9. 某校对下午放学时校门口的“堵塞”情况做了一个调查，发现每天下午放学后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”$y$（单位：%）与放学时间$x$（单位：min）之间的函数关系描述. 如图，放学后2 min到12 min，$y$与$x$成二次函数关系，且在第12 min达到最大值100，此后变化大致为反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＞0$）的图象. “拥挤指数”$y$不低于64判定为“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通.
（1）求该二次函数的解析式和$k$的值；
（2）小艺认为“拥挤状态”持续的时间会超过10 min，请通过计算说明小艺的说法是否正确.

9. 解（1）设该二次函数的解析式为$y=a(x-12)^2+100$. 由条件可知 $100a + 100=0$，解得 $a=-1$. 所以 $y=-(x-12)^2+100$. 把点 $(12,\ 100)$ 代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $k=1\ 200$.
（2）小艺的说法是正确的. 理由如下：
令$-(x-12)^2 + 100 = 64$，解得 $x_1=6$，$x_2=18$（不合题意，舍去）. 令$\frac{1\ 200}{x}=64$，解得$x=18.75$. 因为 $18.75-6=12.75\ (\mathrm{min})$，$12.75＞10$，所以小艺的说法是正确的.

【分析】
（1）求解函数解析式优先使用待定系数法：观察二次函数图像可知顶点坐标为$(12,100)$，因此设二次函数顶点式$y=a(x-12)^2+100$，再将图像上已知点$(2,0)$代入即可求出$a$的值；反比例函数$y=\frac{k}{x}$过点$(12,100)$，将该点代入反比例函数解析式即可求出$k$值。
（2）要判断“拥挤状态”持续时间是否超过10min，首先明确“拥挤状态”对应$y≥64$，分别在二次函数区间（$2≤ x≤12$）和反比例函数区间（$x＞12$）求解$y=64$时对应的$x$值，两个$x$值的差就是拥挤状态的总时长，再和10min比较大小即可判断小艺的说法是否正确。
【解析】
（1）$\because$ 二次函数在$x=12$时取得最大值100，即顶点坐标为$(12,100)$
$\therefore$ 设二次函数的解析式为$y=a(x-12)^2+100$（$2≤ x≤12$）
由图像可知，二次函数过点$(2,0)$，将$x=2,y=0$代入解析式得：
$a(2-12)^2+100=0$，即$100a+100=0$
解得$a=-1$
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-(x-12)^2+100$（$2≤ x≤12$）
将点$(12,100)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＞12$）得：
$100=\frac{k}{12}$，解得$k=12×100=1200$
（2）先求二次函数段$y=64$对应的$x$值：
令$-(x-12)^2+100=64$
整理得$(x-12)^2=36$
开方得$x-12=\pm6$
解得$x_1=6$，$x_2=18$
$\because 2≤ x≤12$，$\therefore x=18$不符合区间要求，舍去，即二次函数段拥挤开始时间为$x=6\mathrm{min}$
再求反比例函数段$y=64$对应的$x$值：
令$\frac{1200}{x}=64$
解得$x=\frac{1200}{64}=18.75$，即拥挤结束时间为$x=18.75\mathrm{min}$
$\therefore$ 拥挤状态持续时长为$18.75-6=12.75\mathrm{min}$
$\because 12.75＞10$，因此小艺的说法正确。
【答案】
（1）二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-(x-12)^2+100}$，$\boldsymbol{k=1200}$；
（2）小艺的说法正确。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合校园门口拥堵的实际场景，考查分段函数的实际应用，解题时需注意不同函数对应的自变量取值范围，避免求解后未验证区间造成错解，同时需要掌握利用函数值反求自变量的方法来解决实际判断类问题。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$AC⊥x$轴于点$A$，点$B$在$y$轴的正半轴上，$S_{△ ABC}=6$，点$D$为线段$AC$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象的交点. 若直线$BD$将$△ ABC$的面积分成$1:2$的两部分，则$k$的值为.

10. -4或-8

【分析】
首先，由AC垂直x轴可知AC平行于y轴，因此△ABC以AC为底时，高为点A到y轴的水平距离，结合已知△ABC的面积可得到AC与A点横坐标绝对值的乘积。其次，直线BD分△ABC面积为1:2的两部分，由于△ABD和△CBD同高，面积比等于底AD与DC的比，因此需要分两种情况讨论面积占比，得到D点的纵坐标与AC的关系，最后结合反比例函数k的意义（k=xy），注意D点在第二象限，横坐标为负，即可求出k的值。
【解析】
解：
∵AC⊥x轴，
∴AC//y轴，
∴△ABC以AC为底时，高等于点A到y轴的水平距离，即$|x_A|$（$x_A$为点A的横坐标，$x_A＜0$）。
已知$S_{△ ABC}=6$，则$\frac{1}{2} × AC × |x_A| = 6$，即$AC × |x_A| = 12$。
∵△ABD和△CBD同高（高均为AC到y轴的水平距离），
∴二者面积比等于底的比$AD:DC$。
直线BD将△ABC面积分为1:2两部分，分两种情况讨论：
1. 当$S_{△ ABD}:S_{△ CBD}=1:2$时，$AD:DC=1:2$，则$AD=\frac{1}{3}AC$。
设点A坐标为$(a,0)$（$a＜0$），点C坐标为$(a, h)$，则点D坐标为$(a, \frac{1}{3}h)$。
代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$得：$k = a × \frac{1}{3}h$，
∵$a=-|a|$，$|a|× h=12$，
∴$k= -\frac{1}{3} × 12 = -4$。
2. 当$S_{△ ABD}:S_{△ CBD}=2:1$时，$AD:DC=2:1$，则$AD=\frac{2}{3}AC$，
此时点D坐标为$(a, \frac{2}{3}h)$，代入得：$k = a × \frac{2}{3}h = -\frac{2}{3} × 12 = -8$。
综上，k的值为-4或-8。
【答案】
-4或-8
【知识点】
反比例函数的性质，三角形面积计算，分类讨论
【点评】
本题考查反比例函数与三角形面积的综合应用，解题时需注意分两种情况讨论面积的比例关系，同时要结合点所在象限判断k的符号，避免出现漏解或符号错误的问题。
【难度系数】
0.6

11. 如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长为6 m的墙，用篱笆围一个面积为30 m²的矩形科技园ABCD，设AB的长为x(单位：m)，BC的长为
y(单位：m).
(1) 求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
(2) 若边AD和DC的长都是整米数，且围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20 m，求出满足条件的所有围建方案.

12. 小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①）. 该工具有一横杆固定于桔槔上点O，并可绕点O转动. 在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB＝1 m. 若图中人物竖直向下的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小F与l的变化，如下表.

(1) 小益通过分析表格数据发现，F是l的函数，在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
图②
(2) 根据以上数据和图象，直接写出F关于l的函数解析式（不要求写自变量l的取值范围），并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小，请说明理由；
(3) 已知横杆总长为8 m，小益想用40 N的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由.

11. 解（1）依题意得 $xy=30$. 所以$y=\frac{30}{x}$.
又因为墙长为6 m，所以$\frac{30}{x}≤6$.
所以$x≥5$.
所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{30}{x}\ (x≥5)$.
（2）因为$x$，$y$均为整数，$x≥5$，且$y=\frac{30}{x}$，
所以$x$可以为5，6，10，15，30.
因为$2x+y≤20$，即$2x+\frac{30}{x}≤20$，
所以$x$可以为5，6，所以共有2种围建方案.
方案1：$AB$的长为5 m，$BC$的长为6 m；
方案2：$AB$的长为6 m，$BC$的长为5 m.
12. 解（1）
（2）$F$是$l$的反比例函数，解析式为$F=\frac{300}{l}$. 当$OA$的长增大时，拉力$F$减小.
理由如下：因为$Fl=300$，所以$F=\frac{300}{l}$. 所以在第一象限内，$F$随$l$的增大而减小，即当$OA$的长增大时，拉力$F$减小.
（3）由题意得，$OA$的最大长度为7 m.
因为用40 N的拉力，所以令$F=40$，代入$F=\frac{300}{l}$，则$l=\frac{300}{40}=7.5\ (\mathrm{m})$.
因为$7.5\ \mathrm{m}＞7\ \mathrm{m}$，所以小益不能成功.

【分析】
第11题解题思路：
(1) 首先根据矩形面积公式：面积=长×宽，已知面积为30m²，AB=x，BC=y，可得xy=30，变形即可得到y关于x的函数解析式；再结合墙长为6m，即靠墙的边BC的长度y不能超过墙长，代入解析式即可求出自变量x的取值范围。
(2) 先根据x、y均为正整数，结合x的取值范围和反比例函数解析式，找出所有符合条件的x的可能值；再根据三边篱笆总长不超过20m的限制条件（篱笆总长为2个AB长加1个BC长，即2x+y≤20），筛选出满足不等式的x值，对应写出围建方案即可。
第12题解题思路：
(1) 根据给出的(l,F)对应数值，在坐标系中逐一描点，再用平滑的曲线连接各点即可得到函数图象。
(2) 观察数据可发现每组l和F的乘积均为定值300，符合反比例函数的特征，因此可直接写出F关于l的函数解析式；再根据反比例函数的性质，当k＞0时，在第一象限内函数值随自变量的增大而减小，即可判断F随l的变化趋势。
(3) 首先根据横杆总长和OB的长度，计算出OA的最大长度；再将F=40N代入函数解析式求出对应的l值，和OA的最大长度比较，若超过最大长度则不能成功，反之则可以成功。
【解析】
第11题解析：
(1) 由矩形面积公式可得：$xy=30$，变形得$y=\frac{30}{x}$。
由于墙长为6m，BC边靠墙，因此$y≤6$，代入解析式得$\frac{30}{x}≤6$，解得$x≥5$。
因此y关于x的函数解析式为$y=\frac{30}{x}\ (x≥5)$。
(2) 已知x、y均为正整数，且$x≥5$，$y=\frac{30}{x}$，则x是30的正因数，符合条件的x取值为5、6、10、15、30。
又因为三边篱笆总长不超过20m，即$2x+y≤20$，代入$y=\frac{30}{x}$得$2x+\frac{30}{x}≤20$：
当x=5时，$2×5+\frac{30}{5}=10+6=16≤20$，符合条件；
当x=6时，$2×6+\frac{30}{6}=12+5=17≤20$，符合条件；
当x≥10时，$2x≥20$，$2x+\frac{30}{x}＞20$，不符合条件。
因此满足条件的x为5和6，对应两种方案。
第12题解析：
(1) 按照数据逐一描点，用平滑曲线连接各点，得到图象如下：

(2) 观察数据可知$l· F=300$，因此F关于l的函数解析式为$F=\frac{300}{l}$。
当OA的长（即l）增大时，拉力F减小，理由：反比例函数$F=\frac{300}{l}$中$k=300＞0$，在第一象限内，F随l的增大而减小，因此OA越长，拉力F越小。
(3) 已知横杆总长为8m，OB=1m，因此OA的最大长度为$8-1=7\ \mathrm{m}$。
若拉力$F=40\ \mathrm{N}$，代入解析式得$40=\frac{300}{l}$，解得$l=\frac{300}{40}=7.5\ \mathrm{m}$。
由于$7.5\ \mathrm{m}＞7\ \mathrm{m}$，超过了OA的最大长度，因此小益不能成功。
【答案】
11. （1）$y=\frac{30}{x}\ (x≥5)$；
（2）共2种围建方案：
方案1：AB的长为5 m，BC的长为6 m；
方案2：AB的长为6 m，BC的长为5 m。
12. （1）
（2）函数解析式为$F=\frac{300}{l}$，当OA的长增大时，拉力F减小；
（3）小益不能成功。
【知识点】
反比例函数的实际应用、反比例函数的性质、不等式的应用
【点评】
本组题目结合生活实际场景考查反比例函数的相关知识，解题的关键是将实际问题转化为反比例函数模型，结合限制条件确定自变量的取值范围，再利用函数性质解决问题，注重考查学生的数据分析能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7