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1. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法.小聪发现，在安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的限速区间AB段的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于60 km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（
A.0.15 h
B.0.32 h
C.0.45 h
D.0.5 h
B
）A.0.15 h
B.0.32 h
C.0.45 h
D.0.5 h
答案
1. B
解析
【分析】首先，根据题目中“v与t是反比例函数关系”，先设反比例函数解析式，利用图②的已知点求出解析式；再结合限速规定（最高车速≤120km/h，最低车速≥60km/h），将v的范围代入解析式，求出时间t的取值范围；最后对比选项，选出符合范围的答案。
【解析】设v与t的反比例函数解析式为$ v = \frac{k}{t} (k ≠ 0) $，将点$ (0.3, 80) $代入得：
$ 80 = \frac{k}{0.3} $，解得$ k = 80 × 0.3 = 24 $，因此解析式为$ v = \frac{24}{t} $。
根据限速规定：
1. 最高车速不超过120km/h，即$ v ≤ 120 $，代入得$ \frac{24}{t} ≤ 120 $，解得$ t ≥ 0.2 \, \mathrm{h} $；
2. 最低车速不低于60km/h，即$ v ≥ 60 $，代入得$ \frac{24}{t} ≥ 60 $，解得$ t ≤ 0.4 \, \mathrm{h} $；
因此时间t的范围是$ 0.2 \, \mathrm{h} ≤ t ≤ 0.4 \, \mathrm{h} $，对比选项：只有0.32h在该范围内，故选B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的应用、不等式的应用
【点评】本题是反比例函数在实际测速问题中的应用，核心是先确定函数解析式，再结合限速条件求时间范围，难度适中，需掌握反比例函数性质与不等式求解方法。
【难度系数】0.6
【解析】设v与t的反比例函数解析式为$ v = \frac{k}{t} (k ≠ 0) $，将点$ (0.3, 80) $代入得：
$ 80 = \frac{k}{0.3} $，解得$ k = 80 × 0.3 = 24 $，因此解析式为$ v = \frac{24}{t} $。
根据限速规定：
1. 最高车速不超过120km/h，即$ v ≤ 120 $，代入得$ \frac{24}{t} ≤ 120 $，解得$ t ≥ 0.2 \, \mathrm{h} $；
2. 最低车速不低于60km/h，即$ v ≥ 60 $，代入得$ \frac{24}{t} ≥ 60 $，解得$ t ≤ 0.4 \, \mathrm{h} $；
因此时间t的范围是$ 0.2 \, \mathrm{h} ≤ t ≤ 0.4 \, \mathrm{h} $，对比选项：只有0.32h在该范围内，故选B。
【答案】B
【知识点】反比例函数的应用、不等式的应用
【点评】本题是反比例函数在实际测速问题中的应用，核心是先确定函数解析式，再结合限速条件求时间范围，难度适中，需掌握反比例函数性质与不等式求解方法。
【难度系数】0.6
2. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度. 当密度计悬浮在不同的液体中时, 浸在液体中的高度 $h$ (单位: $\mathrm{cm}$ ) 是液体的密度 $\rho$ (单位: $\mathrm{g} / \mathrm{cm}^3$, $\rho＞0$ ) 的反比例函数, 其图象如
所示. 下列说法正确的是（
A.当液体密度 $\rho ≥ 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ 时, 浸在液体中的高度 $h ≥ 20 \mathrm{~cm}$
B.当液体密度 $\rho=2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ 时, 浸在液体中的高度 $h=40 \mathrm{~cm}$
C.当浸在液体中的高度 $0＜h ≤ 25 \mathrm{~cm}$时, 该液体的密度 $\rho ≥ 0.8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$
D.当液体的密度 $0＜\rho ≤ 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ 时,浸在液体中的高度 $h ≤ 20 \mathrm{~cm}$
所示. 下列说法正确的是（C
）A.当液体密度 $\rho ≥ 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ 时, 浸在液体中的高度 $h ≥ 20 \mathrm{~cm}$
B.当液体密度 $\rho=2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ 时, 浸在液体中的高度 $h=40 \mathrm{~cm}$
C.当浸在液体中的高度 $0＜h ≤ 25 \mathrm{~cm}$时, 该液体的密度 $\rho ≥ 0.8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$
D.当液体的密度 $0＜\rho ≤ 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$ 时,浸在液体中的高度 $h ≤ 20 \mathrm{~cm}$
答案
2. C
解析
【分析】首先，根据题意可知浸在液体中的高度$ h $与液体密度$ \rho $成反比例函数关系，先设出反比例函数解析式，结合图像上的已知点求出解析式，再利用反比例函数的性质（$ k＞0 $时，第一象限内$ h $随$ \rho $增大而减小），逐一分析各选项的正确性。
【解析】设$ h $与$ \rho $的反比例函数关系式为$ h = \frac{k}{\rho} $（$ k≠0 $，$ \rho＞0 $）。
将图像上的点$ (1, 20) $代入解析式，得$ 20 = \frac{k}{1} $，解得$ k=20 $，因此函数解析式为$ h = \frac{20}{\rho} $（$ \rho＞0 $）。
对各选项分析：
选项A：当$ \rho≥1g/cm^3 $时，因$ k=20＞0 $，第一象限内$ h $随$ \rho $增大而减小，故$ h≤20cm $，A错误；
选项B：当$ \rho=2g/cm^3 $时，代入解析式得$ h=\frac{20}{2}=10cm $，不是40cm，B错误；
选项C：当$ 0＜h≤25cm $时，代入$ h=\frac{20}{\rho} $得$ \frac{20}{\rho}≤25 $，因$ \rho＞0 $，两边同乘$ \rho $得$ 20≤25\rho $，解得$ \rho≥0.8g/cm^3 $，C正确；
选项D：当$ 0＜\rho≤1g/cm^3 $时，$ h $随$ \rho $减小而增大，故$ h≥20cm $，不是$ h≤20cm $，D错误。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题考查反比例函数在实际测量中的应用，关键是先确定函数解析式，再利用反比例函数的增减性分析变量关系，需注意自变量和函数值的范围限制。
【难度系数】0.6
【解析】设$ h $与$ \rho $的反比例函数关系式为$ h = \frac{k}{\rho} $（$ k≠0 $，$ \rho＞0 $）。
将图像上的点$ (1, 20) $代入解析式，得$ 20 = \frac{k}{1} $，解得$ k=20 $，因此函数解析式为$ h = \frac{20}{\rho} $（$ \rho＞0 $）。
对各选项分析：
选项A：当$ \rho≥1g/cm^3 $时，因$ k=20＞0 $，第一象限内$ h $随$ \rho $增大而减小，故$ h≤20cm $，A错误；
选项B：当$ \rho=2g/cm^3 $时，代入解析式得$ h=\frac{20}{2}=10cm $，不是40cm，B错误；
选项C：当$ 0＜h≤25cm $时，代入$ h=\frac{20}{\rho} $得$ \frac{20}{\rho}≤25 $，因$ \rho＞0 $，两边同乘$ \rho $得$ 20≤25\rho $，解得$ \rho≥0.8g/cm^3 $，C正确；
选项D：当$ 0＜\rho≤1g/cm^3 $时，$ h $随$ \rho $减小而增大，故$ h≥20cm $，不是$ h≤20cm $，D错误。
【答案】C
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题考查反比例函数在实际测量中的应用，关键是先确定函数解析式，再利用反比例函数的增减性分析变量关系，需注意自变量和函数值的范围限制。
【难度系数】0.6
3. 如图，A，B是函数$y=\frac{2}{x}$的图象上关于原点O对称的任意两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D。设四边形ADBC的面积为S，则（
A.$S=2$
B.$2＜S＜4$
C.$S=4$
D.$S＞4$
C
）A.$S=2$
B.$2＜S＜4$
C.$S=4$
D.$S＞4$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决本题，需利用反比例函数的性质、关于原点对称的点的坐标特征，结合坐标法计算四边形面积。首先设点A的坐标，根据对称性得到点B的坐标，再确定C、D的坐标，最后通过坐标计算四边形ADBC的面积即可。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{2}{a})$（$a＞0$），因为A、B是函数$y=\frac{2}{x}$图象上关于原点对称的两点，所以点B的坐标为$(-a, -\frac{2}{a})$。
由$AC⊥x$轴于C，得C点坐标为$(a, 0)$；由$BD⊥x$轴于D，得D点坐标为$(-a, 0)$。
利用鞋带公式计算四边形ADBC的面积，四个顶点坐标为$A(a, \frac{2}{a})$、$D(-a, 0)$、$B(-a, -\frac{2}{a})$、$C(a, 0)$：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}\left| x_Ay_D + x_Dy_B + x_BY_C + x_Cy_A - (y_Ax_D + y_Dx_B + y_Bx_C + y_Cx_A) \right|\\&=\frac{1}{2}\left| (a×0) + (-a)×(-\frac{2}{a}) + (-a)×0 + a×\frac{2}{a} - ( \frac{2}{a}×(-a) + 0×(-a) + (-\frac{2}{a})×a + 0×a ) \right|\\&=\frac{1}{2}\left| 0 + 2 + 0 + 2 - (-2 + 0 -2 + 0) \right|\\&=\frac{1}{2}\left| 4 - (-4) \right|\\&=\frac{1}{2}×8=4\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质、关于原点对称的点的坐标、图形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的图象性质，通过坐标法推导四边形面积，核心是利用关于原点对称的点的坐标特征确定各点位置，体现了数形结合的解题思想，需要学生掌握坐标与图形面积的关联。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用反比例函数的性质、关于原点对称的点的坐标特征，结合坐标法计算四边形面积。首先设点A的坐标，根据对称性得到点B的坐标，再确定C、D的坐标，最后通过坐标计算四边形ADBC的面积即可。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{2}{a})$（$a＞0$），因为A、B是函数$y=\frac{2}{x}$图象上关于原点对称的两点，所以点B的坐标为$(-a, -\frac{2}{a})$。
由$AC⊥x$轴于C，得C点坐标为$(a, 0)$；由$BD⊥x$轴于D，得D点坐标为$(-a, 0)$。
利用鞋带公式计算四边形ADBC的面积，四个顶点坐标为$A(a, \frac{2}{a})$、$D(-a, 0)$、$B(-a, -\frac{2}{a})$、$C(a, 0)$：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}\left| x_Ay_D + x_Dy_B + x_BY_C + x_Cy_A - (y_Ax_D + y_Dx_B + y_Bx_C + y_Cx_A) \right|\\&=\frac{1}{2}\left| (a×0) + (-a)×(-\frac{2}{a}) + (-a)×0 + a×\frac{2}{a} - ( \frac{2}{a}×(-a) + 0×(-a) + (-\frac{2}{a})×a + 0×a ) \right|\\&=\frac{1}{2}\left| 0 + 2 + 0 + 2 - (-2 + 0 -2 + 0) \right|\\&=\frac{1}{2}\left| 4 - (-4) \right|\\&=\frac{1}{2}×8=4\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质、关于原点对称的点的坐标、图形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的图象性质，通过坐标法推导四边形面积，核心是利用关于原点对称的点的坐标特征确定各点位置，体现了数形结合的解题思想，需要学生掌握坐标与图形面积的关联。
【难度系数】
0.5
