项。
【解析】
首先明确整式的判定规则：单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含字母。我们逐个判断给出的代数式：
1. $\frac{1}{x}$：分母含字母$x$，属于分式，不是整式；
2. $2x+y$：是两个单项式的和，属于多项式，是整式；
3. $\frac{1}{3}a^2b$：是数与字母的乘积，属于单项式，是整式；
4. $\frac{x-y}{π}$：$π$是固定常数，分母不含字母，属于多项式，是整式；
5. $\frac{5y}{4x}$：分母含字母$x$，属于分式，不是整式；
6. $0.5$：单独的数字属于单项式，是整式。
综上，整式共有4个。
【答案】
B
【知识点】
整式的概念；单项式的概念；多项式的概念
【点评】
本题考查整式的基础判定，解题的关键是熟记整式的定义，尤其要注意区分π是常数而非字母，避免出现误判。
【难度系数】
0.7

2.多项式$3x^2 - 2x +1$的各项分别是 ()

A.$3,2,1$
B.$x^2,x,1$
C.$3x^2,2x,1$
D.$3x^2,-2x,1$

2.D

【分析】
本题考查多项式项的识别，解题思路如下：第一步先回忆多项式项的定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项需要包含它前面的符号；第二步将给定多项式拆分为几个单项式的和的形式，拆分时把减号转化为后面项的负号；第三步将拆分得到的项和选项对比，选出正确答案。
【解析】
根据多项式项的定义：在多项式中，每个单项式（连同它前面的符号）叫做多项式的项。
多项式$3x^2 - 2x +1$可以看作$3x^2 + (-2x) + 1$，因此它的三项分别是$3x^2$、$-2x$、$1$。
对比选项：A选项仅列出系数，未包含字母部分，错误；B选项未包含各项的系数，错误；C选项忽略了第二项前面的负号，错误；D选项符合结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的项、单项式的概念
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对多项式项的定义的掌握，易错点是容易遗漏项前面的负号，解题时牢记多项式的每一项都要携带它前面的运算符号，即可避免出错。
【难度系数】
0.9

3.多项式$1+2xy-3xy^2$的次数及次数最高项的系数分别是()

A.3，-3
B.2，-3
C.5，-3
D.2，3

3.A

【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆多项式、单项式的相关核心概念，按以下步骤思考：第一步，先拆分出多项式的所有项；第二步，分别计算每个非零常数项的次数（单项式的次数是所含所有字母的指数和）；第三步，找到次数最高的项，该项的次数就是整个多项式的次数；第四步，确定最高次项的数字因数（注意包含前面的符号）就是最高次项的系数，最后匹配选项即可。
【解析】
首先明确相关概念：
① 单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和；
② 单项式的系数：单项式中的数字因数，包含前面的符号；
③ 多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数。
对多项式$1+2xy-3xy^2$拆分各项分析：
1. 第一项$1$是常数项，次数为$0$；
2. 第二项$2xy$：x的指数为1，y的指数为1，次数为$1+1=2$，系数为$2$；
3. 第三项$-3xy^2$：x的指数为1，y的指数为2，次数为$1+2=3$，系数为$-3$。
对比各项次数可知，最高次数为$3$，最高次项为$-3xy^2$，其系数为$-3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的次数；单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是计算单项式次数时漏加某一字母的指数，或者确定最高次项系数时忽略前面的负号，掌握相关基础定义就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

4.若多项式$x^2 - 3xy^2 - 4$的次数是$a$，常数项是$b$，则$a+b$的值为。

4.$-1$

【分析】
解题时首先要明确解题步骤：首先回忆多项式的相关概念，分别确定多项式的次数a和常数项b，再代入计算a+b的值即可。第一步要知道：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，常数项是多项式中不含字母的项；第二步拆分多项式的各个项，分别计算每一项的次数，找到最高次数得到a，再找不含字母的项得到b；最后计算a+b的结果。
【解析】
首先分析多项式$x^2 - 3xy^2 - 4$的各项：
1. 项$x^2$的次数为2；
2. 项$-3xy^2$的次数为$1+2=3$；
3. 项$-4$不含字母，是常数项。
根据定义，多项式的次数是最高次项的次数，因此$a=3$；常数项为$-4$，因此$b=-4$。
代入计算得：$a+b=3+(-4)=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
多项式的次数，常数项的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是准确区分多项式各项的次数，同时注意常数项要保留本身的符号，避免因忽略符号出现计算错误。
【难度系数】
0.9

5.用多项式填空，并指出它的项和次数.
小华周末从家里去书店，需要先步行一段路程，再坐公交车到书店，已知他先步行x min，平均速度为65 m/min，再乘车y min，公交车的平均速度为500 m/min，则小华家到书店的路程是 m.

5.解:$(65x + 500y)$ 它的项分别是 $65x,500y$,次数是1.

【分析】
解题时首先回忆行程问题的基本公式：路程=速度×时间，先分别计算出步行的路程和乘车的路程，两者相加就是总路程；再根据多项式的项、次数的定义判断所求代数式的项和次数：多项式中的每个单项式是多项式的项，次数最高项的次数就是多项式的次数。
【解析】
首先计算步行路程：步行速度为65 m/min，时间为x min，根据路程=速度×时间，得步行路程为$65x\ \mathrm{m}$；
再计算乘车路程：公交车速度为500 m/min，时间为y min，得乘车路程为$500y\ \mathrm{m}$；
总路程为步行路程与乘车路程之和，即$(65x + 500y)\ \mathrm{m}$。
根据多项式的概念：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，因此该多项式的项为$65x$、$500y$；
多项式中次数最高项的次数为多项式的次数，$65x$和$500y$的次数都是1，因此该多项式的次数是1。
【答案】
$(65x + 500y)$，它的项分别是$65x,500y$，次数是1。
【知识点】
行程问题数量关系；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题结合生活实际场景考查列代数式和多项式的基础概念，解题核心是先利用行程公式得到总路程的表达式，再结合多项式定义判断项和次数，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8