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1. 如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为 (
A.$2π$
B.$π$
C.$\dfrac{π}{2}$
D.$\dfrac{π}{4}$
C
)A.$2π$
B.$π$
C.$\dfrac{π}{2}$
D.$\dfrac{π}{4}$
答案
1. C
解析
【分析】
要求每一份扇形的面积，首先明确将圆周32等分后，每一份扇形的面积是整个圆面积的$\frac{1}{32}$，因此解题步骤为：第一步根据圆的半径，利用圆的面积公式计算出整个圆的面积；第二步将圆的面积平均分成32份，计算出1份的面积即可。
【解析】
首先计算半径为4的圆的面积，根据圆的面积公式：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$
代入$r=4$，得：
$S_{\mathrm{圆}}=π × 4^2=16π$
因为圆周被32等分，所以每一份扇形的面积为圆面积的$\frac{1}{32}$，则：
$S_{\mathrm{扇形}}=16π ÷ 32=\frac{π}{2}$
【答案】
C
【知识点】
圆的面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆与等分后扇形的面积关系，解题的关键是掌握圆的面积公式，理解等分后每份扇形占整体的比例。
【难度系数】
0.8
要求每一份扇形的面积，首先明确将圆周32等分后，每一份扇形的面积是整个圆面积的$\frac{1}{32}$，因此解题步骤为：第一步根据圆的半径，利用圆的面积公式计算出整个圆的面积；第二步将圆的面积平均分成32份，计算出1份的面积即可。
【解析】
首先计算半径为4的圆的面积，根据圆的面积公式：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$
代入$r=4$，得：
$S_{\mathrm{圆}}=π × 4^2=16π$
因为圆周被32等分，所以每一份扇形的面积为圆面积的$\frac{1}{32}$，则：
$S_{\mathrm{扇形}}=16π ÷ 32=\frac{π}{2}$
【答案】
C
【知识点】
圆的面积计算；扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆与等分后扇形的面积关系，解题的关键是掌握圆的面积公式，理解等分后每份扇形占整体的比例。
【难度系数】
0.8
2. 如图是“二十四节气圆周”图，各节气点等分“节气圆周”.则一年内在“节气圆周”上从立春节气点旋转到立冬节气点，旋转角的大小为（
A.$135°$
B.$180°$
C.$225°$
D.$270°$
D
）A.$135°$
B.$180°$
C.$225°$
D.$270°$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先明确周角为360°，24个节气等分圆周，先算出相邻两个节气对应的圆心角大小；再按节气更替的春→夏→秋→冬顺序，数清楚从立春节气到立冬节气之间的间隔数，用间隔数乘每个间隔对应的圆心角，即可得到旋转角的大小，也可先计算对立方向的间隔角，用周角减去该角得到最终结果。
【解析】
解：
∵二十四节气等分整个圆周，周角为$360°$，
∴相邻两个节气对应的圆心角为$360° ÷ 24 = 15°$。
按节气更替顺序，从立春到立冬共有18个间隔，
因此旋转角大小为$18 × 15° = 270°$。
【答案】
D
【知识点】
周角的概念；等分圆周圆心角计算
【点评】
本题结合中华传统文化“二十四节气”设置问题，既考查了圆周等分后圆心角的计算能力，也能让学生了解传统文化常识，解题的关键是准确数出两个节气间的间隔数。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确周角为360°，24个节气等分圆周，先算出相邻两个节气对应的圆心角大小；再按节气更替的春→夏→秋→冬顺序，数清楚从立春节气到立冬节气之间的间隔数，用间隔数乘每个间隔对应的圆心角，即可得到旋转角的大小，也可先计算对立方向的间隔角，用周角减去该角得到最终结果。
【解析】
解：
∵二十四节气等分整个圆周，周角为$360°$，
∴相邻两个节气对应的圆心角为$360° ÷ 24 = 15°$。
按节气更替顺序，从立春到立冬共有18个间隔，
因此旋转角大小为$18 × 15° = 270°$。
【答案】
D
【知识点】
周角的概念；等分圆周圆心角计算
【点评】
本题结合中华传统文化“二十四节气”设置问题，既考查了圆周等分后圆心角的计算能力，也能让学生了解传统文化常识，解题的关键是准确数出两个节气间的间隔数。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$∠ DCE$是四边形$ABCD$的一个外角，如果$∠ DCE = ∠ A$，那么同时过点$A,B,C,D$
第3题图 第4题图
能
（填“能”或“不能”）作一个圆。第3题图 第4题图
答案
3. 能
解析
【分析】
要判断点A、B、C、D能否共圆，可结合四点共圆的判定条件分析：若四边形的一组对角互补，则四边形的四个顶点共圆。首先根据外角的性质得到∠DCE与内角∠BCD的关系，再结合已知∠DCE=∠A，推导四边形的一组对角是否互补，即可得出结论。
【解析】
∵ ∠DCE是四边形ABCD的外角，
∴ ∠DCE + ∠BCD = 180°（邻补角的和为180°），
又
∵ ∠DCE = ∠A（已知），
∴ 将∠DCE替换为∠A可得：∠A + ∠BCD = 180°，
根据“一组对角互补的四边形的四个顶点共圆”，可知点A、B、C、D能作一个圆。
【答案】
能
【知识点】
四点共圆的判定；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查四点共圆的判定规则，解题关键是通过外角性质和已知条件推导出四边形对角互补，掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断点A、B、C、D能否共圆，可结合四点共圆的判定条件分析：若四边形的一组对角互补，则四边形的四个顶点共圆。首先根据外角的性质得到∠DCE与内角∠BCD的关系，再结合已知∠DCE=∠A，推导四边形的一组对角是否互补，即可得出结论。
【解析】
∵ ∠DCE是四边形ABCD的外角，
∴ ∠DCE + ∠BCD = 180°（邻补角的和为180°），
又
∵ ∠DCE = ∠A（已知），
∴ 将∠DCE替换为∠A可得：∠A + ∠BCD = 180°，
根据“一组对角互补的四边形的四个顶点共圆”，可知点A、B、C、D能作一个圆。
【答案】
能
【知识点】
四点共圆的判定；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查四点共圆的判定规则，解题关键是通过外角性质和已知条件推导出四边形对角互补，掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 如图,经过四边形ABCD的四个顶点可以作一个圆.若∠A=115°,则∠C的度数为
65°
.答案
4. 65°
解析
【分析】
首先，由“经过四边形ABCD的四个顶点可以作一个圆”可判断该四边形是圆内接四边形；其次我们知道圆内接四边形的核心性质是对角互补，也就是相对的两个内角之和为180°，本题中∠A和∠C是一组对角，已知∠A的度数，直接用180°减去∠A的度数就能得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵经过四边形ABCD的四个顶点可以作一个圆
∴四边形ABCD是圆内接四边形
根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：$∠ A + ∠ C = 180°$
又
∵$∠ A = 115°$
∴$∠ C = 180° - 115° = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查圆内接四边形性质的直接应用，解题的关键是先根据题意判断出四边形为圆内接四边形，再代入性质计算即可，熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
首先，由“经过四边形ABCD的四个顶点可以作一个圆”可判断该四边形是圆内接四边形；其次我们知道圆内接四边形的核心性质是对角互补，也就是相对的两个内角之和为180°，本题中∠A和∠C是一组对角，已知∠A的度数，直接用180°减去∠A的度数就能得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵经过四边形ABCD的四个顶点可以作一个圆
∴四边形ABCD是圆内接四边形
根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：$∠ A + ∠ C = 180°$
又
∵$∠ A = 115°$
∴$∠ C = 180° - 115° = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查圆内接四边形性质的直接应用，解题的关键是先根据题意判断出四边形为圆内接四边形，再代入性质计算即可，熟练掌握相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
5. 如图,在四边形 AOBC 中,∠AOB = ∠ACB = 90°,AC = BC.
求证:OC 平分∠AOB.
求证:OC 平分∠AOB.
答案
5.
∵ 在四边形 AOBC 中，∠AOB = ∠ACB=90°,
∴ ∠AOB+∠ACB=180°.
∴ A,O,B,C 四点共圆(如图).
∵ AC=BC,
∴ $\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$.
∴ ∠AOC=∠BOC.
∴ OC 平分∠AOB.
解析
【分析】
要证明OC平分∠AOB，即需证∠AOC=∠BOC。首先梳理已知条件：四边形AOBC中∠AOB和∠ACB均为90°，可得这组对角之和为180°，据此可判定A、O、B、C四点共圆；再结合AC=BC的条件，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出∠AOC=∠BOC，完成证明。
【解析】
证明：
∵ 在四边形AOBC中，∠AOB = ∠ACB=90°,
∴ ∠AOB+∠ACB=180°,
∴ A、O、B、C四点共圆（如图）。
∵ AC=BC,
∴ $\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$,
∴ ∠AOC=∠BOC,
∴ OC 平分∠AOB。
【答案】
∵ 在四边形 AOBC 中，∠AOB = ∠ACB=90°,
∴ ∠AOB+∠ACB=180°.
∴ A,O,B,C 四点共圆(如图).
∵ AC=BC,
∴ $\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$.
∴ ∠AOC=∠BOC.
∴ OC 平分∠AOB.
【知识点】
四点共圆判定、弦与弧的关系、圆周角定理
【点评】
本题综合考查四边形与圆的基本性质，解题的关键是利用对角互补判定四点共圆，将线段相等的条件转化为角相等的关系，能有效检验学生对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明OC平分∠AOB，即需证∠AOC=∠BOC。首先梳理已知条件：四边形AOBC中∠AOB和∠ACB均为90°，可得这组对角之和为180°，据此可判定A、O、B、C四点共圆；再结合AC=BC的条件，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出∠AOC=∠BOC，完成证明。
【解析】
证明：
∵ 在四边形AOBC中，∠AOB = ∠ACB=90°,
∴ ∠AOB+∠ACB=180°,
∴ A、O、B、C四点共圆（如图）。
∵ AC=BC,
∴ $\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$,
∴ ∠AOC=∠BOC,
∴ OC 平分∠AOB。
【答案】
∵ 在四边形 AOBC 中，∠AOB = ∠ACB=90°,
∴ ∠AOB+∠ACB=180°.
∴ A,O,B,C 四点共圆(如图).
∵ AC=BC,
∴ $\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$.
∴ ∠AOC=∠BOC.
∴ OC 平分∠AOB.
【知识点】
四点共圆判定、弦与弧的关系、圆周角定理
【点评】
本题综合考查四边形与圆的基本性质，解题的关键是利用对角互补判定四点共圆，将线段相等的条件转化为角相等的关系，能有效检验学生对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
