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8. 如图，已知直线$y=mx$与双曲线$y=\dfrac{k}{x}$的一个交点坐标为$(3, 4)$，则它们的另一个交点坐标是
$(-3, -4)$
。答案
8. $(-3, -4)$
解析
【分析】
解题思路一：利用函数图象的对称性求解。正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，已知一个交点坐标，直接根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）即可得到另一个交点坐标。
解题思路二：先将已知交点坐标分别代入两个函数解析式，求出参数m和k的值，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到另一个交点坐标。两种方法中利用对称性求解更简便。
【解析】
方法1：利用对称性求解
∵ 正比例函数$y=mx$、反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象都关于原点中心对称
∴ 两个函数的交点也关于原点中心对称
∵ 已知一个交点坐标为$(3,4)$，关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数
∴ 另一个交点的坐标为$(-3,-4)$
方法2：联立解析式求解
将$(3,4)$分别代入两个函数解析式：
代入$y=mx$得：$4=3m$，解得$m=\dfrac{4}{3}$，即正比例函数为$y=\dfrac{4}{3}x$
代入$y=\dfrac{k}{x}$得：$4=\dfrac{k}{3}$，解得$k=12$，即反比例函数为$y=\dfrac{12}{x}$
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{3}x\\y=\dfrac{12}{x}\end{cases}$
消去y得：$\dfrac{4}{3}x=\dfrac{12}{x}$，整理得$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$
当$x=-3$时，$y=\dfrac{4}{3}×(-3)=-4$
∴ 另一个交点坐标为$(-3,-4)$
【答案】
$(-3,-4)$
【知识点】
反比例函数的对称性，正比例函数的对称性，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是正反比例函数交点的基础题，既可以通过联立方程计算求解，也可以利用函数图象的对称性快速得到答案，掌握函数对称性的相关结论能有效减少计算量，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
解题思路一：利用函数图象的对称性求解。正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，已知一个交点坐标，直接根据关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）即可得到另一个交点坐标。
解题思路二：先将已知交点坐标分别代入两个函数解析式，求出参数m和k的值，再联立两个函数的解析式，解方程组即可得到另一个交点坐标。两种方法中利用对称性求解更简便。
【解析】
方法1：利用对称性求解
∵ 正比例函数$y=mx$、反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象都关于原点中心对称
∴ 两个函数的交点也关于原点中心对称
∵ 已知一个交点坐标为$(3,4)$，关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数
∴ 另一个交点的坐标为$(-3,-4)$
方法2：联立解析式求解
将$(3,4)$分别代入两个函数解析式：
代入$y=mx$得：$4=3m$，解得$m=\dfrac{4}{3}$，即正比例函数为$y=\dfrac{4}{3}x$
代入$y=\dfrac{k}{x}$得：$4=\dfrac{k}{3}$，解得$k=12$，即反比例函数为$y=\dfrac{12}{x}$
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\dfrac{4}{3}x\\y=\dfrac{12}{x}\end{cases}$
消去y得：$\dfrac{4}{3}x=\dfrac{12}{x}$，整理得$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$
当$x=-3$时，$y=\dfrac{4}{3}×(-3)=-4$
∴ 另一个交点坐标为$(-3,-4)$
【答案】
$(-3,-4)$
【知识点】
反比例函数的对称性，正比例函数的对称性，关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是正反比例函数交点的基础题，既可以通过联立方程计算求解，也可以利用函数图象的对称性快速得到答案，掌握函数对称性的相关结论能有效减少计算量，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
9. 在一个函数中，两个变量x与y的部分对应值如下表.
如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是 （
A.x轴
B.y轴
C.$x=1$
D.$y=x$
如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是 （
D
）A.x轴
B.y轴
C.$x=1$
D.$y=x$
答案
9. D
解析
【分析】
拿到题目首先观察表格中x和y的对应值，先尝试寻找两个变量的关系：计算每一组x与y的乘积，发现乘积均为6，因此可以确定该函数是反比例函数，解析式为y=6/x。接下来回忆反比例函数的轴对称性质：反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是双曲线，属于轴对称图形，对称轴为直线y=x和直线y=-x。再结合选项逐一验证：A选项x轴、B选项y轴、C选项x=1均不符合反比例函数的对称轴特征，只有D选项y=x符合，也可以通过轴对称的定义，验证点的对称点是否在函数图象上，进一步确认答案。
【解析】
第一步：确定函数类型
计算表格中每组x、y的乘积：1×6=6，2×3=6，(-3)×(-2)=6，(-2)×(-3)=6，可得xy=6，即该函数为反比例函数$y=\frac{6}{x}$。
第二步：逐一分析选项
选项A：若对称轴为x轴，点$(x,y)$的对称点为$(x,-y)$，例如点$(1,6)$的对称点应为$(1,-6)$，表格中无对应值，不符合要求；
选项B：若对称轴为y轴，点$(x,y)$的对称点为$(-x,y)$，例如点$(1,6)$的对称点应为$(-1,6)$，表格中无对应值，不符合要求；
选项C：若对称轴为$x=1$，点$(x,y)$的对称点为$(2-x,y)$，例如点$(2,3)$的对称点应为$(0,3)$，表格中无对应值，不符合要求；
选项D：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$，观察表格中的点：$(2,3)$和$(3,2)$、$(-3,-2)$和$(-2,-3)$均关于$y=x$对称，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，轴对称的判定
【点评】
本题结合函数表格考查反比例函数的性质，解题关键是先通过数据确定函数类型，再结合轴对称的性质或定义判断对称轴，能有效考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察表格中x和y的对应值，先尝试寻找两个变量的关系：计算每一组x与y的乘积，发现乘积均为6，因此可以确定该函数是反比例函数，解析式为y=6/x。接下来回忆反比例函数的轴对称性质：反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是双曲线，属于轴对称图形，对称轴为直线y=x和直线y=-x。再结合选项逐一验证：A选项x轴、B选项y轴、C选项x=1均不符合反比例函数的对称轴特征，只有D选项y=x符合，也可以通过轴对称的定义，验证点的对称点是否在函数图象上，进一步确认答案。
【解析】
第一步：确定函数类型
计算表格中每组x、y的乘积：1×6=6，2×3=6，(-3)×(-2)=6，(-2)×(-3)=6，可得xy=6，即该函数为反比例函数$y=\frac{6}{x}$。
第二步：逐一分析选项
选项A：若对称轴为x轴，点$(x,y)$的对称点为$(x,-y)$，例如点$(1,6)$的对称点应为$(1,-6)$，表格中无对应值，不符合要求；
选项B：若对称轴为y轴，点$(x,y)$的对称点为$(-x,y)$，例如点$(1,6)$的对称点应为$(-1,6)$，表格中无对应值，不符合要求；
选项C：若对称轴为$x=1$，点$(x,y)$的对称点为$(2-x,y)$，例如点$(2,3)$的对称点应为$(0,3)$，表格中无对应值，不符合要求；
选项D：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的对称轴为直线$y=x$和直线$y=-x$，观察表格中的点：$(2,3)$和$(3,2)$、$(-3,-2)$和$(-2,-3)$均关于$y=x$对称，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，轴对称的判定
【点评】
本题结合函数表格考查反比例函数的性质，解题关键是先通过数据确定函数类型，再结合轴对称的性质或定义判断对称轴，能有效考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，已知反比例函数 $ y_1 = \frac{k}{x} $（$ x＜0 $）和 $ y_2 = -\frac{1}{x} $（$ x＜0 $）的图象分别为 $ C_1 $，$ C_2 $，A是 $ C_1 $ 上一点，过点A作 $ AB ⊥ x $ 轴，垂足为B，AB与 $ C_2 $ 交于点D。若 $ △ AOD $ 的面积为2，则k的值为
$-5$
。答案
10. $-5$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先分别求出$△ OBD$和$△ AOB$的面积，再根据$△ AOD$的面积等于$△ AOB$与$△ OBD$的面积差建立方程，最后结合反比例函数图象所在象限确定k的符号，求解即可得到k的值。
【解析】
解：
∵点D在反比例函数$y_2=-\frac{1}{x}（x＜0）$的图象上，$AB⊥ x$轴，
根据反比例函数k的几何意义，可得$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$。
∵点A在反比例函数$y_1=\frac{k}{x}（x＜0）$的图象上，同理可得$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|$。
由图可知，$S_{△ AOD}=S_{△ AOB}-S_{△ OBD}$，已知$S_{△ AOD}=2$，代入得：
$\frac{1}{2}|k|-\frac{1}{2}=2$，
整理得$|k|=5$。
又
∵反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象$C_1$在第二象限（$x＜0$时$y＞0$），
∴$k＜0$，
因此$k=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题型，解题的关键是明确$△ AOD$的面积与两个三角形面积的关系，同时要注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。首先分别求出$△ OBD$和$△ AOB$的面积，再根据$△ AOD$的面积等于$△ AOB$与$△ OBD$的面积差建立方程，最后结合反比例函数图象所在象限确定k的符号，求解即可得到k的值。
【解析】
解：
∵点D在反比例函数$y_2=-\frac{1}{x}（x＜0）$的图象上，$AB⊥ x$轴，
根据反比例函数k的几何意义，可得$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$。
∵点A在反比例函数$y_1=\frac{k}{x}（x＜0）$的图象上，同理可得$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|$。
由图可知，$S_{△ AOD}=S_{△ AOB}-S_{△ OBD}$，已知$S_{△ AOD}=2$，代入得：
$\frac{1}{2}|k|-\frac{1}{2}=2$，
整理得$|k|=5$。
又
∵反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象$C_1$在第二象限（$x＜0$时$y＞0$），
∴$k＜0$，
因此$k=-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的性质
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题型，解题的关键是明确$△ AOD$的面积与两个三角形面积的关系，同时要注意结合函数图象所在象限判断k的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且大正方形的一组对边与x轴平行. 若大正方形的边长是2，则图中阴影部分的面积等于
$1$
. 答案
11. 1
解析
【分析】
解题时首先要结合图形特征思考：反比例函数图象是关于原点中心对称的图形，本题中正方形的中心也在原点，同样具有中心对称性。利用中心对称的性质，可将左下角分散的阴影部分与右上角的空白区域重合，两块阴影就能拼接成一个规则的小正方形，只需计算该小正方形的面积即可得到阴影总面积。大正方形边长为2，可知每个象限内的小正方形边长为1，直接计算面积即可。
【解析】
解：
∵ 反比例函数的图象关于原点成中心对称，且正方形的中心在原点，也是中心对称图形，
∴ 第三象限（左下角）的阴影部分与第一象限内反比例函数图象下方的空白区域完全全等，
两块阴影拼接后可得到一个边长为$2÷2=1$的小正方形，
因此阴影部分的面积为$1×1=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的对称性，中心对称的性质，正方形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用图形的中心对称性质将分散的阴影转化为规则图形计算，避免了复杂的割补运算，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先要结合图形特征思考：反比例函数图象是关于原点中心对称的图形，本题中正方形的中心也在原点，同样具有中心对称性。利用中心对称的性质，可将左下角分散的阴影部分与右上角的空白区域重合，两块阴影就能拼接成一个规则的小正方形，只需计算该小正方形的面积即可得到阴影总面积。大正方形边长为2，可知每个象限内的小正方形边长为1，直接计算面积即可。
【解析】
解：
∵ 反比例函数的图象关于原点成中心对称，且正方形的中心在原点，也是中心对称图形，
∴ 第三象限（左下角）的阴影部分与第一象限内反比例函数图象下方的空白区域完全全等，
两块阴影拼接后可得到一个边长为$2÷2=1$的小正方形，
因此阴影部分的面积为$1×1=1$。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的对称性，中心对称的性质，正方形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用图形的中心对称性质将分散的阴影转化为规则图形计算，避免了复杂的割补运算，是数形结合思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在平面直角坐标系的第二象限内有一正六边形ABCDEF，点A(-2，1)，点C(-2，4)。将正六边形ABCDEF内部或边上横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，反比例函数 $ y = -\frac{k}{x} $（$ x ＜ 0 $）的图象记为l。若l两侧“好点”的个数相同，则k的取值范围为
$6＜k＜8$
。答案
12. $6＜k＜8$
解析
【分析】
解题首先要明确两步核心思路：第一步，先根据已知的点A、C坐标确定正六边形的坐标范围，枚举所有符合要求的“好点”（横、纵坐标均为整数的点），明确总好点个数，进而得到图象两侧各需要的好点数量；第二步，结合反比例函数$y=-\frac{k}{x}(x＜0)$在第二象限的单调性，通过计算图象经过关键好点时的k值，确定满足两侧好点个数相等的k的范围。
【解析】
1. 枚举所有“好点”：
已知正六边形中A(-2,1)、C(-2,4)，结合图形坐标刻度可知，正六边形内及边上的整数坐标点（好点）共8个，分别为：$(-4,1)、(-3,1)、(-2,1)、(-1,2)、(-1,3)、(-2,4)、(-3,3)、(-4,2)$，要使l两侧好点个数相同，每侧各需4个好点。
2. 分析反比例函数性质：
对于$y=-\frac{k}{x}(x＜0)$，$k＞0$时图象在第二象限，y随x的增大而增大，变形可得$k=-xy$。
3. 计算临界k值：
当$k=6$时，函数为$y=-\frac{6}{x}$，此时好点$(-3,2)、(-2,3)$在图象上，两侧好点个数均为3，不符合要求；
当$k=8$时，函数为$y=-\frac{8}{x}$，此时好点$(-4,2)、(-2,4)$在图象上，两侧好点个数分别为4和2，不符合要求；
当$6＜k＜8$时，图象位于上述两个函数图象之间，两侧好点个数均为4，符合题意。
【答案】
$6＜k＜8$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；正六边形的性质；新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查反比例函数的应用，核心是通过数形结合思想，先确定所有好点的坐标，再结合反比例函数的单调性分析临界位置的取值，需要学生具备一定的坐标分析和枚举能力。
【难度系数】
0.4
解题首先要明确两步核心思路：第一步，先根据已知的点A、C坐标确定正六边形的坐标范围，枚举所有符合要求的“好点”（横、纵坐标均为整数的点），明确总好点个数，进而得到图象两侧各需要的好点数量；第二步，结合反比例函数$y=-\frac{k}{x}(x＜0)$在第二象限的单调性，通过计算图象经过关键好点时的k值，确定满足两侧好点个数相等的k的范围。
【解析】
1. 枚举所有“好点”：
已知正六边形中A(-2,1)、C(-2,4)，结合图形坐标刻度可知，正六边形内及边上的整数坐标点（好点）共8个，分别为：$(-4,1)、(-3,1)、(-2,1)、(-1,2)、(-1,3)、(-2,4)、(-3,3)、(-4,2)$，要使l两侧好点个数相同，每侧各需4个好点。
2. 分析反比例函数性质：
对于$y=-\frac{k}{x}(x＜0)$，$k＞0$时图象在第二象限，y随x的增大而增大，变形可得$k=-xy$。
3. 计算临界k值：
当$k=6$时，函数为$y=-\frac{6}{x}$，此时好点$(-3,2)、(-2,3)$在图象上，两侧好点个数均为3，不符合要求；
当$k=8$时，函数为$y=-\frac{8}{x}$，此时好点$(-4,2)、(-2,4)$在图象上，两侧好点个数分别为4和2，不符合要求；
当$6＜k＜8$时，图象位于上述两个函数图象之间，两侧好点个数均为4，符合题意。
【答案】
$6＜k＜8$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；正六边形的性质；新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查反比例函数的应用，核心是通过数形结合思想，先确定所有好点的坐标，再结合反比例函数的单调性分析临界位置的取值，需要学生具备一定的坐标分析和枚举能力。
【难度系数】
0.4
