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4. 如图，A，B两点在双曲线$y=\frac{4}{x}$上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线段. 已知$S_1 + S_2 = 6$，则$S_{阴影}$的值为（
A.4
B.2
C.1
D.无法确定
4题图
5题图
C
）A.4
B.2
C.1
D.无法确定
4题图
5题图
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积等于|k|。本题中双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}$，可得A、B两点对应的矩形面积均为4。再观察图形的面积组成：两个矩形的面积之和等于$S_1+S_2+2$倍的阴影面积，结合已知$S_1+S_2=6$，代入即可建立等式求出阴影部分的面积。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义可知：
过双曲线$y=\frac{4}{x}$上的点向坐标轴作垂线段，形成的矩形面积为$|k|=4$，因此A、B两点对应的两个矩形面积均为4，两个矩形的面积总和为$4+4=8$。
由图形的面积关系可得：两个矩形的面积和$=S_1 + S_2 + 2S_{阴影}$。
已知$S_1 + S_2=6$，代入得：
$8=6 + 2S_{阴影}$
解得：$S_{阴影}=1$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形面积计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，解题的核心是正确识别两个矩形面积和与已知的$S_1$、$S_2$及阴影面积的数量关系，掌握k的几何意义就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过双曲线上任意一点向x轴、y轴作垂线段，所得矩形的面积等于|k|。本题中双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}$，可得A、B两点对应的矩形面积均为4。再观察图形的面积组成：两个矩形的面积之和等于$S_1+S_2+2$倍的阴影面积，结合已知$S_1+S_2=6$，代入即可建立等式求出阴影部分的面积。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义可知：
过双曲线$y=\frac{4}{x}$上的点向坐标轴作垂线段，形成的矩形面积为$|k|=4$，因此A、B两点对应的两个矩形面积均为4，两个矩形的面积总和为$4+4=8$。
由图形的面积关系可得：两个矩形的面积和$=S_1 + S_2 + 2S_{阴影}$。
已知$S_1 + S_2=6$，代入得：
$8=6 + 2S_{阴影}$
解得：$S_{阴影}=1$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义，图形面积计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题，解题的核心是正确识别两个矩形面积和与已知的$S_1$、$S_2$及阴影面积的数量关系，掌握k的几何意义就能快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆点O左侧固定位置点B处悬挂一个重物，在点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧秤的示数y（单位：N）的变化情况. 实验数据记录如下.
则y关于x的函数解析式为
则y关于x的函数解析式为
$y=\frac{300}{x}$
.答案
5. $y=\frac{300}{x}$
解析
【分析】
解题思路：首先结合杠杆平衡原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”分析，本题中重物重力、重物到O点的距离均为固定值，因此二者的乘积为定值，可判断弹簧秤示数y和弹簧秤到O点的距离x成反比例函数关系。接下来设反比例函数的一般形式，代入表格中一组对应数据求出比例系数k，再用其他组数据验证结果的正确性，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：根据杠杆平衡条件可知，动力×动力臂=阻力×阻力臂，本题中阻力（重物的重力）、阻力臂（点B到点O的距离）均为定值，因此y与x的乘积为定值，即y是x的反比例函数。
设y关于x的函数解析式为$ y=\frac{k}{x} \ (k≠0,x＞0) $，
将表格中$ x=10,y=30 $代入解析式得：
$ 30=\frac{k}{10} $，解得$ k=30×10=300 $，
因此初步得到解析式为$ y=\frac{300}{x} $。
验证：将$ x=15 $代入得$ y=\frac{300}{15}=20 $，与表格数据一致；将$ x=20 $代入得$ y=\frac{300}{20}=15 $，也符合表格数据，其余数据代入均成立，故解析式正确。
【答案】
$ y=\frac{300}{x} $
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 杠杆平衡条件
【点评】
本题属于跨学科的基础应用题，结合物理知识考查反比例函数的相关内容，解题核心是先判断变量的反比例关系，再通过代值计算求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先结合杠杆平衡原理“动力×动力臂=阻力×阻力臂”分析，本题中重物重力、重物到O点的距离均为固定值，因此二者的乘积为定值，可判断弹簧秤示数y和弹簧秤到O点的距离x成反比例函数关系。接下来设反比例函数的一般形式，代入表格中一组对应数据求出比例系数k，再用其他组数据验证结果的正确性，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
解：根据杠杆平衡条件可知，动力×动力臂=阻力×阻力臂，本题中阻力（重物的重力）、阻力臂（点B到点O的距离）均为定值，因此y与x的乘积为定值，即y是x的反比例函数。
设y关于x的函数解析式为$ y=\frac{k}{x} \ (k≠0,x＞0) $，
将表格中$ x=10,y=30 $代入解析式得：
$ 30=\frac{k}{10} $，解得$ k=30×10=300 $，
因此初步得到解析式为$ y=\frac{300}{x} $。
验证：将$ x=15 $代入得$ y=\frac{300}{15}=20 $，与表格数据一致；将$ x=20 $代入得$ y=\frac{300}{20}=15 $，也符合表格数据，其余数据代入均成立，故解析式正确。
【答案】
$ y=\frac{300}{x} $
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 待定系数法求解析式
3. 杠杆平衡条件
【点评】
本题属于跨学科的基础应用题，结合物理知识考查反比例函数的相关内容，解题核心是先判断变量的反比例关系，再通过代值计算求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
6. 如图，A，B分别是反比例函数$y=-\frac{3}{x}$和$y=\frac{4}{x}$的部分图象上的点，AB//x轴，点C是x轴上一点，则△ABC的面积为
6题图
7题图
3.5
。6题图
7题图
答案
6. 3.5
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：①首先观察到AB//x轴，可知A、B两点纵坐标相等，这是突破口；②求△ABC的面积时，可将AB作为底边，由于点C在x轴上，因此AB边上的高就是A、B两点纵坐标的绝对值，且三角形面积与点C在x轴上的具体位置无关；③设A、B的纵坐标为参数，分别代入两个反比例函数解析式，表示出A、B的横坐标，进而求出AB的长度，最后代入三角形面积公式计算，计算过程中参数会自动消去，得到最终结果。
【解析】
设点A的纵坐标为$k(k≠0)$，
∵ $AB// x$轴，
∴ 点B的纵坐标也为$k$。
将$y=k$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$x=-\frac{3}{k}$，即$A(-\frac{3}{k},k)$；
将$y=k$代入$y=\frac{4}{x}$，得$x=\frac{4}{k}$，即$B(\frac{4}{k},k)$。
∴ $AB$的长度为$\left|\frac{4}{k}-(-\frac{3}{k})\right|=\left|\frac{7}{k}\right|$。
∵ 点C在x轴上，
∴ △ABC中AB边上的高为A、B到x轴的距离，即$|k|$。
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB×高=\frac{1}{2}×\left|\frac{7}{k}\right|×|k|=\frac{7}{2}=3.5$。
【答案】
3.5
【知识点】
反比例函数的性质；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数面积类的常规题型，解题核心是利用平行线的性质得到两点纵坐标相同，通过设参数的方法表示线段长度，无需确定点C的具体位置即可求出面积，解题过程中注意坐标与线段长度的转换要带绝对值。
【难度系数】
0.7
解题思路可按以下步骤梳理：①首先观察到AB//x轴，可知A、B两点纵坐标相等，这是突破口；②求△ABC的面积时，可将AB作为底边，由于点C在x轴上，因此AB边上的高就是A、B两点纵坐标的绝对值，且三角形面积与点C在x轴上的具体位置无关；③设A、B的纵坐标为参数，分别代入两个反比例函数解析式，表示出A、B的横坐标，进而求出AB的长度，最后代入三角形面积公式计算，计算过程中参数会自动消去，得到最终结果。
【解析】
设点A的纵坐标为$k(k≠0)$，
∵ $AB// x$轴，
∴ 点B的纵坐标也为$k$。
将$y=k$代入$y=-\frac{3}{x}$，得$x=-\frac{3}{k}$，即$A(-\frac{3}{k},k)$；
将$y=k$代入$y=\frac{4}{x}$，得$x=\frac{4}{k}$，即$B(\frac{4}{k},k)$。
∴ $AB$的长度为$\left|\frac{4}{k}-(-\frac{3}{k})\right|=\left|\frac{7}{k}\right|$。
∵ 点C在x轴上，
∴ △ABC中AB边上的高为A、B到x轴的距离，即$|k|$。
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB×高=\frac{1}{2}×\left|\frac{7}{k}\right|×|k|=\frac{7}{2}=3.5$。
【答案】
3.5
【知识点】
反比例函数的性质；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数面积类的常规题型，解题核心是利用平行线的性质得到两点纵坐标相同，通过设参数的方法表示线段长度，无需确定点C的具体位置即可求出面积，解题过程中注意坐标与线段长度的转换要带绝对值。
【难度系数】
0.7
7. 如图，反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象与直线 $y=kx$（$k＞0$）相交于A，B两点，$AC // y$ 轴，$BC // x$ 轴，则 $△ ABC$ 的面积等于
4
。答案
7. 4
解析
【分析】
解题思路：首先回忆反比例函数与正比例函数的交点性质：当正比例函数与反比例函数相交时，两个交点关于原点中心对称。本题中$△ ABC$是直角三角形，我们可以通过设参数表示出A、B、C三点的坐标，进而求出两条直角边的长度，代入直角三角形面积公式计算即可，计算过程中参数会自动抵消，得到面积的定值。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$和正比例函数$y=kx(k＞0)$的图象均关于原点中心对称，
∴交点A、B关于原点对称。
设点A的坐标为$(a,\dfrac{2}{a})$（$a＞0$），则点B的坐标为$(-a,-\dfrac{2}{a})$。
∵$AC // y$轴，$BC // x$轴，
∴点C的横坐标与点A相同，纵坐标与点B相同，即$C(a,-\dfrac{2}{a})$。
∴$AC=\dfrac{2}{a}-(-\dfrac{2}{a})=\dfrac{4}{a}$，$BC=a-(-a)=2a$。
∴$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} × AC × BC=\dfrac{1}{2} × \dfrac{4}{a} × 2a=4$。
【答案】
4
【知识点】
1.反比例函数的对称性 2.坐标与线段长度转换 3.直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，解题关键是利用反比例函数与正比例函数交点的中心对称性，通过设参数表示点坐标的方法简化计算，无需求出参数的具体值即可得到面积定值。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆反比例函数与正比例函数的交点性质：当正比例函数与反比例函数相交时，两个交点关于原点中心对称。本题中$△ ABC$是直角三角形，我们可以通过设参数表示出A、B、C三点的坐标，进而求出两条直角边的长度，代入直角三角形面积公式计算即可，计算过程中参数会自动抵消，得到面积的定值。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$和正比例函数$y=kx(k＞0)$的图象均关于原点中心对称，
∴交点A、B关于原点对称。
设点A的坐标为$(a,\dfrac{2}{a})$（$a＞0$），则点B的坐标为$(-a,-\dfrac{2}{a})$。
∵$AC // y$轴，$BC // x$轴，
∴点C的横坐标与点A相同，纵坐标与点B相同，即$C(a,-\dfrac{2}{a})$。
∴$AC=\dfrac{2}{a}-(-\dfrac{2}{a})=\dfrac{4}{a}$，$BC=a-(-a)=2a$。
∴$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} × AC × BC=\dfrac{1}{2} × \dfrac{4}{a} × 2a=4$。
【答案】
4
【知识点】
1.反比例函数的对称性 2.坐标与线段长度转换 3.直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考题型，解题关键是利用反比例函数与正比例函数交点的中心对称性，通过设参数表示点坐标的方法简化计算，无需求出参数的具体值即可得到面积定值。
【难度系数】
0.7
8. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m³）的反比例函数，其图象如图所示.
（1）求这个函数的解析式.
（2）当气体体积为1 m³时，压强是多少？
（3）当气球内的压强大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少（精确到0.01 m³）？
（1）求这个函数的解析式.
（2）当气体体积为1 m³时，压强是多少？
（3）当气球内的压强大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少（精确到0.01 m³）？
答案
8. 解（1）设 $p=\frac{k}{V}$. 由题意知 $120=\frac{k}{0.8}$，所以 $k=96$，故 $p=\frac{96}{V}$.
（2）当$V=1\ \mathrm{m^3}$时，$p=\frac{96}{1}=96\ (\mathrm{kPa})$.
（3）当 $p = 140\ \mathrm{kPa}$ 时，$V = \frac{96}{140}\approx 0.69\ (\mathrm{m^3})$.
所以为了安全起见，气体的体积应不少于$0.69\ \mathrm{m^3}$.
（2）当$V=1\ \mathrm{m^3}$时，$p=\frac{96}{1}=96\ (\mathrm{kPa})$.
（3）当 $p = 140\ \mathrm{kPa}$ 时，$V = \frac{96}{140}\approx 0.69\ (\mathrm{m^3})$.
所以为了安全起见，气体的体积应不少于$0.69\ \mathrm{m^3}$.
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 题目明确压强p是体积V的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}(k≠0)$，再将图象上已知点A的坐标代入解析式，即可求出常数k的值，得到函数解析式，注意结合实际意义自变量V的取值范围为$V＞0$。
(2) 第二问求$V=1\ \mathrm{m^3}$时的压强，直接将$V=1$代入第一问求出的解析式，计算即可得到对应的p值。
(3) 第三问要求安全的体积范围，首先明确安全条件是压强$p≤140\ \mathrm{kPa}$，结合反比例函数$p=\frac{96}{V}$的性质：$k=96＞0$，当$V＞0$时，p随V的增大而减小，因此只需要求出$p=140\ \mathrm{kPa}$时对应的V值，这个值就是最小安全体积，即气体体积不能小于该值才能保证压强不超过140kPa。
【解析】
(1) 设反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$，
将点$A(0.8,120)$代入解析式得：$120=\frac{k}{0.8}$，
解得$k=120×0.8=96$，
故函数解析式为$p=\frac{96}{V}(V＞0)$。
(2) 当$V=1\ \mathrm{m^3}$时，代入解析式得：
$p=\frac{96}{1}=96\ \mathrm{kPa}$。
(3) 由安全要求可知$p≤140\ \mathrm{kPa}$，即$\frac{96}{V}≤140$，
因为$V＞0$，不等式变形得$V≥\frac{96}{140}\approx0.69\ \mathrm{m^3}$。
【答案】
(1) $p=\frac{96}{V}(V＞0)$
(2) $96\ \mathrm{kPa}$
(3) 不小于$0.69\ \mathrm{m^3}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数的性质
【点评】
本题以气球压强和体积的关系为背景考查反比例函数的应用，解题核心是先求出函数解析式，再结合函数性质解决实际问题，能够体现数学与生活的联系，锻炼应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 题目明确压强p是体积V的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{V}(k≠0)$，再将图象上已知点A的坐标代入解析式，即可求出常数k的值，得到函数解析式，注意结合实际意义自变量V的取值范围为$V＞0$。
(2) 第二问求$V=1\ \mathrm{m^3}$时的压强，直接将$V=1$代入第一问求出的解析式，计算即可得到对应的p值。
(3) 第三问要求安全的体积范围，首先明确安全条件是压强$p≤140\ \mathrm{kPa}$，结合反比例函数$p=\frac{96}{V}$的性质：$k=96＞0$，当$V＞0$时，p随V的增大而减小，因此只需要求出$p=140\ \mathrm{kPa}$时对应的V值，这个值就是最小安全体积，即气体体积不能小于该值才能保证压强不超过140kPa。
【解析】
(1) 设反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}(k≠0,V＞0)$，
将点$A(0.8,120)$代入解析式得：$120=\frac{k}{0.8}$，
解得$k=120×0.8=96$，
故函数解析式为$p=\frac{96}{V}(V＞0)$。
(2) 当$V=1\ \mathrm{m^3}$时，代入解析式得：
$p=\frac{96}{1}=96\ \mathrm{kPa}$。
(3) 由安全要求可知$p≤140\ \mathrm{kPa}$，即$\frac{96}{V}≤140$，
因为$V＞0$，不等式变形得$V≥\frac{96}{140}\approx0.69\ \mathrm{m^3}$。
【答案】
(1) $p=\frac{96}{V}(V＞0)$
(2) $96\ \mathrm{kPa}$
(3) 不小于$0.69\ \mathrm{m^3}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数的性质
【点评】
本题以气球压强和体积的关系为背景考查反比例函数的应用，解题核心是先求出函数解析式，再结合函数性质解决实际问题，能够体现数学与生活的联系，锻炼应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
