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如图，圆心角∠AOB所对的弧为
$\overset{\frown}{AB}$
，圆心角∠AOB所对的弦为AB
。答案
$\overset{\frown}{AB}$ AB
解析
【分析】
拿到本题首先需要明确两个核心概念：一是圆心角所对弧的定义，二是圆心角所对弦的定义。首先，圆心角是顶点在圆心的角，其两条边与圆的两个交点之间的劣弧（无特殊说明时默认指劣弧）就是该圆心角所对的弧；其次，连接这两个交点的线段就是该圆心角所对的弦。观察图形可知，∠AOB的顶点为圆心O，两条边分别交圆于A、B两点，结合定义就能找到对应的弧和弦。
【解析】
1. 求圆心角∠AOB所对的弧：
根据圆心角所对弧的定义，圆心角两边与圆的交点之间的劣弧为其对应弧，∠AOB的两边与⊙O交于A、B两点，因此∠AOB所对的弧为$\overset{\frown}{AB}$。
2. 求圆心角∠AOB所对的弦：
根据弦的定义，连接圆上两点的线段为弦，圆心角所对的弦就是连接其两边与圆交点的线段，因此连接A、B的线段AB为∠AOB所对的弦。
【答案】
$\overset{\frown}{AB}$；AB
【知识点】
圆心角与弧弦的对应、弧的概念、弦的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查圆中圆心角、弧、弦三者的对应关系，牢记相关定义即可快速解答，是圆章节的基础考点。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先需要明确两个核心概念：一是圆心角所对弧的定义，二是圆心角所对弦的定义。首先，圆心角是顶点在圆心的角，其两条边与圆的两个交点之间的劣弧（无特殊说明时默认指劣弧）就是该圆心角所对的弧；其次，连接这两个交点的线段就是该圆心角所对的弦。观察图形可知，∠AOB的顶点为圆心O，两条边分别交圆于A、B两点，结合定义就能找到对应的弧和弦。
【解析】
1. 求圆心角∠AOB所对的弧：
根据圆心角所对弧的定义，圆心角两边与圆的交点之间的劣弧为其对应弧，∠AOB的两边与⊙O交于A、B两点，因此∠AOB所对的弧为$\overset{\frown}{AB}$。
2. 求圆心角∠AOB所对的弦：
根据弦的定义，连接圆上两点的线段为弦，圆心角所对的弦就是连接其两边与圆交点的线段，因此连接A、B的线段AB为∠AOB所对的弦。
【答案】
$\overset{\frown}{AB}$；AB
【知识点】
圆心角与弧弦的对应、弧的概念、弦的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查圆中圆心角、弧、弦三者的对应关系，牢记相关定义即可快速解答，是圆章节的基础考点。
【难度系数】
0.9
任务二 探究圆心角、弧、弦之间的关系
探究1：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？
探究2：如图，在$\odot O$中，如果$∠ AOB = ∠ COD$，那么$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$、弦AB与CD有怎样的数量关系？
探究3：如图，在等圆中，如果$∠ AOB = ∠ CO'D$，探究2中的数量关系是否依然成立？
新知生成：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
探究4：如图，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？
探究5：在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
新知生成：在同圆或
交流总结
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
探究1：剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合吗？
探究2：如图，在$\odot O$中，如果$∠ AOB = ∠ COD$，那么$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$、弦AB与CD有怎样的数量关系？
探究3：如图，在等圆中，如果$∠ AOB = ∠ CO'D$，探究2中的数量关系是否依然成立？
新知生成：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
相等
，所对的弦也相等
.探究4：如图，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？
探究5：在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
新知生成：在同圆或
等圆
中，对于两个圆心角、两条弧
、两条弦
，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等
.交流总结
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
答案
探究1 解：把圆形纸片绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合.
探究2 解：在$\odot O$中，如果$∠ AOB=∠ COD$，那么$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$AB=CD$.
探究3 解：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$AB=CD$依然成立.
新知生成 相等 相等
探究4 解：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
探究5 解：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
新知生成 等圆 弧 弦 相等
交流总结
解：不能去掉. 理由如下：
如图，显然，$\overset{\frown}{AB}＞\overset{\frown}{CD}$，弦$AB＞CD$.
解析
【分析】
本题围绕圆心角、弧、弦的关系展开探究，解题思路如下：首先利用圆的旋转不变性判断圆旋转后的重合情况；再结合同圆、等圆半径相等的性质，通过全等三角形或旋转重合的思路，推导相等圆心角对应的弧、弦的数量关系；接着反向推导弧相等、弦相等时其余两组量的关系；最后通过反例理解“同圆或等圆”这一前提条件的必要性，明确三个量的等量转换规则。
【解析】
1. 探究1：圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度后，圆上所有点都能和原图形上的点重合，因此所得图形与原图形重合。
2. 探究2：同圆中半径相等，即$OA=OB=OC=OD$，结合$∠AOB=∠COD$，可证$△ AOB≌△ COD$（SAS），得$AB=CD$；将$∠COD$绕圆心O旋转至与$∠AOB$重合时，对应点完全重合，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
3. 探究3：等圆的半径相等，推导逻辑与同圆一致，可证得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$、$AB=CD$的结论依然成立。
4. 第一个新知生成：结合探究2、3的结论，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
5. 探究4：同圆或等圆中两条弧相等，说明弧可通过旋转完全重合，因此对应的圆心角相等，所对的弦也相等。
6. 探究5：同圆或等圆中两条弦相等，结合半径相等可证弦与半径构成的三角形全等，因此对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
7. 第二个新知生成：综合探究可得，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中若有一组量相等，其余各组对应量也分别相等。
8. 交流总结：不能去掉“在同圆或等圆中”的条件。没有该前提时，即使圆心角相等，受半径差异影响，弧长、弦长都不相等，如题中反例可验证这一点，因此该条件不可去掉。
【答案】
探究1 解：把圆形纸片绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合.
探究2 解：在$\odot O$中，如果$∠ AOB=∠ COD$，那么$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$AB=CD$.
探究3 解：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$AB=CD$依然成立.
新知生成 相等 相等
探究4 解：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
探究5 解：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
新知生成 等圆 弧 弦 相等
交流总结
解：不能去掉. 理由如下：
如图，显然，$\overset{\frown}{AB}＞\overset{\frown}{CD}$，弦$AB＞CD$.
【知识点】
1. 圆的旋转不变性
2. 圆心角弧弦的关系
3. 同圆与等圆的性质
【点评】
本题通过分层探究的形式，引导学生逐步掌握圆心角、弧、弦三者的等量转换规则，重点考查对定理适用前提的理解，是圆相关证明与计算的基础内容，需熟练掌握三组量的对应关系及适用条件。
【难度系数】
0.85
本题围绕圆心角、弧、弦的关系展开探究，解题思路如下：首先利用圆的旋转不变性判断圆旋转后的重合情况；再结合同圆、等圆半径相等的性质，通过全等三角形或旋转重合的思路，推导相等圆心角对应的弧、弦的数量关系；接着反向推导弧相等、弦相等时其余两组量的关系；最后通过反例理解“同圆或等圆”这一前提条件的必要性，明确三个量的等量转换规则。
【解析】
1. 探究1：圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度后，圆上所有点都能和原图形上的点重合，因此所得图形与原图形重合。
2. 探究2：同圆中半径相等，即$OA=OB=OC=OD$，结合$∠AOB=∠COD$，可证$△ AOB≌△ COD$（SAS），得$AB=CD$；将$∠COD$绕圆心O旋转至与$∠AOB$重合时，对应点完全重合，因此$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
3. 探究3：等圆的半径相等，推导逻辑与同圆一致，可证得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$、$AB=CD$的结论依然成立。
4. 第一个新知生成：结合探究2、3的结论，同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
5. 探究4：同圆或等圆中两条弧相等，说明弧可通过旋转完全重合，因此对应的圆心角相等，所对的弦也相等。
6. 探究5：同圆或等圆中两条弦相等，结合半径相等可证弦与半径构成的三角形全等，因此对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
7. 第二个新知生成：综合探究可得，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中若有一组量相等，其余各组对应量也分别相等。
8. 交流总结：不能去掉“在同圆或等圆中”的条件。没有该前提时，即使圆心角相等，受半径差异影响，弧长、弦长都不相等，如题中反例可验证这一点，因此该条件不可去掉。
【答案】
探究1 解：把圆形纸片绕圆心旋转任意一个角度，所得图形与原图形重合.
探究2 解：在$\odot O$中，如果$∠ AOB=∠ COD$，那么$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$AB=CD$.
探究3 解：$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$AB=CD$依然成立.
新知生成 相等 相等
探究4 解：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
探究5 解：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
新知生成 等圆 弧 弦 相等
交流总结
解：不能去掉. 理由如下：
如图，显然，$\overset{\frown}{AB}＞\overset{\frown}{CD}$，弦$AB＞CD$.
【知识点】
1. 圆的旋转不变性
2. 圆心角弧弦的关系
3. 同圆与等圆的性质
【点评】
本题通过分层探究的形式，引导学生逐步掌握圆心角、弧、弦三者的等量转换规则，重点考查对定理适用前提的理解，是圆相关证明与计算的基础内容，需熟练掌握三组量的对应关系及适用条件。
【难度系数】
0.85
1. 如图，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，已知AB是$\odot O$的直径，$∠ COD=35°$，那么$∠ AOE$的度数是（
A.$40°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$105°$
C
）A.$40°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$105°$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，就可以推出这三段弧对应的圆心角相等，结合已知的$∠ COD=35°$，先求出$\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角$∠ BOE$的度数；再根据AB是圆的直径，可知$∠ AOB$是平角为$180°$，用$∠ AOB$的度数减去$∠ BOE$的度数就能得到$∠ AOE$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore$ 这三段弧所对的圆心角相等，即$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$，
$\because ∠ COD=35°$，
$\therefore ∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=35°$，
$\therefore ∠ BOE=∠ BOC+∠ COD+∠ DOE=3×35°=105°$，
又$\because$ AB是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ AOB-∠ BOE=180°-105°=75°$。
【答案】
C
【知识点】
等弧对等圆心角，平角的定义，直径的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查同圆中弧与圆心角的对应关系，解题的关键是根据等弧得到相等的圆心角，再结合平角的度数计算待求角，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。已知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，就可以推出这三段弧对应的圆心角相等，结合已知的$∠ COD=35°$，先求出$\overset{\frown}{BE}$对应的圆心角$∠ BOE$的度数；再根据AB是圆的直径，可知$∠ AOB$是平角为$180°$，用$∠ AOB$的度数减去$∠ BOE$的度数就能得到$∠ AOE$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore$ 这三段弧所对的圆心角相等，即$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE$，
$\because ∠ COD=35°$，
$\therefore ∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=35°$，
$\therefore ∠ BOE=∠ BOC+∠ COD+∠ DOE=3×35°=105°$，
又$\because$ AB是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ AOB=180°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ AOB-∠ BOE=180°-105°=75°$。
【答案】
C
【知识点】
等弧对等圆心角，平角的定义，直径的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查同圆中弧与圆心角的对应关系，解题的关键是根据等弧得到相等的圆心角，再结合平角的度数计算待求角，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在半径为5的$\odot O$中，$∠ AOB = ∠ AOC$，$OD ⊥ AC$于点$D$，$AB = 8$，则$OD =$
3
.答案
2. 3
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的基本性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，由此可先求出弦AC的长度；再根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，得到直角边AD的长度；最后在直角三角形AOD中利用勾股定理即可计算出OD的长度。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$∠ AOB = ∠ AOC$，
∴ 相等的圆心角所对的弦相等，即$AC = AB = 8$，
∵ $OD ⊥ AC$，OA是$\odot O$的半径，
根据垂径定理可得：$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 8 = 4$，
又
∵ $\odot O$的半径为5，即$OA = 5$，且$△ AOD$是直角三角形，
由勾股定理得：$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
圆心角与弦的关系；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题目，核心是利用圆心角的性质得到相等的弦长，再结合垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理计算线段长度，熟练掌握圆的基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆的基本性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，由此可先求出弦AC的长度；再根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，得到直角边AD的长度；最后在直角三角形AOD中利用勾股定理即可计算出OD的长度。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$∠ AOB = ∠ AOC$，
∴ 相等的圆心角所对的弦相等，即$AC = AB = 8$，
∵ $OD ⊥ AC$，OA是$\odot O$的半径，
根据垂径定理可得：$AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 8 = 4$，
又
∵ $\odot O$的半径为5，即$OA = 5$，且$△ AOD$是直角三角形，
由勾股定理得：$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$。
【答案】
3
【知识点】
圆心角与弦的关系；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题目，核心是利用圆心角的性质得到相等的弦长，再结合垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理计算线段长度，熟练掌握圆的基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
