学习任务一 多项式的有关概念
从旧知到新知
1.多项式:几个单项式的叫作多项式.
2.多项式的项:每个单项式叫作多项式的,不含字母的项叫作.
3.多项式的次数:多项式里,次数的项的次数,叫作这个多项式的次数.

1.和
2.项 常数项
3.最高

【分析】
本题是对多项式相关基础概念的直接考查，全部为教材中的标准定义内容，解题时只需准确回忆对应概念的表述即可作答。首先回忆多项式的定义明确第一个空的内容，再回忆多项式的项的相关概念填写第二题的两个空，最后根据多项式次数的定义填写第三个空。
【解析】
1. 根据多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式，因此本空填“和”；
2. 根据多项式的项的相关定义：组成多项式的每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项数值固定不变，叫作常数项，因此两个空依次填“项”“常数项”；
3. 根据多项式的次数的定义：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数，因此本空填“最高”。
【答案】
1.和
2.项 常数项
3.最高
【知识点】
多项式的定义；多项式的项与常数项；多项式的次数
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，考查的都是整式板块的核心基础定义，熟练掌握这些概念是后续学习整式加减、整式乘除等运算的前提。
【难度系数】
0.9

学习任务二 整式的概念
与统称整式.

单项式 多项式

【分析】
这道题考查整式的基础定义，属于概念识记类题目，解题思路很明确：直接回忆教材中关于整式分类的内容即可。我们学习代数式分类时规定，整式是由两类代数式共同组成的，一类是数与字母的乘积构成的单项式，另一类是几个单项式的和构成的多项式，二者合起来就是整式的全部构成。
【解析】
根据整式的官方定义：单项式与多项式统称为整式，因此第一个空填单项式，第二个空填多项式。
【答案】
单项式；多项式
【知识点】
整式的定义、单项式的概念、多项式的概念
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，难度较低，只要平时学习时重视基础概念的记忆，就能快速得到正确答案，日常学习中要注意对基础定义的积累和理解。
【难度系数】
0.9

【例1】指出下列各代数式中的多项式、整式：
$ab - c, ax^2 + bx + c, -5, -3π xy, \frac{a - 2b}{3}, \frac{x}{5}, \frac{4}{x}, \frac{5}{y + 2}$
解：
【规律方法】
(1)单项式不含加减运算，多项式必含有加减运算。
(2)多项式是几个单项式的和，单项式和多项式都是整式。
(3)分母中含有字母(π除外)的式子一般不是整式。

多项式有 $ab - c,ax^2 + bx + c,\frac{a - 2b}{3}$.整式有 $ab - c,ax^2 + bx + c,-5,-3π xy,\frac{a - 2b}{3},\frac{x}{5}$.

【分析】
解题时先回忆相关概念的判定规则：①首先判断是否为整式：分母中含有字母（π是常数，不属于字母）的代数式不是整式，剩余的是整式（整式包含单项式和多项式）；②再从整式中区分多项式：多项式是几个单项式的和，必定含有加减运算，单项式只含乘积运算（单独的数或字母也是单项式）。按照先排除非整式、再从整式中筛选多项式的顺序判断，就不会出错。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式；
3. 整式：单项式和多项式统称为整式，分母中含有字母（π除外）的代数式不是整式。
逐个判断给定代数式：
（1）$ab - c$：是单项式$ab$与$-c$的和，属于多项式，也是整式；
（2）$ax^2 + bx + c$：是单项式$ax^2$、$bx$、$c$的和，属于多项式，也是整式；
（3）$-5$：单独的常数，是单项式，属于整式；
（4）$-3πxy$：常数$-3π$与字母$x、y$的乘积，是单项式，属于整式；
（5）$\frac{a - 2b}{3}$：可变形为$\frac{a}{3}-\frac{2b}{3}$，是两个单项式的和，属于多项式，也是整式；
（6）$\frac{x}{5}$：常数$\frac{1}{5}$与$x$的乘积，是单项式，属于整式；
（7）$\frac{4}{x}$：分母含字母$x$，不属于整式，也不属于多项式；
（8）$\frac{5}{y + 2}$：分母含字母$y$，不属于整式，也不属于多项式。
综上整理得到多项式和整式的范围。
【答案】
多项式有 $ab - c,ax^2 + bx + c,\frac{a - 2b}{3}$.整式有 $ab - c,ax^2 + bx + c,-5,-3π xy,\frac{a - 2b}{3},\frac{x}{5}$.
【知识点】
多项式的定义、整式的识别、单项式的概念
【点评】
本题是代数式分类的基础题，解题核心是准确掌握单项式、多项式、整式的定义，尤其要注意π是常数不是字母，分母含字母的式子不属于整式，避免判断时混淆概念出错。
【难度系数】
0.8

1.有下列代数式:①$\frac{1}{2}ab$；②$\frac{a+b}{2}$；③$ab + b^2 +1$；④$\frac{2}{a}+3b -5$.其中是多项式的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.B

【分析】
要判断给出的代数式哪些是多项式，首先需要明确相关概念：①单项式是数或字母的积，单独的数或字母也是单项式；②几个单项式的和叫做多项式；③单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不能含有字母（分母含字母的是分式，不属于整式，也不可能是多项式）。接下来我们逐个分析4个代数式，先排除不是整式的，再从整式里区分是单项式还是多项式，就能得出结果。
【解析】
我们根据多项式的判定规则逐个分析：
1. 代数式①$\frac{1}{2}ab$：是数$\frac{1}{2}$与字母$a$、$b$的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. 代数式②$\frac{a+b}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. 代数式③$ab + b^2 +1$：是$ab$、$b^2$、$1$三个单项式的和，属于多项式；
4. 代数式④$\frac{2}{a}+3b -5$：其中$\frac{2}{a}$的分母含有字母$a$，不属于整式，因此不是多项式。
综上，属于多项式的有②和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的概念，整式的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是明确多项式首先属于整式，要先排除分母含字母的代数式，再区分单项式和多项式，避免误把单项式或者分式当成多项式。
【难度系数】
0.8

2.有下列代数式:①$a^2 +5$;②$-3$;③$\frac{5}{x}$;④$a^2 -3a +2$;⑤$π$.其中是整式的有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

2.C

【分析】
解题前先明确整式的判定规则：整式包含单项式和多项式，其中单项式是数或字母的乘积，单独的数、单独的字母都属于单项式；多项式是若干个单项式的和。判定时需要注意：分母中含有字母的代数式不属于整式，另外π是固定常数，不是字母。我们只需要逐个判断每个代数式是否符合整式的要求，统计符合的个数即可。
【解析】
首先明确整式的定义：单项式和多项式统称为整式。
逐个分析所给代数式：
①$a^2 +5$是单项式$a^2$和5的和，属于多项式，是整式；
②$-3$是单独的数字，属于单项式，是整式；
③$\frac{5}{x}$的分母中含有字母$x$，属于分式，不是整式；
④$a^2 -3a +2$是单项式$a^2$、$-3a$、2的和，属于多项式，是整式；
⑤$π$是固定的常数，属于单独的数字，是单项式，是整式。
综上，属于整式的有①②④⑤，共4个。
【答案】
C
【知识点】
整式的概念；单项式的概念；多项式的概念
【点评】
本题是整式判定的基础题型，解题核心是掌握整式的分类标准，要特别注意π是常数而非字母，分母含字母的代数式不属于整式，避免因概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.8

【例2】写出下列各式是几次几项式，并写出次数最高的项、次数最高的项的系数以及常数项.
(1)$7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1$；
(2)$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4$.
解:

(1)$7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1$ 是六次六项式,次数最高的项是$-3x^5y$,次数最高的项的系数是$-3$,常数项是1.
(2)$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4$ 是四次四项式,次数最高的项是$-\frac{1}{3}x^2y^2$ 和 $x^4$,次数最高的项的系数分别是$-\frac{1}{3}$和1,常数项是$-1$.

【分析】
要解决这类问题，首先要明确多项式的相关核心概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式，注意要包含项前面的符号；②单项式的次数：单项式中所有字母的指数和；③多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数；④几次几项式：多项式的次数是几就命名为几次，有几个不含同类项的项就命名为几项式；⑤最高次项系数：最高次项的数字因数；⑥常数项：不含字母的项。
解题思路：第一步先拆分出每个多项式的所有项；第二步逐一计算每一项的次数；第三步找到最高次数确定多项式的次数，统计项数确定是几项式；最后对应找出最高次项、最高次项的系数和常数项即可。
【解析】
(1) 先拆分多项式$7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1$的所有项：$7x^2$、$-3x^5y$、$-y^3$、$6x$、$-3y^2$、$1$，共6项。
分别计算各项次数：
$7x^2$的次数是2；$-3x^5y$的次数是$5+1=6$；$-y^3$的次数是3；$6x$的次数是1；$-3y^2$的次数是2；$1$是常数项，次数为0。
最高次数为6，因此该多项式是六次六项式；次数最高的项是$-3x^5y$，其系数是$-3$，常数项是1。
(2) 拆分多项式$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4$的所有项：$\frac{1}{2}x$、$-\frac{1}{3}x^2y^2$、$-1$、$x^4$，共4项。
分别计算各项次数：
$\frac{1}{2}x$的次数是1；$-\frac{1}{3}x^2y^2$的次数是$2+2=4$；$-1$是常数项，次数为0；$x^4$的次数是4。
最高次数为4，因此该多项式是四次四项式；次数最高的项是$-\frac{1}{3}x^2y^2$和$x^4$，对应系数分别是$-\frac{1}{3}$和1，常数项是$-1$。
【答案】
(1)$7x^2 - 3x^5y - y^3 + 6x - 3y^2 + 1$ 是六次六项式,次数最高的项是$-3x^5y$,次数最高的项的系数是$-3$,常数项是1.
(2)$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x^2y^2 - 1 + x^4$ 是四次四项式,次数最高的项是$-\frac{1}{3}x^2y^2$ 和 $x^4$,次数最高的项的系数分别是$-\frac{1}{3}$和1,常数项是$-1$.
【知识点】
多项式的项与次数，单项式的次数，常数项的定义
【点评】
本题是多项式概念的基础考查题，解题的关键是准确计算每个单项式的次数，确定多项式的项时要注意保留项前面的符号，若多个项的次数均为最高次数，这些都属于最高次项，不要遗漏。
【难度系数】
0.75