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例 如图,在矩形$ABCD$中,点$O$在边$BC$上,$BO=2CO=2$,以点$O$为圆心,$OB$的长为半径作弧,这条弧恰好经过点$D$,且交$AD$于点$E$,则图中阴影部分的面积为 ()
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{π}{2}$
C.$\frac{2π}{3}$
D.$\frac{4π}{3}$
分析:如图,连接$OD$,过点$O$作$OF⊥ED$于点$F$.
由题意,得$OB=OE=OD=2$.
易知四边形$OCDF$是矩形.
∴ $DF=OC=1$.
∵ $OE=OD,OF⊥ED$,
∴ $ED=2DF=2$.
∴ $ED=OE=OD$.
∴ $△ ODE$为等边三角形.
∴ $∠OED=60°$.
由矩形$ABCD$知$AD// BC$.
∴ $∠BOE=∠OED=60°$.
∴ 阴影部分的面积为$\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$.
答案:C
方法点拨 本题考查了扇形的面积计算,矩形的性质,等边三角形的判定和性质.根据矩形的性质得到$△ ODE$为等边三角形,再利用扇形的面积公式计算即可.
A.$\frac{π}{3}$
B.$\frac{π}{2}$
C.$\frac{2π}{3}$
D.$\frac{4π}{3}$
分析:如图,连接$OD$,过点$O$作$OF⊥ED$于点$F$.
由题意,得$OB=OE=OD=2$.
易知四边形$OCDF$是矩形.
∴ $DF=OC=1$.
∵ $OE=OD,OF⊥ED$,
∴ $ED=2DF=2$.
∴ $ED=OE=OD$.
∴ $△ ODE$为等边三角形.
∴ $∠OED=60°$.
由矩形$ABCD$知$AD// BC$.
∴ $∠BOE=∠OED=60°$.
∴ 阴影部分的面积为$\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$.
答案:C
方法点拨 本题考查了扇形的面积计算,矩形的性质,等边三角形的判定和性质.根据矩形的性质得到$△ ODE$为等边三角形,再利用扇形的面积公式计算即可.
答案
C
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是圆心角为∠BOE、半径为2的扇形，因此解题关键是求出圆心角∠BOE的度数。首先连接OD、OE，利用同圆半径相等得到OE=OD=OB=2；再过点O作AD的垂线，结合矩形的性质可得DF=OC=1，利用等腰三角形三线合一的性质推出ED=2DF=2，进而判定△ODE是等边三角形得到∠OED=60°；最后根据平行线的内错角相等求出∠BOE的度数，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OD，过点O作$OF⊥AD$于点F。
由题意得$BO=2CO=2$，因此$OB=OE=OD=2$，$OC=1$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，$∠C=∠CDA=90°$，
又
∵$OF⊥AD$，
∴四边形OCDF是矩形，
∴$DF=OC=1$。
∵$OE=OD$，$OF⊥ED$，
∴$ED=2DF=2$（等腰三角形三线合一），
∴$OE=OD=ED=2$，即$△ ODE$为等边三角形，
∴$∠OED=60°$。
∵$AD// BC$，
∴$∠BOE=∠OED=60°$（两直线平行，内错角相等）。
因此阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算；矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过作辅助线构造矩形和等腰三角形，逐步推导得到扇形的圆心角度数，再结合扇形面积公式求解，较好地考查了对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是圆心角为∠BOE、半径为2的扇形，因此解题关键是求出圆心角∠BOE的度数。首先连接OD、OE，利用同圆半径相等得到OE=OD=OB=2；再过点O作AD的垂线，结合矩形的性质可得DF=OC=1，利用等腰三角形三线合一的性质推出ED=2DF=2，进而判定△ODE是等边三角形得到∠OED=60°；最后根据平行线的内错角相等求出∠BOE的度数，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接OD，过点O作$OF⊥AD$于点F。
由题意得$BO=2CO=2$，因此$OB=OE=OD=2$，$OC=1$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$AD// BC$，$∠C=∠CDA=90°$，
又
∵$OF⊥AD$，
∴四边形OCDF是矩形，
∴$DF=OC=1$。
∵$OE=OD$，$OF⊥ED$，
∴$ED=2DF=2$（等腰三角形三线合一），
∴$OE=OD=ED=2$，即$△ ODE$为等边三角形，
∴$∠OED=60°$。
∵$AD// BC$，
∴$∠BOE=∠OED=60°$（两直线平行，内错角相等）。
因此阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=\frac{nπr^2}{360}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算；矩形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是通过作辅助线构造矩形和等腰三角形，逐步推导得到扇形的圆心角度数，再结合扇形面积公式求解，较好地考查了对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮(如图①),共设有28个回转式太空舱全景轿厢,其示意图如图②所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离),圆心O到MN的距离为68 m,摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发,10 min后到达点B,此过程中,该轿厢所经过的路径(即$\overset{\frown}{AB}$)长度为
40π
m.(结果保留π)答案
40π
解析
【分析】
解题时首先需要求出摩天轮的半径：已知最高点离水面平台MN的距离为128m，圆心O到MN的距离为68m，最高点到MN的距离等于圆心到MN的距离加上半径，据此可算出半径长度。其次计算轿厢从A到B过程中转过的圆心角：摩天轮转一圈用时30min，10min转过的角度为周角的$\frac{10}{30}$，即可求出圆心角的度数。最后将半径和圆心角度数代入弧长公式，就能算出$\overset{\frown}{AB}$的长度。
【解析】
步骤1：求摩天轮的半径$R$
由题意可知，最高点到MN的距离 = 圆心O到MN的距离 + 半径$R$
即$128=68+R$，解得$R=60\ \mathrm{m}$
步骤2：求$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$n$
摩天轮匀速旋转一圈（$360°$）用时30min，那么10min转过的圆心角为：
$n=360°×\frac{10}{30}=120°$
步骤3：代入弧长公式计算弧长
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，将$n=120°$，$R=60\ \mathrm{m}$代入得：
$l=\frac{120×π×60}{180}=40π\ \mathrm{m}$
【答案】
$40π$
【知识点】
弧长计算、圆的基本性质、旋转的应用
【点评】
本题结合生活中的摩天轮场景考查几何计算，解题的核心是正确提取题干中的长度、时间信息，求出半径和对应圆心角，再代入弧长公式求解，注重基础知识与实际应用的结合。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求出摩天轮的半径：已知最高点离水面平台MN的距离为128m，圆心O到MN的距离为68m，最高点到MN的距离等于圆心到MN的距离加上半径，据此可算出半径长度。其次计算轿厢从A到B过程中转过的圆心角：摩天轮转一圈用时30min，10min转过的角度为周角的$\frac{10}{30}$，即可求出圆心角的度数。最后将半径和圆心角度数代入弧长公式，就能算出$\overset{\frown}{AB}$的长度。
【解析】
步骤1：求摩天轮的半径$R$
由题意可知，最高点到MN的距离 = 圆心O到MN的距离 + 半径$R$
即$128=68+R$，解得$R=60\ \mathrm{m}$
步骤2：求$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$n$
摩天轮匀速旋转一圈（$360°$）用时30min，那么10min转过的圆心角为：
$n=360°×\frac{10}{30}=120°$
步骤3：代入弧长公式计算弧长
弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$，将$n=120°$，$R=60\ \mathrm{m}$代入得：
$l=\frac{120×π×60}{180}=40π\ \mathrm{m}$
【答案】
$40π$
【知识点】
弧长计算、圆的基本性质、旋转的应用
【点评】
本题结合生活中的摩天轮场景考查几何计算，解题的核心是正确提取题干中的长度、时间信息，求出半径和对应圆心角，再代入弧长公式求解，注重基础知识与实际应用的结合。
【难度系数】
0.7
