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1. 如图,在$\odot O$中,点A,B,C,D在圆上,$OB// DC,OD// BC$,则$∠ A$的度数为 (
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
C
)A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
1.C
解析
【分析】
首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形OBCD是平行四边形，得到对角∠BOD=∠BCD；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠BOD=2∠A；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，建立关于∠A的等式即可求解。
【解析】
1. 证明四边形OBCD是平行四边形：
已知$OB// DC$，$OD// BC$，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此四边形$OBCD$是平行四边形，可得$∠ BOD=∠ BCD$。
2. 结合圆周角定理推导角度关系：
$∠ A$是弧$BD$所对的圆周角，$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此$∠ BOD=2∠ A$，结合上一步结论可得$∠ BCD=2∠ A$。
3. 利用圆内接四边形性质求解：
四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，因此$∠ A+∠ BCD=180°$。
将$∠ BCD=2∠ A$代入得：$∠ A+2∠ A=180°$，即$3∠ A=180°$，解得$∠ A=60°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，平行四边形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将平行四边形和圆的性质结合考查，解题的关键是梳理清楚角度之间的等量关系，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形OBCD是平行四边形，得到对角∠BOD=∠BCD；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得∠BOD=2∠A；最后利用圆内接四边形对角互补的性质，建立关于∠A的等式即可求解。
【解析】
1. 证明四边形OBCD是平行四边形：
已知$OB// DC$，$OD// BC$，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此四边形$OBCD$是平行四边形，可得$∠ BOD=∠ BCD$。
2. 结合圆周角定理推导角度关系：
$∠ A$是弧$BD$所对的圆周角，$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此$∠ BOD=2∠ A$，结合上一步结论可得$∠ BCD=2∠ A$。
3. 利用圆内接四边形性质求解：
四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形的性质，对角互补，因此$∠ A+∠ BCD=180°$。
将$∠ BCD=2∠ A$代入得：$∠ A+2∠ A=180°$，即$3∠ A=180°$，解得$∠ A=60°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，平行四边形的判定与性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将平行四边形和圆的性质结合考查，解题的关键是梳理清楚角度之间的等量关系，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 如图, 在$△ AOB$中, $∠ B=30°, AB=3$. 以点$O$为圆心,$OA$长为半径的$\odot O$交$OB$于点$C$,点$D$在$\odot O$上,连接$CD,AD$,若$∠ ADC=30°$,则$\odot O$的半径长为 (
A.$1$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$\sqrt{5}$
B
)A.$1$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$\sqrt{5}$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先利用圆周角定理推出圆心角的度数，再通过三角形内角和判断三角形的形状，最后结合直角三角形的边角关系求解半径。第一步：已知圆周角∠ADC=30°，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠AOC的度数；第二步：在△AOB中，结合已知∠B=30°和求出的∠AOB的度数，计算出∠OAB的度数，判断△OAB为直角三角形；第三步：在直角三角形中利用三角函数或者勾股定理计算OA的长度，也就是圆的半径。
【解析】
解：
∵∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°。
在△AOB中，∠B=30°，∠AOB=60°，
∴∠OAB=180°-30°-60°=90°，即△OAB是直角三角形，OA⊥AB。
设⊙O的半径OA=r，在Rt△OAB中，∠B=30°，则斜边OB=2r，
根据勾股定理：OA²+AB²=OB²，
代入AB=3得：$r^2+3^2=(2r)^2$，
整理得$3r^2=9$，解得$r=\sqrt{3}$（半径为正，舍去负根）。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的突破口是利用圆周角定理得到圆心角的度数，进而判断出直角三角形，再结合直角三角形的相关性质计算即可，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时先利用圆周角定理推出圆心角的度数，再通过三角形内角和判断三角形的形状，最后结合直角三角形的边角关系求解半径。第一步：已知圆周角∠ADC=30°，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，可求出圆心角∠AOC的度数；第二步：在△AOB中，结合已知∠B=30°和求出的∠AOB的度数，计算出∠OAB的度数，判断△OAB为直角三角形；第三步：在直角三角形中利用三角函数或者勾股定理计算OA的长度，也就是圆的半径。
【解析】
解：
∵∠ADC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠AOC=2∠ADC=2×30°=60°。
在△AOB中，∠B=30°，∠AOB=60°，
∴∠OAB=180°-30°-60°=90°，即△OAB是直角三角形，OA⊥AB。
设⊙O的半径OA=r，在Rt△OAB中，∠B=30°，则斜边OB=2r，
根据勾股定理：OA²+AB²=OB²，
代入AB=3得：$r^2+3^2=(2r)^2$，
整理得$3r^2=9$，解得$r=\sqrt{3}$（半径为正，舍去负根）。
【答案】B
【知识点】
圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的突破口是利用圆周角定理得到圆心角的度数，进而判断出直角三角形，再结合直角三角形的相关性质计算即可，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$\odot O$中,AB是直径,CD是弦,若$∠ ABD=55°$,则$∠ C$的度数为 (
A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
B
)A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：AB是⊙O的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，得到△ABD是直角三角形；已知∠ABD=55°，根据直角三角形两锐角互余可算出∠BAD的度数；再观察∠C与∠BAD的位置，二者是同弧BD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=55°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-55°=35°，
又
∵∠C和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，
∴∠C=∠BAD=35°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用圆周角定理及其推论，结合三角形内角和相关知识求解，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：AB是⊙O的直径，可联想到直径所对的圆周角为直角，得到△ABD是直角三角形；已知∠ABD=55°，根据直角三角形两锐角互余可算出∠BAD的度数；再观察∠C与∠BAD的位置，二者是同弧BD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可求出∠C的度数。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABD中，∠ABD=55°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-55°=35°，
又
∵∠C和∠BAD都是弧BD所对的圆周角，
∴∠C=∠BAD=35°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练运用圆周角定理及其推论，结合三角形内角和相关知识求解，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，A,B,C是$\odot O$上的点，若四边形ACBO是菱形，$\odot O$的半径为$r$，则点A与点B之间的距离为（
A.$\sqrt{2}r$
B.$\sqrt{3}r$
C.$r$
D.$2r$
B
）A.$\sqrt{2}r$
B.$\sqrt{3}r$
C.$r$
D.$2r$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先提取已知条件：A、B、C是圆O上的点，因此OA、OB、OC都是圆的半径，长度为r；四边形ACBO是菱形，回忆菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直平分。首先结合两个条件：菱形的边OA、OB均为半径，因此菱形的边长等于r，进而推出△OAC是等边三角形。要求AB的长度，可利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，用勾股定理先算出AB的一半长度，再乘2得到AB的全长。
【解析】
解：
∵四边形ACBO是菱形，
∴OA=AC=CB=BO，且AB与OC互相垂直平分。
∵OA、OC都是⊙O的半径，⊙O的半径为r，
∴OA=OC=r，
∴OA=AC=OC=r，即△OAC是等边三角形。
设AB与OC交于点D，则$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{r}{2}$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{r^2-(\frac{r}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∴$AB=2AD=2×\frac{\sqrt{3}}{2}r=\sqrt{3}r$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；圆的基本性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的基础综合题，解题核心是将圆半径相等的性质和菱形的性质结合，推导得到等边三角形，再利用菱形对角线的特征结合勾股定理计算线段长，解题时需熟练掌握基础几何图形的性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先提取已知条件：A、B、C是圆O上的点，因此OA、OB、OC都是圆的半径，长度为r；四边形ACBO是菱形，回忆菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直平分。首先结合两个条件：菱形的边OA、OB均为半径，因此菱形的边长等于r，进而推出△OAC是等边三角形。要求AB的长度，可利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，用勾股定理先算出AB的一半长度，再乘2得到AB的全长。
【解析】
解：
∵四边形ACBO是菱形，
∴OA=AC=CB=BO，且AB与OC互相垂直平分。
∵OA、OC都是⊙O的半径，⊙O的半径为r，
∴OA=OC=r，
∴OA=AC=OC=r，即△OAC是等边三角形。
设AB与OC交于点D，则$OD=\frac{1}{2}OC=\frac{r}{2}$，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2-OD^2}=\sqrt{r^2-(\frac{r}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∴$AB=2AD=2×\frac{\sqrt{3}}{2}r=\sqrt{3}r$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；圆的基本性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的基础综合题，解题核心是将圆半径相等的性质和菱形的性质结合，推导得到等边三角形，再利用菱形对角线的特征结合勾股定理计算线段长，解题时需熟练掌握基础几何图形的性质。
【难度系数】
0.7
5. 如图,已知AB是$\odot O$的直径,弦$CD ⊥ AB$,垂足为E,$∠ ACD=22.5°$,$AB=4$,则CD的长为 (
A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
C
)A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先连接辅助线OC，先利用直径长度求出圆的半径OC；再根据垂径定理可得CD=2CE，将求CD的长度转化为求CE的长度；接下来利用圆周角定理求出圆心角∠COE的度数，可知△COE为等腰直角三角形，最后结合勾股定理计算CE的长度，即可求出CD的长。
【解析】
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，∠CEO=90°（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），
∵∠ACD是弧AD所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，且CD⊥AB可得弧AC=弧AD，
∴∠AOC=2∠ACD=2×22.5°=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，即CE=OE，
在Rt△COE中，由勾股定理得：$CE^2 + OE^2 = OC^2$，
代入OC=2，CE=OE，得$2CE^2=4$，
解得CE=$\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），
∴CD=2CE=$2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆性质的基础综合题，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，结合圆周角定理确定直角三角形的形状，再利用垂径定理转化线段关系，属于圆部分的常规考法，掌握圆的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
解题时首先连接辅助线OC，先利用直径长度求出圆的半径OC；再根据垂径定理可得CD=2CE，将求CD的长度转化为求CE的长度；接下来利用圆周角定理求出圆心角∠COE的度数，可知△COE为等腰直角三角形，最后结合勾股定理计算CE的长度，即可求出CD的长。
【解析】
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴OC=OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵CD⊥AB，
∴CE=DE，∠CEO=90°（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦），
∵∠ACD是弧AD所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，且CD⊥AB可得弧AC=弧AD，
∴∠AOC=2∠ACD=2×22.5°=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，即CE=OE，
在Rt△COE中，由勾股定理得：$CE^2 + OE^2 = OC^2$，
代入OC=2，CE=OE，得$2CE^2=4$，
解得CE=$\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根），
∴CD=2CE=$2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆性质的基础综合题，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，结合圆周角定理确定直角三角形的形状，再利用垂径定理转化线段关系，属于圆部分的常规考法，掌握圆的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
6.如图，$\odot O$的半径为3，四边形ABCD内接于$\odot O$，连接OB，OD.若$∠ BOD=∠ BCD$，则$\overset{\frown}{BD}$的长为（
A.$π$
B.$\dfrac{3}{2}π$
C.$2π$
D.$3π$
C
）A.$π$
B.$\dfrac{3}{2}π$
C.$2π$
D.$3π$
答案
6.C
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BD}$的长，已知圆的半径为3，只需先求出$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角$∠ BOD$的度数即可。解题时可结合圆内接四边形的性质、圆周角定理，利用题目给出的$∠ BOD=∠ BCD$的条件建立关于$∠ BOD$的方程，求出角的度数后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 由圆内接四边形的性质可知，圆内接四边形对角互补，因此$∠ A + ∠ BCD = 180°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ BOD = 2∠ A$，即$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOD$。
3. 已知$∠ BOD=∠ BCD$，将$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOD$、$∠ BCD=∠ BOD$代入$∠ A + ∠ BCD = 180°$，可得：
$$\frac{1}{2}∠ BOD + ∠ BOD = 180°$ 解得$∠ BOD=120°$。4. 代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），可得$\overset{\frown}{BD}$的长为： $$l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{120×π×3}{180}=2π$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是通过角的数量关系求出弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式求解，熟练掌握圆的相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{BD}$的长，已知圆的半径为3，只需先求出$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角$∠ BOD$的度数即可。解题时可结合圆内接四边形的性质、圆周角定理，利用题目给出的$∠ BOD=∠ BCD$的条件建立关于$∠ BOD$的方程，求出角的度数后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 由圆内接四边形的性质可知，圆内接四边形对角互补，因此$∠ A + ∠ BCD = 180°$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ BOD = 2∠ A$，即$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOD$。
3. 已知$∠ BOD=∠ BCD$，将$∠ A=\frac{1}{2}∠ BOD$、$∠ BCD=∠ BOD$代入$∠ A + ∠ BCD = 180°$，可得：
$$\frac{1}{2}∠ BOD + ∠ BOD = 180°$ 解得$∠ BOD=120°$。4. 代入弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），可得$\overset{\frown}{BD}$的长为： $$l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{120×π×3}{180}=2π$
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是通过角的数量关系求出弧对应的圆心角度数，再结合弧长公式求解，熟练掌握圆的相关基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7. 如图,已知$\odot O$的直径$AE=10\ \mathrm{cm}$,$∠ B=∠ EAC$,则$AC$的长为 (
A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C.$5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
B
)A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
C.$5\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：AE是圆的直径，根据直径的性质，优先构造直径所对的直角，因此连接EC可得直角∠ACE；再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠AEC，结合已知∠B=∠EAC，可推导出△ACE是等腰直角三角形，最后结合勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接EC。
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵∠B和∠AEC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等）。
又
∵∠B=∠EAC，
∴∠AEC=∠EAC，
∴AC=EC，即△ACE为等腰直角三角形。
在Rt△ACE中，AE=10cm，由勾股定理得：
$AC^2 + EC^2 = AE^2$
代入$AC=EC$，得$2AC^2=10^2$，
解得$AC=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$（边长为正，舍去负解）。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，通过角的等量关系判断三角形的形状，进而求解边长。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：AE是圆的直径，根据直径的性质，优先构造直径所对的直角，因此连接EC可得直角∠ACE；再利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠B=∠AEC，结合已知∠B=∠EAC，可推导出△ACE是等腰直角三角形，最后结合勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接EC。
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵∠B和∠AEC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等）。
又
∵∠B=∠EAC，
∴∠AEC=∠EAC，
∴AC=EC，即△ACE为等腰直角三角形。
在Rt△ACE中，AE=10cm，由勾股定理得：
$AC^2 + EC^2 = AE^2$
代入$AC=EC$，得$2AC^2=10^2$，
解得$AC=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$（边长为正，舍去负解）。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的性质，通过角的等量关系判断三角形的形状，进而求解边长。
【难度系数】
0.7
8. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E，$∠ C=30°$，$CD=4\sqrt{3}$，则图中阴影部分的面积为________。
答案
8.$\frac{8}{3}π$
解析
【分析】
解题时先根据已知的弦与直径垂直的条件，结合垂径定理得到弦长的一半；再利用圆周角定理推出对应圆心角的度数；接着在直角三角形中借助三角函数求出圆的半径；最后通过全等三角形进行等积转换，将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形面积，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 由垂径定理得：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$于E，$CD=4\sqrt{3}$，
∴$CE=ED=\frac{1}{2}CD=2\sqrt{3}$。
2. 由圆周角定理求圆心角：
∵$∠ ACD=30°$是弧AD所对的圆周角，$∠ AOD$是弧AD所对的圆心角，
∴$∠ AOD=2∠ ACD=60°$。
3. 在$Rt△ OED$中求半径：
∵$∠ OED=90°$，$∠ DOE=60°$，$ED=2\sqrt{3}$，
∴$\sin∠ DOE=\frac{ED}{OD}$，即$\sin60°=\frac{2\sqrt{3}}{OD}$，
解得$OD=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即$\odot O$的半径为4。
4. 等积转换求阴影面积：
在$Rt△ AEC$中，$∠ C=30°$，$CE=2\sqrt{3}$，
∴$AE=CE·\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，
∵$OA=OD=4$，
∴$OE=OA-AE=4-2=2$，即$AE=OE$。
在$△ AEC$和$△ OED$中：
$\begin{cases}AE=OE \\∠ AEC=∠ OED=90° \\CE=DE\end{cases}$
∴$△ AEC≌△ OED$（SAS），即$S_{△ AEC}=S_{△ OED}$。
因此阴影部分面积等价于扇形AOD的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形AOD}=\frac{60°}{360°}×π×4^2=\frac{1}{6}×16π=\frac{8}{3}π$。
【答案】
$\frac{8}{3}π$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题将圆的基本性质与面积计算结合，核心是通过等积转换把不规则阴影面积转化为规则扇形面积，解题过程中需要熟练掌握圆的相关定理，同时注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题时先根据已知的弦与直径垂直的条件，结合垂径定理得到弦长的一半；再利用圆周角定理推出对应圆心角的度数；接着在直角三角形中借助三角函数求出圆的半径；最后通过全等三角形进行等积转换，将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形面积，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 由垂径定理得：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$于E，$CD=4\sqrt{3}$，
∴$CE=ED=\frac{1}{2}CD=2\sqrt{3}$。
2. 由圆周角定理求圆心角：
∵$∠ ACD=30°$是弧AD所对的圆周角，$∠ AOD$是弧AD所对的圆心角，
∴$∠ AOD=2∠ ACD=60°$。
3. 在$Rt△ OED$中求半径：
∵$∠ OED=90°$，$∠ DOE=60°$，$ED=2\sqrt{3}$，
∴$\sin∠ DOE=\frac{ED}{OD}$，即$\sin60°=\frac{2\sqrt{3}}{OD}$，
解得$OD=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$，即$\odot O$的半径为4。
4. 等积转换求阴影面积：
在$Rt△ AEC$中，$∠ C=30°$，$CE=2\sqrt{3}$，
∴$AE=CE·\tan30°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，
∵$OA=OD=4$，
∴$OE=OA-AE=4-2=2$，即$AE=OE$。
在$△ AEC$和$△ OED$中：
$\begin{cases}AE=OE \\∠ AEC=∠ OED=90° \\CE=DE\end{cases}$
∴$△ AEC≌△ OED$（SAS），即$S_{△ AEC}=S_{△ OED}$。
因此阴影部分面积等价于扇形AOD的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形AOD}=\frac{60°}{360°}×π×4^2=\frac{1}{6}×16π=\frac{8}{3}π$。
【答案】
$\frac{8}{3}π$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，扇形面积计算
【点评】
本题将圆的基本性质与面积计算结合，核心是通过等积转换把不规则阴影面积转化为规则扇形面积，解题过程中需要熟练掌握圆的相关定理，同时注意转化思想的运用。
【难度系数】
0.6
