3. 如图,已知$AB=AC$,B是AD的中点,E是AB的中点.求证:$CD=2CE$.

模型二 截长补短模型
基本模型:如图①,若证明线段AB,CD,EF之间存在$EF=AB+CD$,可以考虑截长补短法.
A——B C——D

3. 证明:如解图,延长 CE 至点 F,使 EF = CE,连接 BF.
∵ E 是 AB 的中点,
∴ AE=BE.
在△ACE 和△BFE 中,
$\begin{cases} CE=FE, \\ ∠AEC=∠BEF, \\ AE=BE, \end{cases}$
∴ △ACE≌△BFE(SAS).
∴ ∠A=∠EBF,AC=BF.
∵ ∠CBD=∠A+∠ACB,
∠CBF=∠ABF+∠ABC,AB=AC,
∴ ∠ACB=∠ABC,∠CBD=∠CBF.
∵ B 是 AD 的中点,
∴ AB=BD.
又
∵ AB=AC,
∴ AC=BD.
∴ BF=BD.
∵ CB=CB,
∴ △CBD≌△CBF(SAS).
∴ CD=CF=2CE.

1. 如图,已知$AB// CF$,E为DF的中点.若$AB=13\ \mathrm{cm},CF=6\ \mathrm{cm}$,则BD的长为 ()


A.6 cm
B.7 cm
C.12 cm
D.13 cm

1. B

2. 如图,在$△ ABC$中,D为BC边上的中点,AB=10,AC=6,则AD的取值范围是.

2. 2＜AD＜8

模型二 截长补短模型
基本模型:如图①,若证明线段AB,CD,EF之间存在$EF=AB+CD$,可以考虑截长补短法.

模型解读:
截长法:如图②,在EF上截取$EG=AB$,再证明$GF=CD$即可.
补短法:如图③,延长AB至点H,使$BH=CD$,再证明$AH=EF$即可.
4. 如图,已知$AC// BD$,AE,BE分别平分$∠ CAB$和$∠ DBA$,点E在直线CD上.
求证:$AB=AC+BD$.

4. 证明:方法一(截长法):
如解图①,在 AB 上截取 AF=AC,连接 EF.
∵ AE 平分∠CAB,
∴ ∠1=∠2.
在△ACE 和△AFE 中,
$\begin{cases} AC=AF, \\ ∠1=∠2, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴ △ACE≌△AFE(SAS).
∴ ∠C=∠5.
∵ AC//BD,
∴ ∠C+∠D=180°.
∵ ∠5+∠6=180°,
∴ ∠D=∠6.
∵ BE 平分∠DBA,
∴ ∠3=∠4.
在△BEF 和△BED 中,
$\begin{cases} ∠6=∠D, \\ ∠3=∠4, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △BEF≌△BED(AAS).
∴ BF=BD.
∴ AF+BF=AC+BD,
即 AB=AC+BD.
方法二(补短法):
如解图②,延长 AC 至点 F,使 AF=AB,连接 EF.
∵ AE 平分∠CAB,
∴ ∠1=∠2.
在△AEF 和△AEB 中,
$\begin{cases} AF=AB, \\ ∠1=∠2, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴ △AEF≌△AEB(SAS).
∴ EF=EB.
∵ AC//BD,
∴ ∠5=∠D,∠F=∠4.
在△CEF 和△DEB 中,
$\begin{cases} ∠5=∠D, \\ ∠F=∠4, \\ EF=EB, \end{cases}$
∴ △CEF≌△DEB(AAS).
∴ CF=DB.
∵ AB=AF=AC+CF,
∴ AB=AC+BD.