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9. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，已知$∠ BOC=70°$，$AD// OC$，则$∠ AOD=$
40°
。答案
9.40°
解析
【分析】
解题时先从已知条件AD//OC入手，利用平行线的同位角相等得到∠OAD的度数；再结合圆的半径相等，可知△OAD是等腰三角形，得到两个底角相等；最后利用三角形内角和定理即可求出∠AOD的度数。
【解析】
1. 因为AD//OC，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ OAD=∠ BOC=70°$。
2. 因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，$△ OAD$为等腰三角形，因此$∠ ODA=∠ OAD=70°$。
3. 根据三角形内角和为$180°$，在$△ AOD$中，$∠ AOD=180°-∠ OAD-∠ ODA=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质；圆的基本性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将平行线、圆的特征和等腰三角形的性质相结合考查，解题的关键是准确找到角之间的等量关系，再结合三角形内角和计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件AD//OC入手，利用平行线的同位角相等得到∠OAD的度数；再结合圆的半径相等，可知△OAD是等腰三角形，得到两个底角相等；最后利用三角形内角和定理即可求出∠AOD的度数。
【解析】
1. 因为AD//OC，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ OAD=∠ BOC=70°$。
2. 因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，$△ OAD$为等腰三角形，因此$∠ ODA=∠ OAD=70°$。
3. 根据三角形内角和为$180°$，在$△ AOD$中，$∠ AOD=180°-∠ OAD-∠ ODA=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质；圆的基本性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将平行线、圆的特征和等腰三角形的性质相结合考查，解题的关键是准确找到角之间的等量关系，再结合三角形内角和计算即可。
【难度系数】
0.8
10. 在矩形$ABCD$中，$AB=16$，按如图所示的方式裁出一扇形$ABE$，将扇形围成一个圆锥（$AB$和$AE$重合），则此圆锥的底面半径为
4
。答案
10.4
解析
【分析】
解决这道题的核心是明确扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。首先确定扇形ABE的圆心角和半径：矩形中∠A为直角，所以扇形圆心角是90°，扇形半径等于AB的长度16；接下来先计算扇形的弧长，再根据弧长等于底面圆周长列方程，即可求出底面半径。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
扇形ABE的半径$R=AB=AE=16$，
根据弧长公式计算弧BE的长度：
$l_{\overset{\frown}{BE}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×16}{180}=8π$
∵扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面半径为r，
则$2π r = 8π$
解得$r=4$
【答案】
4
【知识点】
弧长计算，圆锥侧面展开，圆周长计算
【点评】
本题考查平面图形与立体图形的转换，解题的关键是牢记扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，理清两者的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是明确扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。首先确定扇形ABE的圆心角和半径：矩形中∠A为直角，所以扇形圆心角是90°，扇形半径等于AB的长度16；接下来先计算扇形的弧长，再根据弧长等于底面圆周长列方程，即可求出底面半径。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
扇形ABE的半径$R=AB=AE=16$，
根据弧长公式计算弧BE的长度：
$l_{\overset{\frown}{BE}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×16}{180}=8π$
∵扇形围成圆锥时，弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面半径为r，
则$2π r = 8π$
解得$r=4$
【答案】
4
【知识点】
弧长计算，圆锥侧面展开，圆周长计算
【点评】
本题考查平面图形与立体图形的转换，解题的关键是牢记扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，理清两者的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB,BC分别交于点D,E,连接AE,DE,若∠BED=45°,AB=2,则图中阴影部分的面积为
$\frac{π}{4}$
.答案
11.$\frac{π}{4}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据直径所对圆周角为直角，结合等腰三角形三线合一得到AE是角平分线；再利用圆内接四边形外角等于内对角求出∠C的度数，进而得到∠BAC的度数和圆的半径；最后通过割补法将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形面积计算即可。
【解析】
解：连接OD。
1. 因为AC为⊙O的直径，所以∠AEC=90°，即AE⊥BC。
又因为AB=AC，所以AE平分∠BAC，且∠B=∠C。
2. 因为四边形ADEC是⊙O的内接四边形，所以∠BED=∠C（圆内接四边形的外角等于内对角）。
已知∠BED=45°，所以∠B=∠C=45°，因此∠BAC=180°-45°-45°=90°。
3. 因为AB=AC=2，所以⊙O的半径$r=OA=OD=\frac{1}{2}AC=1$。
4. 因为OA=OD，∠OAD=∠BAC=90°，所以△OAD是等腰直角三角形，∠AOD=90°。
5. 观察图形通过割补可得，阴影部分的面积等于圆心角为90°、半径为1的扇形OAD的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAD}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$
【答案】
$\frac{π}{4}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的综合题，解题的关键是熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理，将不规则阴影面积转化为规则图形的面积求解，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先根据直径所对圆周角为直角，结合等腰三角形三线合一得到AE是角平分线；再利用圆内接四边形外角等于内对角求出∠C的度数，进而得到∠BAC的度数和圆的半径；最后通过割补法将不规则的阴影部分面积转化为规则的扇形面积计算即可。
【解析】
解：连接OD。
1. 因为AC为⊙O的直径，所以∠AEC=90°，即AE⊥BC。
又因为AB=AC，所以AE平分∠BAC，且∠B=∠C。
2. 因为四边形ADEC是⊙O的内接四边形，所以∠BED=∠C（圆内接四边形的外角等于内对角）。
已知∠BED=45°，所以∠B=∠C=45°，因此∠BAC=180°-45°-45°=90°。
3. 因为AB=AC=2，所以⊙O的半径$r=OA=OD=\frac{1}{2}AC=1$。
4. 因为OA=OD，∠OAD=∠BAC=90°，所以△OAD是等腰直角三角形，∠AOD=90°。
5. 观察图形通过割补可得，阴影部分的面积等于圆心角为90°、半径为1的扇形OAD的面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAD}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$
【答案】
$\frac{π}{4}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于圆的综合题，解题的关键是熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理，将不规则阴影面积转化为规则图形的面积求解，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,D是AB上一点,$\odot O$经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作$DF// BC$,交$\odot O$于点F,连接EF,CF,AF.求证:
(1)四边形DBCF是平行四边形；
(2)$AF=EF$.
(1)四边形DBCF是平行四边形；
(2)$AF=EF$.
答案
12. (1)
∵ AC=BC，
∴ ∠BAC=∠B.
∵ DF//BC，
∴ ∠ADF=∠B.
∴ ∠BAC=∠ADF，
即∠DAC=∠ADF.
∵ ∠DAC=∠CFD，
∴ ∠ADF=∠CFD.
∴ BD//CF.
∵ DF//BC，
∴ 四边形DBCF是平行四边形.
(2)连接AE.
∵ ∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF，
∴ ∠AEF=∠B.
∵ 四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ECF+∠EAF=180°.
∵ BD//CF，
∴ ∠ECF+∠B=180°.
∴ ∠EAF=∠B.
∴ ∠AEF=∠EAF.
∴ AF=EF.
∵ AC=BC，
∴ ∠BAC=∠B.
∵ DF//BC，
∴ ∠ADF=∠B.
∴ ∠BAC=∠ADF，
即∠DAC=∠ADF.
∵ ∠DAC=∠CFD，
∴ ∠ADF=∠CFD.
∴ BD//CF.
∵ DF//BC，
∴ 四边形DBCF是平行四边形.
(2)连接AE.
∵ ∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF，
∴ ∠AEF=∠B.
∵ 四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴ ∠ECF+∠EAF=180°.
∵ BD//CF，
∴ ∠ECF+∠B=180°.
∴ ∠EAF=∠B.
∴ ∠AEF=∠EAF.
∴ AF=EF.
解析
【分析】
(1) 要证明四边形DBCF是平行四边形，已知DF//BC，因此只需证明另一组对边BD//CF即可。首先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠BAC=∠B，结合平行线的性质推出∠ADF=∠B，进而得到∠BAC=∠ADF；再利用同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠CFD，等量代换后得到∠ADF=∠CFD，由内错角相等可推出BD//CF，两组对边分别平行即可判定该四边形为平行四边形。
(2) 要证明AF=EF，根据等角对等边的性质，只需证明∠AEF=∠EAF即可，因此先作辅助线连接AE。首先利用同弧所对的圆周角相等得到∠ADF=∠AEF，结合之前的结论推出∠AEF=∠B；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合平行线同旁内角互补的性质，可推出∠EAF=∠B，等量代换后得到∠AEF=∠EAF，即可得到AF=EF。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC=BC$，
∴ $∠ BAC=∠ B$。
∵ $DF// BC$，
∴ $∠ ADF=∠ B$。
∴ $∠ BAC=∠ ADF$，即$∠ DAC=∠ ADF$。
∵ $∠ DAC$与$∠ CFD$都是弧$CD$所对的圆周角，
∴ $∠ DAC=∠ CFD$，
∴ $∠ ADF=∠ CFD$，
∴ $BD// CF$。
又
∵ $DF// BC$，
∴ 四边形$DBCF$是平行四边形。
(2) 证明：连接$AE$，
∵ $∠ ADF$与$∠ AEF$都是弧$AF$所对的圆周角，
∴ $∠ ADF=∠ AEF$，
又
∵ $∠ ADF=∠ B$，
∴ $∠ AEF=∠ B$。
∵ 四边形$AECF$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ECF+∠ EAF=180°$。
∵ $BD// CF$，
∴ $∠ ECF+∠ B=180°$，
∴ $∠ EAF=∠ B$。
∴ $∠ AEF=∠ EAF$，
∴ $AF=EF$。
【答案】
(1) 四边形$DBCF$是平行四边形；
(2) $AF=EF$。
【知识点】
平行四边形的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查了三角形、四边形与圆的基础性质，解题核心是通过角的等量代换推导平行关系和等角关系，辅助线的构造符合常规解题逻辑，能较好地考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明四边形DBCF是平行四边形，已知DF//BC，因此只需证明另一组对边BD//CF即可。首先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠BAC=∠B，结合平行线的性质推出∠ADF=∠B，进而得到∠BAC=∠ADF；再利用同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠CFD，等量代换后得到∠ADF=∠CFD，由内错角相等可推出BD//CF，两组对边分别平行即可判定该四边形为平行四边形。
(2) 要证明AF=EF，根据等角对等边的性质，只需证明∠AEF=∠EAF即可，因此先作辅助线连接AE。首先利用同弧所对的圆周角相等得到∠ADF=∠AEF，结合之前的结论推出∠AEF=∠B；再利用圆内接四边形对角互补的性质，结合平行线同旁内角互补的性质，可推出∠EAF=∠B，等量代换后得到∠AEF=∠EAF，即可得到AF=EF。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC=BC$，
∴ $∠ BAC=∠ B$。
∵ $DF// BC$，
∴ $∠ ADF=∠ B$。
∴ $∠ BAC=∠ ADF$，即$∠ DAC=∠ ADF$。
∵ $∠ DAC$与$∠ CFD$都是弧$CD$所对的圆周角，
∴ $∠ DAC=∠ CFD$，
∴ $∠ ADF=∠ CFD$，
∴ $BD// CF$。
又
∵ $DF// BC$，
∴ 四边形$DBCF$是平行四边形。
(2) 证明：连接$AE$，
∵ $∠ ADF$与$∠ AEF$都是弧$AF$所对的圆周角，
∴ $∠ ADF=∠ AEF$，
又
∵ $∠ ADF=∠ B$，
∴ $∠ AEF=∠ B$。
∵ 四边形$AECF$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ ECF+∠ EAF=180°$。
∵ $BD// CF$，
∴ $∠ ECF+∠ B=180°$，
∴ $∠ EAF=∠ B$。
∴ $∠ AEF=∠ EAF$，
∴ $AF=EF$。
【答案】
(1) 四边形$DBCF$是平行四边形；
(2) $AF=EF$。
【知识点】
平行四边形的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题综合考查了三角形、四边形与圆的基础性质，解题核心是通过角的等量代换推导平行关系和等角关系，辅助线的构造符合常规解题逻辑，能较好地考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
