下列说法中，错误的是 （）

A.平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦
B.平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦
C.垂直于弦的直线必经过圆心
D.弦的垂直平分线必经过圆心

C

【分析】
本题考查垂径定理及其推论的概念辨析，解题时首先回忆垂径定理及相关推论的完整内容，明确“过圆心”“垂直于弦”“平分弦（非直径）”“平分弧”这几个条件之间的推导关系：满足其中两个条件，即可推出另外两个结论。接下来对每个选项逐一核对条件和结论是否匹配，就能找出错误选项。
【解析】
结合垂径定理及推论逐一分析选项：
A. 根据垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，该说法正确，不符合题意；
B. 根据垂径定理的推论，平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦，该说法正确，不符合题意；
C. 垂直于弦的直线有无数条，只有同时满足平分弦的条件时，这条直线才会经过圆心，因此“垂直于弦的直线必经过圆心”的说法错误，符合题意；
D. 因为圆心到弦的两个端点的距离均等于圆的半径，所以圆心一定在弦的垂直平分线上，即弦的垂直平分线必经过圆心，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、垂径定理的推论
【点评】
本题属于基础概念辨析题，需要准确掌握垂径定理及其推论的条件和结论，注意特殊限制条件，避免概念混淆导致出错。
【难度系数】
0.7

例 如图，$OA=OB$，$AB$交$\odot O$于点$C$，$D$，$OE$是半径，且$OE⊥ AB$于点$F$。
(1)求证：$AC=BD$；
(2)若$CD=6$，$EF=1$，求$\odot O$的半径。

(1)证明：$\because OE⊥ AB$，CD为$\odot O$的弦，
$\therefore CF=DF$.
$\because OA=OB$，$OE⊥ AB$，$\therefore AF=BF$.
$\therefore AF-CF=BF-DF. \therefore AC=BD$.
(2)解：如图，连接OC.
$\because OE⊥ AB$，CD 为$\odot O$的弦，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CD=3$，
$∠ OFC=90°$.
$\therefore CO^2=CF^2+OF^2$.
设$\odot O$的半径是r，则$CO=r$，$OF=r-1$.
$\therefore r^2=3^2+(r-1)^2$，解得$r=5$.
$\therefore \odot O$的半径是5.

【分析】
(1) 要证明$AC=BD$，首先利用等腰三角形三线合一的性质，由$OA=OB$、$OE⊥ AB$可得$AF=BF$；再根据垂径定理，由$OE$垂直圆的弦$CD$可得$CF=DF$，最后通过线段差的等量代换即可得出结论。
(2) 求$\odot O$的半径时，可连接半径$OC$构造直角三角形，先由垂径定理求出$CF$的长度，设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OF$的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because OE⊥ AB$，$CD$为$\odot O$的弦，根据垂径定理，
$\therefore CF=DF$。
$\because OA=OB$，$OE⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore AF=BF$。
$\therefore AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
(2) 解：
如图，连接$OC$。
$\because OE⊥ AB$，$CD$为$\odot O$的弦，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6=3$，$∠ OFC=90°$。
设$\odot O$的半径是$r$，则$CO=r$，$OF=OE-EF=r-1$。
在$Rt△ OFC$中，根据勾股定理得$CO^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=3^2+(r-1)^2$，
展开化简得$2r=10$，解得$r=5$。
【答案】
(1) $AC=BD$得证；
(2) $\odot O$的半径是$5$。

【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，重点考查垂径定理和等腰三角形性质的综合应用，解题关键是掌握连接半径构造直角三角形的常见辅助线做法，学会用方程思想解决几何线段求值问题。
【难度系数】
0.8

1. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E. 若$AB=20$，$AE=2$，则弦CD的长是（）


A.6
B.8
C.10
D.12

1.D

【分析】
遇到直径垂直于弦的问题，首先想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此只需要求出半条弦长，再乘2即可得到CD的长度。我们可以连接半径OC，构造直角三角形OCE，先利用直径长度求出圆的半径，再结合AE的长度算出OE的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出半弦长CE，就能得到CD的长。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=20$，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AB=10$，
∵$AE=2$，
∴$OE=OA - AE=10 - 2=8$，
∵$CD⊥AB$，根据垂径定理可得：$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
∴$CD=2CE=2×6=12$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解线段长度，掌握该解题思路能快速解决同类型的弦长计算问题。
【难度系数】
0.7

2. 如图，某建筑的棚顶为弓形（圆的一部分），若该弓形棚顶在水平方向上的跨度AB长为16 m，该弓形的半径OA长为10 m，则该棚顶的弓高为 m.

2.4

请根据本课所学，构建知识体系。
圆是轴对称图形—垂径定理—垂径定理的推论
↓
拓展
对于一个圆和一条直线，若备：①过，②垂直于弦，③弦，④平分优弧，⑤平分五个条件中的任意两个，都可以推出其他三个结论（条件①+③时，需满足被平分的弦不是直径）

①圆心 ③平分 ⑤劣弧

【分析】
解题时先回忆垂径定理及其推论的核心内容，垂径定理为“垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧”，其推论为“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧”，相关结论可总结为“知二推三”规律。首先①对应定理中直径的属性，直径是过圆心的直线，因此①填圆心；③对应定理中与弦相关的另一个属性，即平分弦，因此③填平分；弦把圆分为优弧和劣弧两部分，已知有平分优弧的条件，因此⑤对应平分劣弧。
【解析】
根据垂径定理及推论的“知二推三”规律，涉及的五个条件分别为：①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧，满足任意两个条件即可推出其余三个结论（注意①+③时，被平分的弦不能是直径，避免直径互相平分但不一定垂直的特殊情况）。
【答案】
①圆心；③平分；⑤劣弧
【知识点】
垂径定理；垂径定理的推论；圆的轴对称性
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查对垂径定理相关结论的识记与理解，熟练掌握“知二推三”的五个条件就能快速解答，要注意“过圆心+平分弦”时的特殊限制条件。
【难度系数】
0.9

探究：观察下图，在$\odot O$中，这些角有什么共同特点？
新知生成：顶点在的角叫作圆心角。

解：顶点都在圆心上，两边都和圆相交.
新知生成 圆心

【分析】
解题时先观察两个图中角的特征：第一步先看角的顶点位置，两个角的顶点都和圆的圆心O重合；第二步再看角的两边的特征，两边都是从圆心出发的半径，均与圆相交。结合这两个共同特征即可总结出圆心角的定义，顺利完成填空。
【解析】
观察两个图形中的角：
1. 顶点位置：两个角的顶点均为圆的圆心O；
2. 边的特征：角的两条边都是以O为端点的半径，均与圆相交。
根据上述共同特征可得圆心角的定义：顶点在圆心的角叫作圆心角，因此新知生成的空缺处填“圆心”。
【答案】
共同特点：顶点都在圆心上，两边都和圆相交。
新知生成：圆心
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握圆心角的两个特征，牢记概念即可快速作答，是后续学习弧、弦、圆心角相关性质的基础。
【难度系数】
0.9