任务导学
任务一 抽象出圆周角的概念
回顾复习：什么叫作圆心角？指出下图中的圆心角.

探究：图中∠ABE，∠ACE，∠ADE 的顶点和边有哪些特点？

回顾复习 解：顶点在圆心的角叫作圆心角. 图中的圆心角为$∠ AOE$.
探究 解：顶点在$\odot O$上，角的两边分别与$\odot O$相交于两点.

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：1. 回顾复习部分：首先回忆圆心角的定义，抓住“顶点在圆心”这一核心特征，观察图形找到顶点为圆心O，两边为圆的半径的角即可。2. 探究部分：分别观察三个角的顶点位置，以及角的两边和圆的位置关系，归纳共同特征即可。
【解析】
回顾复习
根据圆心角的定义：顶点在圆心的角叫作圆心角。观察图形，圆心为O，顶点在O，两边分别为半径OA、OE的角为$∠ AOE$，即图中的圆心角是$∠ AOE$。
探究
观察三个角的特征：
① 顶点位置：$∠ ABE$的顶点B、$∠ ACE$的顶点C、$∠ ADE$的顶点D都在$\odot O$上；
② 边的特征：三个角的两条边都分别与$\odot O$相交于两个不同的点。
综上，三个角的共同特点是顶点在$\odot O$上，角的两边分别与$\odot O$相交于两点。
【答案】
回顾复习：顶点在圆心的角叫作圆心角。图中的圆心角为$∠ AOE$。
探究：顶点在$\odot O$上，角的两边分别与$\odot O$相交于两点。
【知识点】
圆心角的定义、圆周角的特征
【点评】
本题属于基础概念探究题，通过回顾旧知引出新知，考查对概念的理解能力和图形观察归纳能力，是学习圆周角相关知识的入门内容。
【难度系数】
0.9

新知生成：顶点在，并且两边都与圆的角叫作圆周角。

圆上 相交

【分析】
本题考查圆周角的定义识记，解题时需回忆圆周角的两个必备判定条件：一是顶点的位置要求，二是角的两条边与圆的位置关系要求，两个条件同时满足才是圆周角，对应填写即可。
【解析】
根据圆周角的定义可知：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
圆上；相交
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对基础定义的记忆，只要熟练掌握圆周角的定义特征即可快速得分。
【难度系数】
0.9

1. 下列图形中，$∠ BAC$ 是圆周角的是（）

2. 如图，写出三个圆周角：

1. B
2. $∠ ACB$，$∠ BED$，$∠ DBE$(答案不唯一)

【分析】
解题的核心依据是圆周角的定义，判断一个角是否为圆周角需同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可。第1题只需逐一验证每个选项中的∠BAC是否满足上述两个条件，即可筛选出正确答案；第2题按照这两个判定条件，在图中找出3个符合要求的角即可，符合要求的角较多，答案不唯一。
【解析】
首先明确圆周角的判定规则：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角是圆周角。
1. 对各选项逐一分析：
A选项：∠BAC的顶点A不在圆上，不满足圆周角条件，排除；
B选项：∠BAC的顶点A在圆上，且AB、AC两条边都与圆相交，符合圆周角定义，正确；
C选项：∠BAC的AC边未与圆相交，不满足条件，排除；
D选项：∠BAC的顶点A在圆心，属于圆心角，不是圆周角，排除。
2. 按照圆周角判定规则找角：
∠ACB：顶点C在圆上，两边CA、CB均与圆相交，是圆周角；
∠BED：顶点E在圆上，两边EB、ED均与圆相交，是圆周角；
∠DBE：顶点B在圆上，两边BD、BE均与圆相交，是圆周角。
其余满足条件的角也可作为答案。
【答案】
1. B
2. $∠ ACB$，$∠ BED$，$∠ DBE$(答案不唯一)
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
这两道题是对圆周角定义的基础考查，只要牢记圆周角的两个判定条件，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9

任务二 探究圆周角定理
问题探究: 如图, 试猜想∠BAC与∠BOC之间存在怎样的数量关系?

推导论证:
(1)如图1, 当圆心O在∠BAC的一边上时,
OA=OC⇒∠A=
∠BOC=∠A+
⇒∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC.
(2)如图2, 当圆心O在∠BAC的内部时,
∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD
∠DAC=$\frac{1}{2}$
⇒∠BAC=∠BAD+
=$\frac{1}{2}$(∠BOD+)
=$\frac{1}{2}$∠BOC.
(3)如图3, 当圆心O在∠BAC的外部时,
∠BAC=∠DAC−
=$\frac{1}{2}$(∠DOC−)
=$\frac{1}{2}$∠BOC.
新知生成: (圆周角定理)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的.

推导论证
(1)$∠ C$ $∠ C$
(2)$∠ DOC$ $∠ DAC$ $∠ DOC$
(3)$∠ DAB$ $∠ DOB$
新知生成 一半

【分析】
本题通过分类讨论圆心与圆周角的三种位置关系探究圆周角定理，解题思路如下：首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形外角的性质，证明圆心在圆周角边上的特殊情况；另外两种情况通过作过圆周角顶点的直径，将角拆分为两个特殊情况的角的和或差，转化为已证的特殊情况推导，最终总结得到普遍结论。
【解析】
(1)
∵ OA、OC均为⊙O的半径，
∴ OA=OC，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠A=∠C；
∵ ∠BOC是△AOC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，可得∠BOC=∠A+∠C，
代入∠C=∠A，得∠BOC=2∠BAC，即∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC。
(2) 过点A作直径AD，将∠BAC拆分为∠BAD和∠DAC：
由(1)的结论可得∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD，∠DAC=$\frac{1}{2}$∠DOC，
∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAC=$\frac{1}{2}$(∠BOD+∠DOC)=$\frac{1}{2}$∠BOC。
(3) 过点A作直径AD，此时∠BAC为∠DAC与∠DAB的差：
由(1)的结论可得∠DAC=$\frac{1}{2}$∠DOC，∠DAB=$\frac{1}{2}$∠DOB，
∴ ∠BAC=∠DAC−∠DAB=$\frac{1}{2}$(∠DOC−∠DOB)=$\frac{1}{2}$∠BOC。
综合三种情况的推导，可得圆周角定理。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠C}$；$\boldsymbol{∠C}$
(2) $\boldsymbol{∠DOC}$；$\boldsymbol{∠DAC}$；$\boldsymbol{∠DOC}$
(3) $\boldsymbol{∠DAB}$；$\boldsymbol{∠DOB}$
新知生成：$\boldsymbol{一半}$
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题运用分类讨论、转化的数学思想，从特殊到一般逐步推导圆周角定理，有助于理解定理的推导逻辑，夯实对圆周角与圆心角数量关系的掌握。
【难度系数】
0.8